Macierz diagonalna

Z Wikipedii

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz jednostkowa macierz zerowa macierz elementarna macierz schodkowa macierz trójkątna macierz symetryczna macierz diagonalna macierz idempotentna macierz nilpotentna macierz hermitowska macierz unitarna macierz ortogonalna macierz dodatnio określona Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy potęgowanie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Spis treści 1 Definicja 2 Przykład 3 Własności 3.1 Działania 4 Zobacz też 5 Linki zewnętrzne

[edytuj] Definicja

Macierz diagonalna A = (a_ij) to macierz kwadratowa, której wszystkie współczynniki leżące poza główną przekątną (diagonalą) są równe zeru:

.

Macierz diagonalna bywa oznaczana przez , gdzie to kolejne współczynniki leżące na głównej przekątnej.

Warto pamiętać, że elementy macierzy diagonalnej leżące na głównej przekątnej również mogą być (wszystkie, lub niektóre) zerami.

[edytuj] Przykład

Macierz jest macierzą diagonalną.

[edytuj] Własności

Macierze diagonalne stopnia n tworzą podpierścień pierścienia wszystkich macierzy wymiaru .

Szczególnymi przypadkami macierzy diagonalnych są: macierz jednostkowa, dowolna kwadratowa macierz zerowa oraz dowolna macierz wymiaru pierwszego (a więc skalar).

[edytuj] Działania

• suma macierzy diagonalnych jest macierzą diagonalną, iloczyn macierzy diagonalnych jest macierzą diagonalną, również macierz dołączona do macierzy diagonalnej jest macierzą diagonalną,

• dwie macierze diagonalne można bardzo łatwo przez siebie pomnożyć:

,

co daje:

,

• potęgowanie macierzy diagonalnej jest wielokrotnym mnożeniem jej przez siebie, zatem:

,

• macierz diagonalna A = (a_ij) jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki a_ij są różne od zera, wtedy:

,

• wyznacznik macierzy diagonalnej A = (a_ij) jest równy iloczynowi elementów przekątnej:

.

[edytuj] Zobacz też

• diagonalizacja

[edytuj] Linki zewnętrzne

• Macierz diagonalna (en) na PlanetMath