Decadimento alfa

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Il decadimento alfa è uno dei processi per cui atomi instabili (e dunque radioattivi) si trasformano in atomi di un altro elemento, che possono a loro volta essere radioattivi oppure stabili.

Decadimento alfa

Più precisamente, il decadimento alfa avviene tramite l'emissione di una particella, detta appunto particella alfa, composta da due protoni e due neutroni (nucleo di elio) da parte dell'isotopo di un elemento con elevato numero atomico(Z>83). Perdendo due protoni l'elemento indietreggia di due posizioni nella tavola periodica degli elementi. Le ragioni di tale fenomeno sono da ricercare nella tendenza di tutti i sistemi fisici a cercare condizioni di energia più stabile: la stabilità dei nuclei atomici degli elementi transuranici è uno dei campi di ricerca più attivi della fisica nucleare.

Come molti processi quantistici, anche il decadimento alfa è descritto da regole statistiche: la percentuale di atomi che, in un certo intervallo di tempo, subisce il decadimento, è una costante. Per dare un'unità di misura standard, si indica solitamente il tempo in cui metà degli atomi di un certo isotopo di un elemento decadono. Tale periodo prende il nome di semivita dell'isotopo. Esistono isotopi con semivita brevissima, poche frazioni di secondo, ed altri con semivita di migliaia di anni. Un altro parametro utilizzato è la vita media di un elemento. Sostanze contenenti isotopi che decadono con decadimento alfa vengono prodotte come scorie nella reazione di fissione nucleare, caratteristica dei reattori a fissione.

Nella maggior parte dei casi, gli isotopi instabili subiscono decadimenti dei vari tipi in successione, e pertanto si parla di catena di decadimento di un isotopo, intendendo la sequenza di decadimenti che tale atomo percorre. Quasi tutte le catene di decadimento finiscono con un isotopo del piombo (che è stabile).

La vita media tipica di questo tipo di decadimento nucleare è abbastanza varia: si passa, infatti dagli oltre 10¹⁰ anni del torio, fino alle frazioni di secondo come, ad esempio, nel polonio 214 (1.6 x 10^-4 s). Il decadimento più noto è però quello dell'uranio:

${}^{238}_{92}\hbox{U}\;\to\;{}^{234}_{90}\hbox{Th}\;+\alpha$

dove α sta per il nucleo di elio prodotto, più noto come particella α.

[modifica] Teoria del decadimento alfa

La teoria che sta alla base di tale decadimento è stata sviluppata dal fisico ucraino George Gamow e si basa sull'effetto tunnel.

Si può prendere, come esempio di decadimento, quello del radio:

${}^{226}_{88}\hbox{Ra}\;\to\;{}^{222}_{86}\hbox{Rn}\;+\alpha$

dove Rn è il radon, un gas nobile.

Prima di scendere nel dettaglio, si supponga di unire due nuclei di deuterio: si otterrà una particella α: ogni reazione di questo tipo dà una energia di circa 10 MeV. I due atomi, per unirsi, devono però superare la così detta barriera coulombiana, che è anche la barriera che deve superare la particella α per poter uscire dal nucleo decadente.

La barriera coulombiana

Ora, chiamando con m_P la massa del radio e con m_D quella del radon, si possono scrivere alcune relazioni energetiche:

E_totⁱ = m_Pc²

E_tot^f = m_αc² + m_Dc² + T_α

La barriera coulombiana (in verde l'energia cinetica della particella α)

e per la conservazione dell'energia (E_totⁱ = E_tot^f):

$T_\alpha = ((m_P \left)-( m_\alpha + m_D \right )) c^2 > 0$

e quindi il decadimento avviene solo quando la massa del nucleo che decade (massa iniziale) è maggiore della somma delle masse dei nuclei prodotti.

[modifica] Equazione di Schrödinger

Per studiare il decadimento, quindi, si fa intervenire l'equazione di Schrödinger:

$\left ( H_0 + V_C \right ) \psi = E \psi$

dove H₀ è l'hamiltoniana che descrive l'energia cinetica di due particelle, con masse m_α ed m_D.

Questo problema a due corpi può essere semplicemente descritto come un problema ad un corpo solo separando la parte del moto relativo da quella del centro di massa, che non è interessante ai fini dell'interazione studiata. L'equazione diventa pertanto:

$\left ( \frac {p^2}{2 \mu} + V_C \right ) \psi = E \psi$

dove

$\frac {1}{\mu} = \frac {1}{m_\alpha} + \frac {1}{m_D}$

$\vec p = \frac {m_D \vec p_\alpha - m_\alpha \vec p_D}{m_D + m_\alpha}$

e nella notazione ad operatori di Schrödinger si ottiene:

$\left ( - \frac {\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2 + V_C \right ) \psi = E \psi$

che può essere scritta in coordinate sferiche, poiché anche lo stesso potenziale dipende solo da r:

$\left [ - \frac {\hbar^2}{2 \mu} \frac {1}{r^2} \left ( \frac {\partial}{\partial r} r^2 \frac {\partial}{\partial r} \right ) + \frac {L^2}{2 \mu r^2} + V_C \right ] \psi (r, \theta, \varphi) = E \psi (r, \theta, \varphi)$

La ψ, soluzione dell'equazione, può essere scritta come il prodotto di una funzione u della sola posizione per una armonica sferica, ovvero una autofunzione dell'operatore di momento angolare L²:

$L^2 Y_l^m (\theta, \varphi) = \hbar^2 l (l+1) Y_l^m$

e quindi l'equazione di Schrödinger diventa:

$\left [ - \frac {\hbar^2}{2 \mu} \frac {1}{r^2} \left ( \frac {\partial}{\partial r} r^2 \frac {\partial}{\partial r} \right ) + \frac {\hbar^2 l(l+1)}{2 \mu r^2} + V_C \right ] u (r) = E u (r)$

che può essere ulteriormente semplificata introducendo la funzione $\chi (r) = r \cdot u (r)$ :

$\left [ - \frac {\hbar^2}{2 \mu} \frac {\partial^2}{\partial r^2} + \frac {\hbar^2}{2 \mu r^2} l (l+1) + V_C \right ] \chi (r) = E \chi (r)$

In onda S (onda sferica, con $l$ =0), trovare le χ soluzioni si riduce a risolvere la seguente equazione differenziale:

$\frac {\partial^2}{\partial r^2} \chi (r) - K^2 (r) \chi (r) = 0$

con

$K^2 (r) = \frac {2 \mu}{\hbar^2} \left ( V(r) - E \right )$

Se K(r) non fosse una funzione della posizione, la soluzione sarebbe semplicemente del tipo:

$\chi (r) = A \operatorname e^{-k \cdot r}$

ma in questo caso anche la fase sarà una funzione di r:

$\chi (r) = A \operatorname e^{f (r)}$

ottenendo un'equazione differenziale per f:

$-\frac {\operatorname d^2 f}{\operatorname d r^2} + \left ( \frac {\operatorname d f}{\operatorname r} \right )^2 - k^2 = 0$

Risolvere in maniera esatta questa equazione è molto difficile (per non dire impossibile): esistono però alcuni metodi di approssimazione, come il WBK o, più semplicemente, trascurando la derivata seconda di f rispetto ad r (essa è certamente più piccola rispetto al quadrato della derivata prima). In questo caso è semplice verificare che

$f(r) = \int k(r') \operatorname d r'$

è soluzione.

Ora, poiché l'armonica sferica di ordine 0 Y₀⁰ è

$Y^0_0 = \frac {1}{\sqrt {4\pi}}$

sostituendo la f nella χ e quest'ultima nella u e quindi il tutto nella ψ, si può finalmente scrivere la soluzione dell'equazione di Schrödinger di partenza:

$\psi (r) = \frac {1}{\sqrt {4\pi}} \frac {A}{r} \operatorname e^{-\int K(r') \operatorname d r'}$

[modifica] Il fattore di Gamow

È proprio grazie alla funzione d'onda trovata che si riesce a scrivere il così detto fattore di Gamow: della dinamica del decadimento, infatti, siamo interessati solo alla fase iniziale (r=R - quando inizia il decadimento) e a quella finale (r=r₀ - la fine del tunnel); e quindi:

$\frac {\psi (r=r_0)}{\psi (r=R)} = \frac {R}{r_0} \operatorname e^{-\int_R^{r_0} K(r) \operatorname d r}$

Il fattore di Gamow è legato al coefficiente di trasmissione o penetrazione, in quanto quest'ultimo è definito come il quadrato del primo:

$T=\frac {\left | \psi (r_0) \right |^2}{\left | \psi (R) \right |^2} = \frac {R^2}{r_0^2} \operatorname e^{-2\int_R^{r_0} K(r) \operatorname d r}$

[modifica] Vita media

Esso è a sua volta legato alla vita media del decadimento attraverso la rapidità:

$\Gamma = \frac {T}{\tau_n}$

dove

$\frac {1}{\tau_n} = \frac {\hbar}{R^2 m_p}$

che è la frequenza con la quale la particella α va contro la parete del potenziale.

Quindi, per stimare la vita media τ del decadimento bisogna calcolare la rapidità dello stesso:

$\Gamma = \frac {1}{\tau} = \frac {\hbar}{r_0^2 m_p} \operatorname e^{-2 \frac {\sqrt{8m}}{\hbar} \int_R^{r_0} \sqrt {V(R) - E} \operatorname d r}$

dove al posto di μ si è sostituito 4 volte m, massa del nucleone, poiché generalmente, per masse m_D molto grandi (come spesso avviene) la massa ridotta è circa quella della particella α.

Questa vita media, in generale, varierà in dipendenza del tipo di nuclei che decadono e della quantità iniziale di energia cinetica posseduta dal nucleo di elio prodotto. --Hary Seldon 01:48, 17 feb 2008 (CET)

[modifica] Voci correlate

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Indice

[modifica] Teoria del decadimento alfa

[modifica] Equazione di Schrödinger

[modifica] Il fattore di Gamow

[modifica] Vita media

[modifica] Voci correlate

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