Twierdzenie Banacha o kontrakcji

Z Wikipedii

Twierdzenie Banacha o kontrakcji (lub o punkcie stałym, nazywane też niekiedy Banacha zasadą kontrakcji) głosi, że dowolna kontrakcja przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały; co więcej, jest on granicą ciągu iteracji danej kontrakcji, zaczynającego się w dowolnym punkcie przestrzeni.

Spis treści 1 Sformułowanie 2 Szkic dowodu 3 Zastosowania 4 Uogólnienia 5 Twierdzenia odwrotne 5.1 Twierdzenie Bessagi 5.2 Twierdzenie Meyersa 6 Zobacz też

[edytuj] Sformułowanie

Jeśli (X,ρ) jest przestrzenią metryczną zupełną, zaś jest kontrakcją, to:

• odwzorowanie f ma dokładnie jeden punkt stały x₀ oraz
• dla dowolnego ciąg jest zbieżny do x₀.

[edytuj] Szkic dowodu

Jednoznaczność punktu stałego jest dość oczywista: niech bowiem będzie stałą Lipschitza kontrakcji f, a x₁, x₂ jej punktami stałymi. Mamy wówczas

,

co przy α mniejszym od jedności zachodzi tylko gdy ρ(x₁,x₂) = 0, co z definicji metryki oznacza, że x₁ = x₂, a więc istnieje co najwyżej jeden punkt stały.

Aby wykazać pozostałą część tezy, wybierzmy dowolny punkt i oszacujmy odległość ρ(fⁿ(x),f^m(x)) między wartością n-tej i m-tej iteracji kontrakcji f dla punktu x (korzystając przy tym ( | m − n | − 1)-krotnie z nierówności trójkąta. Można wykazać, iż ciąg jest ciągiem Cauchy'ego, a zatem ma granicę (bo X jest zupełna). Następnie łatwo już zauważyć, wykorzystując ciągłość funkcji f, że jego granica jest punktem stałym przekształcenia f.

[edytuj] Zastosowania

Twierdzenie Banacha, mimo swej prostoty, ma liczne i ważne zastosowania. Można np. przy jego pomocy wykazać twierdzenie o funkcji odwrotnej, istnienie atraktora układu przekształceń zwężających, czy zbieżności niektórych algorytmów numerycznych (zob. np. metoda Gaussa-Seidela); jest ono też wykorzystywane m.in. w teorii równań całkowych i różniczkowych. Żartobliwym jego zastosowaniem (i ilustracją) jest obserwacja, że gdy położymy mapę Polski na ziemi gdzieś w Polsce, to dokładnie jeden punkt na mapie pokrywa się z odpowiadającym mu punktem na ziemi.

[edytuj] Uogólnienia

Stosunkowo łatwo wykazać, że w twierdzeniu Banacha nie można opuścić ani założenia zupełności, ani osłabić warunku kontrakcji, zastępując go warunkiem

ρ_Y(f(x₁),f(x₂)) < ρ_X(x₁,x₂)

(ani tym bardziej założeniem, że f jest nierozszerzające). Istotnie, odwzorowanie jest kontrakcją (niezupełnej) przestrzeni (0,1) w siebie, pozbawioną punktów stałych; nietrudno też zauważyć, że funkcja zmniejsza odległości punktów (choć nie jest kontrakcją) i nie ma punktu stałego. (Okazuje się jednak, że jeśli założymy, że X jest zwarta, powyższa nierówność zapewnia istnienie i jednoznaczność punktu stałego.)

Mimo powyższych kontrprzykładów, istnieje szereg twierdzeń, które uogólniają twierdzenie Banacha. Często zastępuje się w nich warunek kontraktywności warunkiem typu

,

gdzie jest funkcją odwzorowującą zbiór w siebie, mającą pewne szczególne własności, takie jak ciągłość, monotoniczność i inne.

[edytuj] Twierdzenia odwrotne

[edytuj] Twierdzenie Bessagi

Jeśli jest taką funkcją określoną na niepustym zbiorze X, że każda jej iteracja ma dokładnie jeden punkt stały, to X można zmetryzować w sposób zupełny tak, by f było kontrakcją względem tej metryki (i to o dowolnej, z góry zadanej stałej kontrakcji z przedziału (0,1)).

[edytuj] Twierdzenie Meyersa

Niech (X,ρ) będzie zupełną przestrzenią metryczną, a odwzorowaniem spełniającym następujące warunki:

1. f(x₀) = x₀ dla pewnego ,
2. dla każdego ,
3. istnieje takie otoczenie U punktu x₀, że dla dowolnego otoczenia V tego punktu istnieje taki indeks n_V, że dla .

Wówczas dla dowolnej stałej istnieje równoważna z ρ metryka zupełna na X, przy której fjest kontrakcją ze stałą α.

[edytuj] Zobacz też

• Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
• William A. Kirk, Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.
• Teoria punktu stałego
• Przegląd zagadnień z zakresu matematyki