内积空间

维基百科，自由的百科全书

内积的几何解释

在数学上，内积空间是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积或标量积。这个增添的结构将一对向量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论向量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论向量的正交性。内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。

关于内积空间的例子，请参看希尔伯特空间。

内积空间有时也叫做准希尔伯特空间，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。

在早期的著作中，内积空间被称作“单位空间”，但这个词现在已经被淘汰了。

[编辑] 定义

下文中的数量域F是实数域或复数域。

域F上的一个内积空间V备有一个正定、非退化以及共轭双线性形式，称作内积（F是实数域时，内积是一个正定、对称、非退化以及双线性形式）：

$\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{F}$

满足以下公理：

共轭对称；

$\forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}.$

这个设定蕴含着 $\langle x,x\rangle \in \mathbb{R}$ 对于所有 $x \in V$ , 因为 $\langle x,x\rangle = \overline{\langle x,x\rangle}$ .

(共轭也写成加星号： $\langle y,x\rangle^{*}$ ，如同共轭转置。)

对第一个元素是线性算子；

$\forall a\in \mathbb{F},\ \forall x,y\in V,\ \langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle.$

$\forall x,y,z\in V,\ \langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle.$

由前两条可以得到：

$\forall b\in \mathbb{F},\ \forall x,y\in V,\ \langle x,by \rangle= \overline{b} \langle x,y\rangle.$

$\forall x,y,z\in V,\ \langle x,y+z\rangle= \langle x,y\rangle+ \langle x,z\rangle.$

因此 $\langle \cdot , \cdot \rangle$ 实际上是一个半双线性形式。

非负性：

$\forall x \in V,\ \langle x,x\rangle \ge 0.$

(这样就定义了 $\langle x,x\rangle \in \mathbb{R}$ 对于所有 $x\in V$ 。说明内积是从点积抽象而来。)

非退化：

从V到对偶空间 V*的映射： $x\mapsto \langle x,\cdot\rangle$ 是同构映射。

在有限维的向量空间中，只需要验证它是单射。

$\langle x,y\rangle = 0 \; \forall y \in V \,$ 当且仅当 $x = 0 \,$ 。

因此，内积空间是一个Hermitian形式。

$V$ 满足可加性：

对所有的 $x, y, z \in V$ ， $\langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle$ ， $\langle x,y+z\rangle = \langle x,y\rangle + \langle x,z\rangle$

如果F是实数域R那么共轭对称性质就是对称性。

$\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle.$

共轭双线性变成了一般的双线性。

备注。多数数学家要求内积在第一个参数上是线性的而在第二个参数上是共轭线性的，本文接受这种约定。很多物理学家接受相反的约定。这种改变是非实质性的，但是相反的定义提供了与量子力学中的狄拉克符号更平滑的连接，现在也偶尔被数学家使用。某些作者接受约定 < , > 在第一个分量是线性的而 < | > 在第二个分量上是线性的，尽管不普遍。

选择R 或 C作为内积空间的基域是有原因的。首先，这个域要包含一个有序关系的子域，否则就无法谈论“非负性”，因此它的特征必须是零。这样就排除了所有的有限域。基础域必须有额外的结构，比如有显著的自同构。

在某些情况下，必须考虑非负半定半双线性形式。这意味着 <x, x> 是只要求非负性，下面会展示如何处理它们。

[编辑] 例子

内积的一个简单的例子是实数的乘法

$\langle x,y\rangle := xy$

欧几里德空间Rⁿ和点积构成一个内积空间：

$\langle (x_1,\ldots, x_n),(y_1,\ldots, y_n)\rangle := \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n$

Cⁿ 内积的一般形式是:

$\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle := \mathbf{x}^*\mathbf{M}\mathbf{y}$

M是一个任意的正定矩阵，x^*是x的共轭转置。对于实数情况这对应于两个向量的方向差异缩放的结果的点积，带有正缩放因子和正交的缩放方向。除了正交变换之外，它是加权和版本的点积，带有正的权重。

在希尔伯特空间的文章中有一些内积空间的例子，其中引出自内积的度量生成完备的度量空间。引发不完备度量空间的内积的例子出现在在区间 [a,b] 上连续复数值函数的空间 C[a, b] 上。内积是

$\langle f , g \rangle := \int_a^b \overline{f(t)} g(t) \, dt$

这个空间是不完备的；比如考虑对于区间 [0,1]，函数序列 { f_k }_k 这里的

f_k(t) 是 1 对于 t 在子区间 [0, 1/2]
f_k(t) 是 0 对于 t 在子区间 [1/2 + 1/k, 1]
f_k 仿射于 [1/2, 1/2 + 1/k]

这个序列是不收敛于一个连续函数的柯西序列。

[编辑] 内积空间的范数

从内积空间的内积可以很自然地定义一个范数

$\|x\| =\sqrt{\langle x, x\rangle}.$

由内积的性质可以证明它满足作为范数的要求。这个范数就是x在内积空间中的“长度”。这个范数和内积满足:柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式: 对V中元素x、y，

$|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|$

证明可以在主条目上找到。

由柯西不等式可以看出内积的几何解释：我们可以定义两个不为零的向量的夹角为

$\operatorname{angle}(x,y) = \arccos \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \cdot \|y\|}.$

其中夹角在区间(−π, +π]上。这与常见的欧几里德空间的情况相似。接下来我们可以定义正交：两个不为零的向量正交当且仅当他们的内积为零（夹角为

π / 2

）。

我们可以看到||·||的定义使得V成为一个赋范向量空间，因此也是一个度量空间。最重要的内积空间是对于这个度量完备的空间，叫做希尔伯特空间。每个内积空间V都是某个希尔伯特空间的稠密子集。这个希尔伯特空间可在将V完备化时唯一确定。

平行四边形法则:

$\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.$

勾股定理: V中的x、y 正交 <x, y> = 0，当且仅当

$\|x\|^2 + \|y\|^2 = \|x+y\|^2.$

这两个等式都可由范数的性质直接得到

用数学归纳法还可以推出:

若x₁, ..., x_n 是两两正交的向量，那么：

$\sum_{i=1}^n \|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^n x_i \right\|^2.$

只要注意到<·,·> 是V × V 到F 连续函数，我们可以进一步将勾股定理推广为:

Parseval等式: V是完备的内积空间。如果{x_k} 是V的正交列，那么：

$\sum_{i=1}^\infty\|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^\infty x_i\right\|^2,$

假定在左边的是无穷级数是收敛的。这个空间的完备性必须确保部分和序列

$S_k = \sum_{i=1}^k x_i$

它容易被证明是收敛的柯西序列。

[编辑] 正交规范序列

[编辑] 在内积空间上的算子

[编辑] 退化内积

[编辑] 引用

S. Axler, Linear Algebra Done Right, Springer, 2004
G. Emch, Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley Interscience, 1972.
N. Young, An Introduction to Hilbert Spaces, Cambridge University Press, 1988

分类: 多线性代数 | 泛函分析 | 赋范空间

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.