Теорема Банаха о неподвижной точке

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теорема Банаха о неподвижной точке гарантирует наличие и единственность неподвижной точки у некоторых отображений метрических пространств. Также она содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Теорема названа в честь Стефана Банаха, польского математика, установившего ее в 1922 году.

[править] Теорема

Пусть $(X, d)$ — непустое полное метрическое пространство. Пусть $T: X \mapsto X$ — сжимающее отображение на X, т.е. существует число $0 \le q <1$ такое, что

$d(Tx,Ty) \le q\cdot d(x,y)$

для всех x, y из X. Тогда у отображения T существует, и притом ровно одна неподвижная точка x^* из X (неподвижная означает Tx^* = x^*). Более того, эта точка может быть построена следующим образом: начнем с произвольного элемента x₀ их X, и определим рекурентную последовательность по формуле x_n = Tx_n-1 для всех n = 1, 2, 3, ... Эта последовательность сходится, и ее предел равен x^*. Следующее неравенство показвает скорость схождения:

$d(x^*, x_n) \leq \frac{q^n}{1-q} d(x_1,x_0)$ .

Равносильно:

$d(x^*, x_{n+1}) \leq \frac{q}{1-q} d(x_{n+1},x_n)$

$d(x^*, x_{n+1}) \leq q d(x_n,x^*)$ .

Число q часто называют коэффициентом сжатия.

[править] Применение

Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов уравнений. Также теорема нашла применение в теории фракталов.