Spazio prehilbertiano

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In matematica, lo spazio prehilbertiano o spazio hermitiano è una struttura algebrica che, utilizzando il concetto di prodotto scalare tra elementi dello spazio, fa da collegamento tra lo spazio vettoriale semplice e lo spazio di Hilbert. È una specie di equivalente complesso dello spazio euclideo (costruito sui reali) e proprio per questo a volte uno spazio di questo tipo continua a essere chiamato euclideo, aggiungendoci l'aggettivo "complesso". Molte delle proprietà degli spazi euclidei si ritrovano anche in uno spazio prehilbertiano.

Informalmente parlando, è un insieme dotato di una struttura lineare e di un prodotto interno tra i suoi elementi, a valori complessi, che soddisfa particolari proprietà.

Prende il nome da David Hilbert, che ha introdotto il concetto all'inizio del XX secolo.

[modifica] Definizione

Uno spazio prehilbertiano è una coppia $(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ , dove $H$ è uno spazio vettoriale reale o complesso e $\langle\cdot,\cdot\rangle$ è rispettivamente una forma bilineare simmetrica definita positiva o una forma hermitiana definita positiva detta prodotto scalare (nel caso complesso a volte si usa anche la dizione prodotto hermitiano).

In dettaglio, quindi, $\langle\cdot,\cdot\rangle$ è un funzionale definito in $H \times H$ a valori nel campo base (i reali o i complessi) tale che, per ogni $x, y, w$ in $H$ e per ogni scalare $a$ :

$\langle\cdot,\cdot\rangle$ è lineare nel primo argomento:

$\langle x +w, y \rangle = \langle x, y \rangle + \langle w, y \rangle$
$\langle ax, y \rangle = a \langle x, y \rangle$

$\langle\cdot,\cdot\rangle$ è uguale alla sua trasposta coniugata:

$\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$ (nel caso reale, questa proprietà è la simmetria)

$\langle\cdot,\cdot\rangle$ è definita positiva:

$\langle 0, 0 \rangle = 0$
$\langle x, x \rangle > 0$ se $x \neq 0$ (questa scrittura ha un senso poiché $\langle x, x \rangle \in \R$ anche nel caso complesso)

Da queste proprietà si ricava l'anti-linearità (bilinearità nel caso reale) nel secondo argomento:

$\langle x, ay \rangle = \bar{a} \langle x, y \rangle$
$\langle x, y+w \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, w \rangle$

La forma hermitiana standard in $\mathbb{C}^n$ è data da

$\langle w,z \rangle = \sum_{i=1}^n w_i\overline{z_i}$ .

Nota: In fisica è convenzione parlare di forma hermitiana in presenza di un funzionale lineare nel secondo argomento e anti-lineare nel primo, cioè all'opposto della convenzione generalmente in uso tra i matematici. Questo perché in meccanica quantistica, nella notazione bra-ket (che porta grosse somiglianze con un prodotto scalare), per vari motivi è più comodo considerare i vettori nella seconda posizione ("ket") e i loro coniugati nella prima ("bra"). Presso alcuni autori si opera la distinzione che $\langle\cdot,\cdot\rangle$ è inteso nel senso matematico e $\langle\cdot|\cdot\rangle$ nel senso fisico.

[modifica] Osservazioni

Uno spazio di Hilbert è uno spazio prehilbertiano che è anche uno spazio completo, cioè tale che la metrica indotta dal prodotto scalare sia completa. Il nome spazio prehilbertiano già infatti suggerisce un indebolimento delle condizioni che danno tale struttura, più ricca e più importante.