Metoda Gaussa-Seidela

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić: warunki zbieżności są niepełne, w szczególności fraza: "zbieżność jest zagwarantowana tylko dla macierzy przekątniowo dominującej" jest fałszywa; brakuje warunku zakończenia - po czym można poznać, że osiągnięto zadaną dokładność?.
Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

Metoda Gaussa-Seidela – iteracyjna metoda rozwiązywania układów równań liniowych nazwana nazwiskami niemieckich matematyków: Carla Friedricha Gaussa oraz Philippa Ludwiga von Seidela. Metoda opiera się na takiej modyfikacji metody Jacobiego, by w każdej iteracji korzystać z aktualnie obliczanych wartości przybliżenia rozwiązania układu. Metodę tę można stosować do układów równań liniowych, których macierz główna nie ma zer na przekątnej, ale zbieżność^[1] jest zagwarantowana tylko dla macierzy przekątniowo dominującej.

Poszukujemy rozwiązania układu równań wyrażonego macierzowo:

$A x = b.\,$

Pojedyncza iteracja metody Gaussa-Seidela

$x^{(k+1)} = \left( {D - L} \right)^{ - 1} \left( {U x^{(k)} + b} \right),$

gdzie $A = D - L - U$ ; macierze $D$ , $- L$ oraz $- U$ reprezentują kolejno macierz diagonalną, oraz macierze dolnotrójkątną i górnotrójkątną macierzy A; $k$ jest numerem iteracji. Postać macierzowa jest używana do analizy metody. Do implementacji używany jest wzór

$x^{(k+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i - \sum_{j<i}a_{ij}x^{(k+1)}_j-\sum_{j>i}a_{ij}x^{(k)}_j\right),\, i=1,2,\ldots,n.$

[edytuj] Algorytm

Wybierz początkowe przybliżenie

x 0

for k := 1 step 1 until oczekiwane przybliżenie do

for i := 1 step 1 until n do

σ = 0

for j := 1 step 1 until i-1 do

$\sigma = \sigma + a_{ij} x_j^{(k)}$

end (j-for)

for j := i+1 step 1 until n do

$\sigma = \sigma + a_{ij} x_j^{(k-1)}$

end (j-for)

$x_i^{(k)} = {{\left( {b_i - \sigma } \right)} \over {a_{ii} }}$

end (i-for)

sprawdź czy osiągnięty zostało oczekiwane przybliżenie

end (k-for)

$x\approx x^{(k)}$

[edytuj] Przypisy

↑ metoda iteracyjna wyrażona równaniem ${Q}x^{(k)} = \left( {Q - A} \right) {x^{(k-1)} + b}$ jest zbieżna, gdy ciąg ${x (k)}$ jest zbieżny do x dla dowolnego wektora początkowego $x (0)$