對角矩陣
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對角矩陣是一個主對角線之外的元素皆為 0 的矩陣。對角線上的元素可以為 0 或其他值。因此 n 行 n 列的矩陣 
= (di,j) 若符合以下的性質：
則矩陣 為對角矩陣。
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[编辑] 例子
均為對角矩陣
[编辑] 矩陣運算
對角矩陣的相加及相乘都相當簡單。若以 diag(a1,...,an) 表示一個對角線元素依序為a1,...,an的對角矩陣。矩陣加法可用下式表示：
- diag(a1,...,an) + diag(b1,...,bn) = diag(a1+b1,...,an+bn)
而矩陣乘法可用下式表示：
- diag(a1,...,an) · diag(b1,...,bn) = diag(a1b1,...,anbn).
對角矩陣 diag(a1,...,an) 為可逆 若且唯若 a1,...,an 均不為零。若上述條件成立，則
- diag(a1,...,an)-1 = diag(a1-1,...,an-1).
[编辑] 特性
- 對角矩陣都是對稱矩陣。
- 對角矩陣是上三角矩陣及下三角矩陣。
- 單位矩陣In及零矩陣恆為對角矩陣。一維的矩陣也恆為對角矩陣。
- 一個對角線上元素皆相等的對角矩陣是純量矩陣，可表示為單位矩陣及純量λ的乘積λI。
- 一對角矩陣 diag(a1, ..., an) 的特徵值為a1, ..., an。而其特徵向量為單位向量 e1, ..., en。
- 一對角矩陣 diag(a1, ..., an) 的行列式為a1...an的乘積。
[编辑] 參考
- 三角矩陣
