פורטל:מתמטיקה/חידה/אוסף

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

לקט חידות מתמטיות

לרשותכם שני פתילי השהייה, שכל אחד מהם בוער במשך שעה בדיוק. הפתילים אינם בוערים בקצב קבוע, ולכן אם נחתוך את הפתיל לשניים, שני החצאים לאו דווקא יבערו במשך חצי שעה כל אחד. כיצד ניתן בעזרת שני הפתילים למדוד 3/4 שעה?

פתרון

מדליקים פתיל אחד משני צדדיו, ומכאן ייקח לו חצי שעה לבעור. בו זמנית מדליקים את הפתיל השני מצד אחד, וברגע שהפתיל הראשון גומר לבעור מדליקים את הצד השני של הפתיל השני.

עריכה | תבנית | שיחה

במשחק מגדלי האנוי נקרא לסידור של הדיסקיות 'מצב חוקי' אם אף דיסקית אינה מונחת מעל דיסקית קטנה ממנה. עבור מגדל עם n דיסקיות, כמה מצבים חוקיים ישנם? האם ניתן מהמצב ההתחלתי הנראה בציור, להגיע לכל מצב חוקי?

פתרון

עבור מצב חוקי יש 3 אפשרויות למיקום הנחת הדיסקית הגדולה ביותר, 3 אפשרויות לדיסקית השנייה הכי גדולה, וכך הלאה. לכן בסה"כ ישנם $\ 3^n$ מצבים חוקיים. ניתן להגיע מהמצב ההתחלתי לכל מצב חוקי.

עריכה | תבנית | שיחה

איך לחתוך ריבוע לחתיכות שאותן ניתן לסדר מחדש על מנת ליצור משולש שווה צלעות? מה המספר הקטן ביותר של חיתוכים שמאפשר זאת?

פתרון

הפתרון הפשוט ביותר שנמצא עד כה עושה שימוש ב-4 חתיכות בלבד. את החיתוך הזה מצא החידונאי הנרי ארנסט דודני

עריכה | תבנית | שיחה

במשחק נים ישנן ערמות גפרורים אחדות. כל שחקן בתורו יכול לקחת כמה גפרורים שהוא רוצה אבל רק מערמה אחת. מי שלוקח את הגפרור האחרון מנצח. עבור מצב התחלתי שבו יש ארבע ערמות שבהן 7,5,3,1 גפרורים, האם כדאי להיות השחקן הפותח, או לתת ליריב לשחק קודם? מה אסטרטגיית הניצחון במשחק?

למי שמכיר את החידה, או פתר אותה והתלהב, ישנה גם חידת בונוס.

פתרון

אסטרטגיית הניצחון בנים מבוססת על כך שכותבים כל אחד ממספרי הערמות כסכום של חזקות של 2, ואחר כך מוחקים זוגות של חזקות זהות. סכום המספרים שנותר הוא הערך של המצב, ואם הוא 0 אזי מי שתורו מפסיד. אחרת ישנו מהלך שמביא את המצב לסכום 0. בדוגמה שהבאנו:

7=4+2+1
5=4+1
3=2+1
1=1

כל חזקה מופיעה מספר זוגי של פעמים ולכן זהו מצב מפסיד.

עריכה | תבנית | שיחה

בחידת ה-15 המיוחסת לסם לויד (אם כי ייתכן והוא גנב אותה מדוור בשם נויס פלמר צ'פמן), המטרה היא להגיע למצב בו כל המספרים מסודרים בסדר עולה, כאשר במצב ההתחלתי, המופיע באיור, המספרים 14 ו-15 מוחלפים. בכל תור מותר להחליק מספר סמוך לתוך המשבצת הריקה. בכמה מהלכים ניתן לפתור את החידה?

פתרון

על החידה הזאת סם לויד הציע ב-1880 פרס כספי גדול, אך הפרס מעולם לא נגבה, מכיוון שלחידה אין פתרון. את ההוכחה לכך ניתן למצוא כאן.

עריכה | תבנית | שיחה

בתמונה מופיעה מפה של הגשרים של קניגסברג. מצאו מסלול המתחיל ממקום כלשהו בעיר, ועובר דרך כל אחד מהגשרים פעם אחת בלבד.

פתרון

לא ניתן לפתור את החידה. למסקנה הזאת הגיע לאונרד אוילר בשנת 1736 כאשר היא הוצגה בפניו. במהלך המסלול כאשר עוברים דרך אחד האיים או דרך אחד מצידי הנהר, מגיעים דרך גשר אחד ועוזבים דרך אחר, ולכן בשני הגשרים הללו לא ניתן להשתמש יותר. לכן מספר הגשרים המובילים לכל פיסת אדמה חייב להיות זוגי, למעט נקודת ההתחלה ונקודת הסיום. בחידה מספר הגשרים המוביל לכל אחד מארבעת פיסות האדמה הוא אי-זוגי ולכן לא ניתן לפתור את החידה

עריכה | תבנית | שיחה

מסופר כי על מצבתו של דיופנטוס נכתב:

"ילדותו ארכה 1/6 מחייו, זקנו צימח לאחר עוד 1/12 מהם, אחרי עוד 1/7 נשא אישה, ובנו נולד ב-5 שנים לאחר מכן, הבן חי מחצית משנות חיי אביו, והאב מת ארבע שנים אחרי בנו".

בן כמה היה דיופנטוס במותו?

פתרון

נסמן את גילו של דיופנטוס בזמן מותו ב-x ונקבל את המשוואה:

$\frac{1}{6}x +\frac{1}{12}x +\frac{1}{7}x + 5 +\frac{1}{2}x + 4 = x$
שפתרונה הוא 84.

עריכה | תבנית | שיחה

איך אפשר לחשב את המכפלה של שני מספרים, במחשבון שבו אפשר לבצע רק חיבור, חיסור והיפוך (היינו, הפעולה $\ x\mapsto \frac{1}{x}$ )?

פתרון

אפשר למשל כך:

$\ xy = \frac{1}{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}}+\frac{1}{\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y-1}}-\frac{1}{\frac{1}{x+y+1}-\frac{1}{x+y-1}}-\frac{1}{2}$

(10 פעולות היפוך).

עריכה | תבנית | שיחה

תרנגולת וחצי מטילה ביצה וחצי ביום וחצי. כמה ביצים מטילה תרנגולת אחת ביום אחד?

פתרון

האם עניתם ביצה אחת? לא כל כך פשוט. תרנגולת וחצי מטילה ביצה וחצי ביום וחצי, ולכן תרנגולת וחצי מטילה ביום אחד ביצה אחת, ותרנגולת אחת מטילה ביום אחד שני שליש ביצה.

עריכה | תבנית | שיחה

חידת מונטי הול: בשעשעון טלוויזיה ישנן שלוש דלתות. מאחורי אחת מהן ישנו פרס גדול, ומאחורי כל אחת משתי האחרות יש עז. המשתתף מתבקש לבחור אחת מהדלתות, אבל לאחר הבחירה מנחה התוכנית אינו פותח את הדלת שנבחרה, אלא את אחת משתי הדלתות האחרות, ומראה למשתתף שאחוריה יש עז. עכשיו המשתתף יכול לדבוק בבחירה המקורית שלו או להחליף לדלת השלישית שנותרה. מה עדיף לו לעשות?

פתרון

למשתתף יש סיכוי של 2/3 לזכות בפרס הגדול אם יחליט להחליף לדלת השלישית, וסיכוי של 1/3 בלבד אם הוא נשאר בבחירתו המקורית. להרחבה ראו בעיית מונטי הול.

עריכה | תבנית | שיחה

במשחק בין שני שחקנים, מטרתו של הכלוא לצאת ממעגל ברדיוס 100 מטר, ומטרתו של הסוהר למנוע ממנו את היציאה. על-פי חוקי המשחק, הכלוא מתחיל במרכז המעגל, ובכל שלב מותר לו לבחור כיוון שבו הוא מבקש לצעוד, וללכת צעד שאורכו מטר אחד. קודם לביצוע הצעד, הסוהר קובע האם הכלוא ילך בכיוון שבחר, או בכיוון המנוגד.

האם יצליח הכלוא לצאת מן המעגל? אם כן, כיצד, ובכמה צעדים; ואם לא - מדוע?

פתרון

הקווים השחורים הם חמשת הצעדים הראשונים, לפי סדרם. הקווים האדומים הם המרחק ממרכז המעגל בסוף כל צעד. למען הבהירות, כל הצעדים בתרשים זה הם באותו כיוון, אך קל לראות שהחלפת הכיוון בחלק מהצעדים לא הייתה משפיעה על התוצאה - התרחקות מהמרכז והתקרבות להיקף המעגל.

האסטרטגיה של הכלוא היא לשמור על סימטריה, כך שהכיוון שבו יבחר הסוהר לא ישפיע על ההתקדמות אל המטרה. במהלך הראשון לא חשוב באיזה כיוון הוא הולך, משום שהוא שומר על מרחק שווה מנקודת האמצע. במהלך השני הוא יפנה בזווית של 90 מעלות מצעדו הראשון, כך שתיווצר זווית ישרה. אם נשרטט קו בין המקום בו נמצא הכלוא לבין מרכז המעגל (שהוא נקודת המוצא), יתקבל משולש ישר זווית שמקיים את משפט פיתגורס, ובו הקו הדמיוני הוא היתר, ולכן אורכו שווה לשורש הריבועי סכום ריבועי הניצבים, כלומר השורש הריבועי של 2 ( $\sqrt{2}$ ). בכל צעד מכאן ואילך יפנה הכלוא כך שתיווצר זווית ישרה עם הקו המחבר אותו למרכז המעגל (כלומר היתר של הצעד הקודם משמש כניצב בצעד הבא). בהתאם לכך, בצעד השלישי יגיע מרחקו ממרכז המעגל ל- $\sqrt{3}$ , ובצעד ה-n יגיע מרחקו ממרכז המעגל ל- $\sqrt{n}$ . בהתאם לכך, הכלוא יצא מהמעגל לאחר 10,000 מהלכים - 100 הוא שורש ריבועי של 10,000.

הליכת 10,000 צעדים כאלה היא עניין מייגע במקצת, אך בשפת התכנות לוגו קל לכתוב סימולציה שמציגה מסלול אפשרי להליכתו של הכלוא, תוך שימוש בפונקציות בסיסיות של השפה.

עריכה | תבנית | שיחה

מה צבע הדוב?

דוב הולך קילומטר דרומה, קילומטר מזרחה וקילומטר צפונה, ומוצא עצמו בנקודה שממנה יצא. מה צבע הדוב? לאחר פתרון החידה, נסו למצוא פתרון נוסף.

פתרון

זהו דוב לבן, מפני שהוא נמצא בקוטב הצפוני. הוא הולך קילומטר דרומה, על קו אורך כלשהו, ממשיך קילומטר מזרחה על קו רוחב המרוחק קילומטר מהקוטב, והליכת קילומטר צפונה, על קו האורך שאליו הגיע, מחזירה אותו לקוטב הצפוני.

פתרון נוסף: הדוב נמצא בקרבת הקוטב הדרומי, בנקודה הנמצאת קילומטר מצפון לקו הרוחב שאורכו קילומטר. הדוב הולך קילומטר דרומה, ומגיע לקו הרוחב שאורכו קילומטר. הוא ממשיך קילומטר מזרחה על קו רוחב זה, ומבצע בדיוק הקפה שלמה אחת של קו הרוחב, כלומר חוזר לנקודה שבה התחיל את מסעו על-פני קו רוחב זה. בהליכתו קילומטר צפונה הוא חוזר על עקבותיו לנקודה שבה החל את טיולו.

פתרון נוסף: במקום קו הרוחב שאורכו קילומטר, ניתן לקחת קו רוחב שאורכו חצי קילומטר (הדוב יקיף אותו פעמיים בדיוק), או קו רוחב שאורכו שליש קילומטר (הדוב יקיף אותו שלוש פעמים בדיוק), ובאופן כללי קו רוחב שאורכו $\ 1/n$ קילומטר, שהדוב יקיף אותו $\ n$ פעמים בדיוק).

עריכה | תבנית | שיחה

ארבע צפרדעים עומדות בארבע פינות של ריבוע שאורך צלעו מטר אחד. כל צפרדע יכולה לקפוץ מעל כל אחת מהצפרדעים האחרות - כך שהיא תנחת בדיוק באותו המרחק מצדה השני. הצפרדעים יכולות לקפוץ אחת מעל השנייה בכל סדר שיבחרו ומספר בלתי מוגבל של פעמים. האם הצפרדעים יכולות להגיע למצב בו הן עומדות בארבעת הפינות של ריבוע שאורך צלעו שני מטרים?

פתרון

לא. כל קפיצה שהצפרדעים מבצעות, ניתן לבצע גם בכיוון ההפוך, ולכן כל סדרה של קפיצות היא הפיכה. אם ניתן היה להגיע לריבוע גדול יותר - היה אפשר להגיע בסדר קפיצות הפוך גם לריבוע קטן יותר, אך הצפרדעים לעולם לא יתקרבו למרחק של פחות ממטר אחת מן השנייה.

עריכה | תבנית | שיחה

ימאים מביאים לאי בודד זוג שפנים. בשנה הראשונה הזוג צעיר ולכן כל מה שהוא עושה זה מתבגר. בשנה הבאה, ובכל אחת מהשנים הבאות, זוג השפנים ימליט זוג שפנים נוסף. כל זוג שפנים נוסף גם הוא בשנה הראשונה יתבגר, וזוג בוגר כל שנה ממליט זוג שפנים נוסף. כמה שפנים יהיו באי לאחר 10 שנים?

פתרון

הפתרון לחידה הזאת היא סדרת פיבונאצ'י, שבה כל מספר הוא סכום שני המספרים הקודמים לו. למעשה לאונרדו פיבונאצ'י הציג את הסדרה במקור בשנת 1202 בספר 'Liber Abaci' כפתרון לחידה הזאת.

הסידרה היא: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55... ולכן אחרי 10 שנים יהיו באי 55 זוגות שפנים.

עריכה | תבנית | שיחה

בעת שרטוט מפה מדינית, כל שתי מדינות בעלות קו גבול משותף נצבעות בצבעים שונים, כדי שיהיה קל להבחין ביניהן. כדי להוזיל את עלויות הדפוס, נרצה להשתמש במספר צבעים קטן ככל האפשר. לוח שחמט הוא דוגמה למפה שבה כל מדינה גובלת בארבע מדינות אחרות, אולם די בשני צבעים כדי לצבוע את המפה. האם יש מפה שלצביעתה נחוצים שלושה צבעים? ארבעה צבעים? חמישה צבעים?

פתרון

מפה שלצביעתה נדרשים ארבעה צבעים

במפה שבתרשים מופיעות ארבע מדינות, שכל אחת מהן גובלת בכל שלוש שכנותיה, ולכן נחוצים ארבעה צבעים לצביעתה. אם שתיים מהמדינות שבמפה זו יתאחדו, די יהיה בשלושה צבעים לצביעת המפה שתיווצר.

ומה בעניין חמישה צבעים? בכך עוסק משפט ארבעת הצבעים. ההשערה שדי בארבעה צבעים כדי לצבוע כל מפה, מסובכת ככל שתהיה, הועלתה על ידי פרנסיס גאטרי (Francis Guthrie) בשנת 1850, בעת שעסק בצביעת מפה של אנגליה. הוכחה לנכונותה של ההשערה נמצאה רק כעבור 126 שנה.

עריכה | תבנית | שיחה

הכתה המופרעת - לפני הפיצול

חידת הכיתה המופרעת: המורים של כיתה מופרעת מחליטים לפצל את הכיתה לשניים, אבל כדי להיות הוגנים הם מבקשים מכל תלמיד לרשום את שמות שני חבריו הטובים ביותר על פתק, ומבטיחים שכאשר הכיתה תפוצל כל תלמיד יזכה להיות לפחות עם אחת משתי הבחירות שלו. התלמידים, שלא רוצים שהכיתה תתפצל, מתאמים מראש ביניהם מה כל תלמיד ירשום, וכאשר המורים מנסים לפצל את הכיתה הם מגלים שבכל חלוקה של התלמידים לשתי קבוצות יש לפחות תלמיד אחד שלא מקבל אף אחת מהבחירות שלו. מה הייתה האסטרטגיה של התלמידים?

למחרת המורים מבקשים מכל תלמיד לרשום את שמות שלושת חבריו הטובים, ומבטיחים שכאשר הכיתה תפוצל כל תלמיד יזכה להיות לפחות עם אחת משלוש הבחירות שלו. האם גם עכשיו התלמידים יכולים למנוע מהמורים לפצל את הכיתה?

פתרון

יש שיטות רבות למנוע את הפיצול כאשר כל תלמיד בוחר רק שני חברים. דוגמה: ניקח שלושה תלמידים שכל אחד רושם את שני האחרים. השלושה האלה חייבים להיות באותה כיתה. עתה כל אחד משאר התלמידים רושם את השמות של שניים מתוך השלישייה הזאת.

כאשר על התלמידים לרשום שלושה שמות, אין להם דרך למנוע את הפיצול של הכיתה! ההוכחה לכך היא בונוס למתקדמים, כיוון שהיא לא קלה במיוחד. ניתן למצוא אותה כאן.

עריכה | תבנית | שיחה

מהלכים אפשריים של מלכה על לוח בגודל 4 על 4

האם ביכולתך למקם שמונה מלכות שחמט על לוח שחמט כך שאף אחת מהן לא תאיים על אף אחת מחברותיה?

פתרון

חידה זו ידועה בשם חידת שמונה המלכות, ולה פתרונות רבים. דרך פשוטה לפתרון היא בדיקת כל המצבים האפשריים, ומציאת אלה מתוכם העונים על תנאי החידה. כמה מצבים אפשריים יש? לשם מיקום המלכות עלינו לבחור 8 משבצות מתוך 64 המשבצות שעל הלוח, כשאין חשיבות לסדר הבחירה. בקומבינטוריקה, העוסקת בשאלות מסוג זה, בחירה כזו קרויה "צירוף". הנוסחה הכללית למספר האפשרויות בבחירה של k עצמים מתוך n עצמים שונים בלי חזרות, כאשר אין חשיבות לסדר הבחירה, היא ${n! \over k!(n-k)!}$ , ובמקרה הפרטי שלפנינו: מספר המצבים האפשריים הוא ${64! \over 8!56!}$ , כלומר 4,426,165,368 - יותר מארבעה מיליארד. מספר רב מדי של מצבים לבדיקה בידי אדם, אך מספר סביר בהחלט לבדיקה באמצעות מחשב, בטכניקה הקרוי "כוח גס". בקורסים בסיסיים במדעי המחשב נהוג לפתור את החידה באמצעות אלגוריתם רקורסיבי.

פתרון אפשרי לחידה:

8
7
6
5
4
3
2
1
	א	ב	ג	ד	ה	ו	ז	ח

עריכה | תבנית | שיחה

עשרה שודדי ים שמים את ידם על אוצר שבו 100 מטבעות זהב. בראש עשרת השודדים עומד הקפטן ותחתיו מסודרים השאר בסדר היררכי מ-2 עד 10. הקבוצה צריכה לחלק בין חבריה את האוצר לפי הכללים הבאים:

בכל שלב, מציע הראשון בסולם הדרגות אופן חלוקה של הזהב. אם יש הסכמה של 50% או יותר מהקבוצה, היא תיושם ואם לא, הורגת הקבוצה את ראשה ושודד הים הבא בסולם הדרגות מציע את הצעתו. מה ההצעה הכדאית ביותר שאותה צריך הקפטן (הראשון מבין העשרה) להציע, בהנחה שהשודדים רציונליים, כלומר יעדיפו את ההצעה שמבטיחה להם יותר מכל הצעה סבירה אחרת?

פתרון

אל פתרון זה ניתן להגיע על ידי חשיבה מהסוף להתחלה, מהפשוט למסובך.

נתחיל בספינה שיש בה רק שודד אחד, נקרא לו ג'ק, אזי ג'ק ייקח את כל המטבעות לעצמו, וההצעה שלו תתקבל.
נניח שיש עוד שודד בספינה, רוברט, שהוא רב החובל. רוברט יודע שג'ק בכל מקרה יצביע נגדו, ולכן הוא מציע לקחת את כל 100 המטבעות לעצמו, וההצעה תתקבל.
נניח שיש 3 שודדים: רב החובל הוא חואניטה, ואחריה רוברט וג'ק. חואניטה צריכה שודד אחד נוסף שיצביע עבורה. היא יודעת שרוברט יצביע נגד (כי עם הריגת חואניטה, הזכות להציע את אופן החלוקה עוברת אליו), ולכן היא קונה את ההצבעה של ג'ק בכך שהיא נותנת לו מטבע זהב אחד. ג'ק יצביע עבורה כיוון שבמקרה שההצבעה לא מתקבלת וחואניטה מודחת, אזי רוברט נהיה רב חובל וראינו שבמקרה הזה ג'ק לא יקבל כלום.
נניח שיש 4 שודדים: רב חובל ג'יימס, ואחריו חואניטה, רוברט וג'ק. גם ג'יימס זקוק לשודד אחד שיצביע עבורו. ג'יימס צריך לתת לרוברט מטבע אחד על מנת שיצביע עבורו, מכיוון שאחרת חואניטה תהיה רב החובל והיא לא תתן לרוברט כלום.

כך הפתרון של החידה ממשיך, רב החובל ייתן מטבע זהב אחד לכל אותם אנשים שבמקרה שההצעה לא תתקבל ורב החובל יודח, לא יקבלו דבר. כלומר כאשר יש 10 שודדים אזי רב חובל (שודד מס' 1), ייתן מטבע אחד לשודדים מספר 3, 5, 7 ו-9, ויישארו לו 96 מטבעות לעצמו.

חידת בונוס: מה קורה כאשר יש יותר ממאתיים שודדים בסירה? האם השיטה הזאת עדיין עובדת?

נניח שבמקום לחלק מטמון של 100 מטבעות, השודדים צריכים לחלק מטמון המכיל 0 מטבעות. האם השודדים תמיד יצביעו נגד רב החובל? עבור אילו מספרי שודדים בסירה רב החובל יישאר בחיים?

עריכה | תבנית | שיחה

שתי רכבות המרוחקות 200 ק"מ זו מזו יוצאות באותה שעה זו לקראת זו, במהירות של 100 קמ"ש כל אחת. מיד עם צאתן יוצא זבוב מתחילת הרכבת האחת, ועף במהירות של 150 קמ"ש לעבר הרכבת האחרת. ברגע שהוא מגיע אליה, הוא הופך את כיוון מעופו, ועף אל הרכבת שממנה יצא. כך ממשיך הזבוב במעופו בין הרכבות, עד לרגע שבו הן מתנגשות ומוחצות אותו. מה אורכו של המסלול שעבר הזבוב?

יש גם חידת בונוס!

פתרון

פתרון החידה קל למדי כאשר משתמשים בנוסחה הפשוטה של הפיזיקה הקלאסית s = vt, האומרת שבתנועה במהירות קבועה, הדרך שווה למהירות כפול הזמן. הרכבות עוברות מרחק של 200 ק"מ, כשכל אחת מהן נוסעת במהירות של 100 קמ"ש, ולכן נסיעתן נמשכת שעה אחת בדיוק. הזבוב עף במהירות של 150 קמ"ש, ולכן במשך שעה יעבור מרחק של 150 ק"מ - זהו אורך המסלול שלו.

אדם שחד חידה זו למתמטיקאי ג'ון פון נוימן קיבל ממנו בִּן רגע תשובה נכונה. השואל ציין באוזני פון נוימן שיש המנסים לפתור את החידה באמצעות חישוב סכום הטור של אורכי הקטעים המרכיבים את מסלול הזבוב. "כך בדיוק עשיתי", ענה פון נוימן.

חידת בונוס: שתי מכוניות מתחילות צמודות זו לזו, ונוסעות לכיוונים הפוכים, כל אחת במהירות של 100 קמ"ש. ברגע שהן מתחילות בנסיעתן, זבוב שנמצא ביניהן מתחיל לעוף מאחת לשנייה וחזרה במהירות של 200 קמ"ש. אחרי שעה, איפה יהיה הזבוב?

פתרון

קודם תפתרו לבד

עריכה | תבנית | שיחה

מולך עומדים שלושה אנשים - דובר אמת (תשובותיו הן תמיד אמת), שקרן (תשובותיו הן תמיד שקר), ועונה באקראי (לעתים תשובתו היא אמת, ולעתים היא שקר). על ידי הפניית שאלת כן/לא אחת, לאחד מבין שלושת האנשים, עליך למצוא אדם אחד שבוודאות אינו העונה באקראי. מה תהיה השאלה?

פתרון

קיימים מספר פתרונות, פתרון אחד הוא לשאול את האדם הראשון - "האם האדם השני דובר אמת יותר מהשלישי?". אם התשובה חיובית - האדם השלישי בוודאות אינו העונה באקראי, אם התשובה שלילית - האדם השני בוודאות אינו העונה באקראי.

הסבר (לקריאה רק לאחר ניסיון כושל להבין את התשובה שניתנה):
כאשר התשובה חיובית, יש שלוש אפשרויות באשר לטיבו של האדם הראשון:

הוא דובר אמת: ולכן האדם השני הוא העונה באקראי, והשלישי השקרן.
הוא שקרן: ולכן האדם השני הוא העונה באקראי, והשלישי דובר האמת.
הוא העונה באקראי: ולכן האדם השלישי הוא שקרן או דובר אמת.

אם כן, בכל המצבים האפשריים של האדם הראשון, בתשובה חיובית שלו האדם השלישי אינו העונה באקראי.

עריכה | תבנית | שיחה

מטילי זהב

עליך להגיע לעיר הקרובה הנמצאת במרחק 700 קילומטר. ברשותך מטיל זהב השוקל 7 קילוגרם ואותו ניתן לחתוך אך ורק לקילוגרמים שלמים. הדרך היחידה להגיע אל העיר היא בעזרת נהג הגובה עבור שירותיו ק"ג זהב לכל 100 ק"מ. אולם, הוא לא מוכן להתחיל בנסיעה אם לא יקבל לידיו זהב במשקל 2 ק"ג לפחות, ויברח אם יקבל יותר מק"ג אחד בבת אחת. באפשרותך לחתוך את מטיל הזהב פעמיים בלבד.

פתרון

חיתוך מטיל הזהב למטילים בני 1, 2 ו-4 ק"ג. בתחילה הנהג יקבל 2 ק"ג שיוחלפו מייד ב-1. לאחר 100 הק"מ הראשונים הק"ג יוחלף ל-2, לאחר עוד 100 ק"מ הנהג יקבל מטיל של ק"ג, לאחר עוד 100 ק"מ יקבל 3 ק"ג ויחזיר 2 וכן הלאה עד להגעה ליעד.

עריכה | תבנית | שיחה

אתם עומדים במרכזו של שדה תירס בליל ללא כוכב וירח. התירס הגבוה מסתיר את כל שמימינכם ומשמאלכם. עליכם להגיע למסילת רכבת ישרה הנמצאת במרחק 10 קילומטרים מכם. בשל הראות הלקוייה, רק כאשר תגיעו למסילה תדעו זאת. מצאו את המסלול הקצר ביותר אותו תצטרכו לעבור עד להגעה לפסים המיוחלים במקרה הגרוע ביותר (כלומר במקרה בו מזלכם פועל נגדכם).

פתרון

הפתרון הראשון שחושבים עליו לחידה הוא ללכת 10 ק"מ לאיזשהוא כיוון, ולאחר מכן להקיף את המעגל, ובמקרה זה צריך ללכת 72.83 ק"מ. אך ניתן לשפר פתרון זה בצורה משמעותית, והמפתח למציאת הפתרון נמצא ב-"thinking outside the box" (או ליתר דיוק, "the circle"). המסלול הקצר ביותר הוא המסלול הבא:

יוצאים להיקף המעגל בנקודה שרירותית כלשהו. (10 ק"מ)
כעת ממשיכים בקו ישר עוד כברת דרך, עד שהמרחק ממרכז המעגל הוא R×csc 60° כלומר, 11.55 ק"מ.
כעת צועדים לאורך המשיק מהנקודה הנוכחית עד שמגיעים למעגל. כלומר, עוד R×cot 60°. המרחק מתחילת הדרך - 17.32 ק"מ.
הולכים על גבי המעגל לאורך קשת בת 210°. המרחק הכולל - 53.97 ק"מ.
יוצאים מהמעגל על גבי משיק, עד אשר נתקלים בקו המקווקו (המשיק למעגל). סך הכל - 63.97 ק"מ.

אם טרם נתקלתם בפסי הרכבת, רימו אתכם!

פרטים נוספים ניתן למצוא במאמר שדן בנושא באופן מעמיק.

עריכה | תבנית | שיחה

מלוח שחמט הורידו את שתי הפינות הנגדיות. כיצד ניתן לכסות את הלוח לגמרי בעזרת 31 אבני דומינו, אשר כל אחת מהם מכסה שתי משבצות סמוכות?

זו חידת שחמט מפורסמת. יש גם חידת בונוס!

פתרון

כל אבן דומינו מכסה משבצת אחת שחורה ומשבצת אחת לבנה ולכן בסה"כ אבני הדומינו צריכות לכסות אותו מספר משבצות לבנות כשחורות. מצד שני המשבצות שנגזרו מהלוח שתיהן מאותו צבע, ולכן יש יותר משבצות מצבע אחד מאשר מהצבע האחר. לכן לא ניתן לבצע את המשימה הנדרשת.

חידת בונוס- אם נגזור מהלוח שתי משבצות, אחת שחורה ואחת לבנה, האם תמיד ניתן יהיה לפתור את החידה?

עריכה | תבנית | שיחה

מה הדרך הקצרה ביותר לפרק חפיסת שוקולד לריבועים בודדים?

עבור חפיסה של 6x8 ריבועי שוקולד, בה בכל מהלך לוקחים את אחד החלקים שישנם ומפרקים אותו לשניים, מה הדרך הקצרה ביותר לפרק את החפיסה לריבועים בודדים, וכמה מהלכים דרך זאת צורכת?

פתרון

כל הדרכים לפרק את החפיסה לוקחים אותו מספר חיתוכים! כל פירוק מגדיל באחד את מספר חתיכות השוקולד שישנן, ולכן אם מתחילים מחתיכה בודדת ומסיימים ב 6x8=48 חתיכות צריך לבצע 47 פירוקים, ולא משנה באיזה סדר!

עריכה | תבנית | שיחה

השאירו שש שעות עוקבות על פני השעון ללא שינוי, והחליפו את מקומן של השעות הנותרות, כך שהסכום של כל זוג שעות סמוכות יהיה מספר ראשוני (יש שני פתרונות אפשריים).

עשו ממני שעון ראשוני!

פתרון

11, 12, 1, 2, 3 ו-4 הן שעות עוקבות שסכום כל זוג עוקב יתן מספר ראשוני והן הספרות שישארו במקומן. להחלפת שש השעות הנותרות יש שני פתרונות: את הספרה 5 יש להחליף ב-7 או ב-9, את הספרה 10 יש להחליף ב-6 או ב-8. בשני המקרים השעה 5 תוצב במקומה של השעה 9 והשעה 10 במקומה של השעה 6. שני הפתרונות הם: 1, 2, 3, 4, 9, 10, 7, 6, 5, 8, 11, 12 ו- 1, 2, 3, 4, 7, 10, 9, 8, 5, 6, 11, 12.

עריכה | תבנית | שיחה

ג'ין וטוניק

לוקחים שתי כוסות. בראשונה ממלאים 100 מ"ל ג'ין ובשנייה 100 מ"ל טוניק. בעזרת כפית מעבירים בדיוק מיליליטר אחד של ג'ין מהכוס הראשונה לשנייה ומערבבים. אחר כך מעבירים בדיוק את אותה הכמות, מיליליטר אחד, מהכוס השנייה בה טוניק מהול במעט ג'ין חזרה אל הכוס הראשונה ומערבבים שוב. חוזרים על צמד פעולות זה חמש פעמים.
מה גבוה יותר, אחוז הטוניק בכוס הראשונה בה היה תחילה הג'ין או אחוז הג'ין בכוס של הטוניק?

פתרון

רבים טועים תחילה לחשוב שהתשובה תלויה בכוס שממנה מתחילים להעביר וכי הדרך לפתרון היא בעזרת חישוב אחוזים מורכב. בהנחה שלאחר הפעולה בשתי הכוסות יימצא תמהיל של בדיוק 100 מ"ל ובשתיהן יחד יש עדיין 100 מ"ל ג'ין ו-100 מ"ל טוניק, הרי אחוז הטוניק בכוס הראשונה יהיה זהה לאחוז הג'ין בכוס השנייה.
אגב, לקבלת קוקטייל ג'ין וטוניק איכותי מומלץ להוסיף גם פלח לימון ומעט קרח!

עריכה | תבנית | שיחה

שני חברים משחקים משחק על לוח עגול. כל שחקן בתורו מניח מטבע על הלוח, איפה שהוא רוצה. לאחר ההנחה אסור להזיז את המטבעות. השחקן שאין לו מקום להניח מטבע על הלוח מפסיד. האם קיימת אסטרטגיית משחק שהשחקן הפותח יכול להבטיח בעזרתה את הניצחון?

פתרון

השחקן הראשון יניח מטבע בדיוק באמצע הלוח. בתורות הבאים, לא משנה היכן יניח השחקן השני מטבע, הראשון יניח בדיוק "ממולו", כלומר על אותו קוטר, בצד השני של העיגול במרחק זהה מהמרכז. מקום זה תמיד יהיה פנוי!

עריכה | תבנית | שיחה

עוגת שוקולד

איך מחלקים עוגת שוקולד עגולה ל-8 פרוסות זהות בצורתן באמצעות 3 איבחות סכין?

פתרון

פתרון החידה

ראשית פורסים את העוגה לרוחב לשתי פרוסות המונחות זו על זו. אחר כך פורסים לרבעי עיגול באמצעות חיתוך שני קטרים מוצלבים.

עריכה | תבנית | שיחה

בחדר גדול תלויים מהתקרה ועד לרצפה שני חבלים באורך 20 מטר כל אחד, המרחק האופקי בין החבלים, ובין כל חבל לקירות החדר גדול מ-40 מטר.

ניתן לטפס באופן חופשי על חבל שמשתלשל עד לרצפה, לחתוך חבלים וליצור בהם קשרים מבלי להשפיע על אורכם ולקפוץ מגובה של עד ארבעה מטרים אל הרצפה מבלי לשבור רגל. מטרתך היא להגיע לרצפה עם שתי רגליים שלמות וחבל באורך 24 מטרים שאינו מחובר לתקרה.

פתרון

מטפסים על חבל א' עד לגובה של 8 מטרים מעל הרצפה, חותכים את החבל ויוצרים לולאה בקצהו המחובר לתקרה, משחילים את היתר באורך 8 מטרים דרך הלולאה ויורדים על החבל הכפול עד לגובה של 4 מטרים - אז אוחזים בקצהו האחד וקופצים איתו לרצפה.

קושרים את היתר אל החבל השני ומטפסים עליו עד לגובה של 16 מטרים מעל הרצפה (4 מטרים מעלינו, 24 מתחתינו) חותכים, יוצרים לולאה בחבל העליון ומשחילים את היתר דרכה - שוב יורדים על החבל הכפול לגובה של 4 מטרים מהרצפה, אוחזים רק בקצהו האחד וקופצים - הגענו לרצפה שלמים ובריאים ובידנו חבל באורך 24 מטרים!

עריכה | תבנית | שיחה

קנגורו עומד בפני גרם מדרגות ובו 20 מדרגות. בכל צעד הקנגורו יכול לקפוץ מדרגה אחת או שתי מדרגות. בכמה דרכים שונות יכול הקנגורו לעלות את גרם המדרגות?

פתרון

בצעד הראשון יכול הקנגורו לעלות מדרגה אחת או שתיים. כלומר, מספר האפשרויות לאחר מכן הוא מספר האפשרויות לעלות 19 מדרגות (שנותרו) ועוד מספר האפשרויות לעלות 18 מדרגות. באופן דומה ניתן להתייחס לשאר הצעדים ולהגיע למסקנה כי מספר האפשרויות לעלות n מדרגות בשיטה זו הוא המספר ה-n בסדרת פיבונאצ'י. במקרה של 20 מדרגות התשובה היא 6,765 אפשרויות.

עריכה | תבנית | שיחה

ארבעה רצים עומדים בארבע פינות ריבוע שאורך צלעו 100 מטרים, ברגע מסוים מתחילים כל ארבעת הרצים לרוץ, כך שרץ 1 רודף אחרי רץ 2, רץ 2 רודף אחרי רץ 3, רץ 3 רודף אחרי רץ 4 ורץ 4 רודף אחרי רץ 1. כל אחד מהרצים רץ במהירות של 5 מטרים לשנייה, ובכיוון המדויק של הרץ אחריו הוא רודף. האם הרצים יפגשו? היכן ומתי?

פתרון

תבנית הריבוע שהרצים נמצאים בה בתחילת ריצתם נשמרת בכל משך הריצה, אך הריבוע מסתובב ומתכווץ תוך כדי הריצה. לפיכך, בכל רגע נתון כל רודף ובורח רצים בכיוונים מאונכים, כלומר ריצתו של הרץ הבורח אינה משפיעה על המרחק שלו מן הרודף - הזמן שלו זקוק הרודף כדי לתפוס את הבורח זהה לזמן שהיה נחוץ למשימה זו לוּ הבורח היה עומד במקומו ללא תנועה. כיוון שהמרחק הראשוני בין כל שני רצים הוא 100 מטרים, והרץ הרודף מצמצם את המרחק ב-5 מטרים בכל שנייה, הרצים יפגשו לאחר 20 שניות. כיוון שמסלוליהם של כל הרצים זהים קל להראות שנקודת המפגש תהיה במרכז הריבוע. המסלול שעובר כל רץ הוא ספירלה לוגריתמית שאורכה 100 מטרים.

חידה זו, שבה ארבע חיפושיות רודפות זו אחר זו, הופיעה במדורו של מרטין גרדנר בגיליון נובמבר 1957 של הירחון סיינטיפיק אמריקן, ולאחר מכן נכללה בלקט מדוריו Mathematicl Puzzles and Diversions. בגיליון יולי 1965 של כתב העת, שבו עסק גרדנר באופ ארט, הופיע תרשים המתבסס על מסלולן של החיפושיות, ומהווה יצירת אופ ארט.

חידת בונוס - כמה סיבובים יבצע כל אחד מן הרצים סביב נקודת המפגש בטרם יגיע אליה

פתרון

אינסוף

עריכה | תבנית | שיחה

תחדיש הוא מילה חדשה שנוספה לשפה. המילה "תחדיש" היא תחדיש בעצמה, ולעומתה המילה "סוס" איננה סוס בעצמה. כדי לתת שם לתופעה שאותה מייצגת כאן המילה "סוס", ניצור תחדיש: "שידחת" היא מילה שאינה מתארת את עצמה. המילה "סוס" היא שידחת, ואילו המילה "תחדיש" איננה שידחת. וכעת לבעיה: האם המילה "שידחת" היא שידחת?

פתרון

לפנינו שתי אפשרויות: "שידחת היא שידחת, או שאיננה כזו. נבדוק את שתי האפשרויות:

אם "שידחת" היא שידחת (כשם ש"תחדיש" היא תחדיש), הרי, לפי הגדרת "שידחת", אינה מתארת את עצמה, כלומר אינה שידחת. הגענו לסתירה.
אם "שידחת" איננה שידחת (כשם ש"סוס" איננה סוס) הרי היא מתארת את עצמה, כלומר היא שידחת. הגענו לסתירה.

התוצאה שהגענו אליה היא אנטינומיה - בהגדרתה של המילה "שידחת" יש סתירה פנימית. תופעה זו איננה נדירה בשפה טבעית, אך בשפה פורמלית היא גורמת נזק רב. ראו עוד בערכים פרדוקס הספר והאנטינומיה של רישאר.

עריכה | תבנית | שיחה

באמצעות 4 מופעים של הספרה 4 והסימונים המתמטיים המקובלים, ניתן להגיע לכל אחד מהמספרים השלמים 0 עד 100. בחלק מהמספרים קל מאוד לעשות זאת, בדרכים אחדות, ובמספרים אחרים כלל לא קל להגיע לדרך היחידה האפשרית.

דוגמה: אל המספר 0 ניתן להגיע בדרכים רבות, שבהן נכתב הביטוי $\ x-x$ , למשל:

$\ 44-44$
$\ (4+4)-(4+4)$
$\ 4 \times 4-4 \times 4$
$\ 4/4 - 4/4$

ניתן להגיע אל המספר 0 גם בדרכים מורכבות יותר, למשל $\ 4 \times 4 - (\sqrt{4})^4$

נסו להגיע לכל אחד מהמספרים 0 עד 100. אם הדרך שלכם חדשה, הוסיפו אותה לפתרון.

הערה טכנית: בדף זה ישנן תמונות רבות. יש לחכות לסיום טעינת כל התמונות לפני הלחיצה על "הצגה" שמציג את הפתרונות.

פתרון

פתרונות מהצורה $\ x-x$ :

$\ 44-44$
$\ 4+4-4+4$
$\ \log_{4}4-\log_{4}4$
$\ \sqrt[4]4 - \sqrt[4]4$
$\ 4 \times 4-4 \times 4$

פתרונות אחרים:

$\ 4 \times 4 - (\sqrt{4})^4$
$\ \sqrt[4]{4}^4-4$
$\ \log_{4}4^4-4$

פתרון

פתרונות מהצורה $\ x/x$ :

$\ 44 / 44$
$\ (4+4) / (4+4)$
$\ (4 \times 4) / (4 \times 4)$
$\ \sqrt[4]4 / \sqrt[4]4$
$\ \log_{4}4/\log_{4}4$

פתרונות אחרים:

$\ (4 \times 4) / \sqrt{4}^4$
$\ \sqrt[4]{4}^4/4$
$\ 44^{4-4}$
$\ \sqrt 4-4^{4-4}$
$\ \tan(44+4/4)^o$
$\ \log_{4} \sqrt 4 + \log_{4} \sqrt 4$
$\ \log_{44}{44}$
$\ \cos(44-44)$
$\ \log[(44-4)/4]$
$\ (44-44)!$

פתרון

פתרונות מהצורה $\ x+x$ :

$\ 4/4 + 4/4$
$\ \log_{4} 4 + \log_{4} 4$

פתרונות אחרים:

$\ (4 \times 4)/(4+4)$
$\ 4-\sqrt[4]{4 \times 4}$
$\ \sqrt[4]4 \times \sqrt[4]4$

פתרון

$\ (4+4+4)/4$
$\ 4-4^{4-4}$
$\ \sqrt 4+4^{4-4}$
$\ \sqrt 4 + \sqrt 4 - 4/4$

פתרון

$\ 4 \times (4-4)+4$
$\ 4! + 4! - 44$

פתרון

$\ (4 \times 4+4)/4$
$\ 4+4^{4-4}$
$\ 4 + \sqrt 4 - 4/4$

פתרון

$\ 4+(4+4)/4$
$\ \sqrt[4]{4 \times 4}+4$
$\ (\sqrt{4 \times 4}-4/4)!$

פתרון

$\ 4+4-4/4$
$\ (4! + \sqrt 4 + \sqrt 4) / 4$

פתרון

$\ 4+4-4+4$
$\ (4+4) \times (4/4)$
$\sqrt{4}^4 - 4 - 4$
$\ \sqrt[4]{4}^4+4$

פתרון

$\ 4/4+4+4$

פתרון

$\ (44-4)/4$

פתרון

$\ \frac{44}{\sqrt 4 + \sqrt 4}$
$\ (4! + 4) / 4 + 4$
$\ 4! / \sqrt 4 - 4/4$

פתרון

$\ (44+4)/4$
$\ (4-4/4) \times 4$
$\ \frac{4! \times 4}{4+4}$

פתרון

$\ 44/4 + \sqrt 4$
$\ 4!-44/4$
$\ 4! / \sqrt 4 + 4/4$

פתרון

$\ 4+4+4+\sqrt 4$
$\ 4!/4 + 4 + 4$

פתרון

$\ 44/4+4$
$\ 4 \times 4-4/4$
$\ 4! - tan (arccos \frac{\sqrt 4}{4})^4$

פתרון

$\ 4 \times 4 \times 4/4$
$\ 4+4+4+4$
$\ 4 \times 4+4-4$
$\ \frac{4^4}{4 \times 4}$

פתרון

$\ 4 \times 4+4/4$

פתרון

$\ 4 \times 4 + 4 / \sqrt 4$
$\ (\sqrt 4+\sqrt 4) \times 4+\sqrt 4$
$\sqrt{4}^4 + 4 - \sqrt 4$
$\ 4.4 \times 4 + .4$

פתרון

$\ 4! - 4 - 4/4$

פתרון

$\ (4/4+4) \times 4$
$\ (4 + \sqrt 4) \times 4 - 4$
$\ 4 \times 4 + \sqrt 4 + \sqrt 4$
$\sqrt{4}^4 + \sqrt 4 + \sqrt 4$
$\ {4! \choose \sqrt 4} - 4^4$

פתרון

$\ (44-\sqrt 4)/ \sqrt 4$
$\ 4! - tan (arccos \frac{\sqrt 4}{4})^\sqrt 4$

$\sum_{i=4/4}^{4 + \sqrt 4}{i}$

פתרון

$\ 44/4 \times \sqrt 4$
$\sqrt{4}^4 + 4 + \sqrt 4$
$\ 4!-\sqrt[4]{4 \times 4}$

פתרון

$\ (44+ \sqrt 4) / \sqrt 4$
$\ 4!-4^{4-4}$
$\ {4! \choose \sqrt 4} / 4! \times \sqrt 4$

פתרון

$\ 4 \times 4+4+4$
$\sqrt{4}^4 + 4 + 4$

פתרון

$\ (4+4/4)^{\sqrt 4}$
$\ (4! \times 4+4)/4$
$\ 4!+4^{4-4}$

פתרון

$\ 4! + (4+4)/4$
$\ 4!+\sqrt[4]{4 \times 4}$

פתרון

$\ 4! + 4/4 + \sqrt 4$
$\ 4! + tan (arccos \frac{\sqrt 4}{4})^\sqrt 4$

פתרון

$\ (4+4) \times 4-4$
$\ 44-4 \times 4$
$\ 4!+4+4-4$

פתרון

$\ 4! + 4/4 + 4$

פתרון

$\ (4+4) \times 4 - \sqrt 4$
$\ \frac{(4+4/4)!}{4}$
$\ 4! + \sqrt 4 + \sqrt 4 + \sqrt 4$
$(\prod_{i=4}^{4+\sqrt 4}{i}) / 4$

פתרון

$\ 4! + 4 + \sqrt {4 / .\overline{4}}$

פתרון

$\ 4 \times 4+4 \times 4$
$\ 44 - 4! / \sqrt 4$

פתרון

$\ 4! + tan (arccos \frac{\sqrt 4}{4})^4$

פתרון

$\ (44 + 4!)/4$
$\ (4+4) \times 4 + \sqrt 4$

פתרון

$\ 44/4+4!$

פתרון

$\ 44-4-4$
$\ (4+4) \times 4 + 4$
$\ 4!+4+4+4$

פתרון

$\ 4! + 4 + 4 / .\overline{4}$

פתרון

$\ 44 - 4 - \sqrt{4}$
$\ 44 - 4! / 4$

פתרון

$\ \frac {4 \times 4 - .4}{.4}$

פתרון

$\ 44 - \sqrt{4} - \sqrt{4}$
$\ 4! \times \sqrt 4 - 4 - 4$

פתרון

$\ \frac {4 \times 4 + .4}{.4}$

פתרון

$\ 44 - 4 + \sqrt{4}$

פתרון

$\ 44-4/4$

פתרון

$\ 4!+4 \times 4+4$
$\ 44 \times 4 / 4$
$\ 4! \times \sqrt 4 - \sqrt 4 - \sqrt 4$

פתרון

$\ \frac{(4+\sqrt 4)!}{4\times 4}$
$\ 44+4/4$

פתרון

$\ 44+4-\sqrt 4$
$\ 4! \times \sqrt 4+\sqrt 4-4$
$\ {4! \choose \sqrt 4} / 4! \times 4$
$\ {4! \choose \sqrt 4} / (4 + \sqrt 4)$

פתרון

$\ \ 4! + 4! - 4/4$

פתרון

$\ 4!/4 \times (4+4)$
$\ 4! \times \sqrt 4+4-4$
$\ 4! \times \sqrt[4]{4 \times 4}$

פתרון

$\ 4! \times \sqrt 4+4/4$

פתרון

$\ 44+4+\sqrt 4$
$\ (4! \times 4+4)/\sqrt 4$
$\ 44 + 4! / 4$
$\ \frac{(\sqrt 4 + \sqrt 4)! -4}{.4}$

פתרון

$\ 4! \times \sqrt 4 + \sqrt {4 / .\overline{4}}$
$\ (4! - \sqrt 4) / .4 - 4$

פתרון

$\ 4 \times 4! - 44$
$\ 4! \times \sqrt 4 + \sqrt 4 + \sqrt 4$

פתרון

$\ (4! - \sqrt 4) / .4 - \sqrt 4$

פתרון

$\ 4! \times \sqrt 4+\sqrt 4+4$
$\ 44+4/.4$

פתרון

$\ (4! - .4) / .4 - 4$

פתרון

$\ 4! \times \sqrt 4 + 4 + 4$
$\ 44 + 4! / \sqrt 4$
$\ \frac {4! - 4 \times .4}{.4}$
$\ \frac {(4 + 4)!}{(4 + \sqrt 4)!}$

פתרון

$\ \frac {4! + .4}{.4} - 4$

פתרון

$\ \frac {4! - .4 - .4}{.4}$

פתרון

$\ \frac {4! + .4}{.4} - \sqrt 4$

פתרון

$\ 4 \times 4 \times 4 - 4$
$\ 4^4/4 - 4$

פתרון

$\ \frac{4!+\sqrt 4}{.4}-4$

פתרון

$\ \frac {4! + .4 + .4}{.4}$

פתרון

$\ \frac{4^4-4}{4}$
$\ \frac {4! + .4}{.4} + \sqrt 4$
$\ \frac{{4! \choose \sqrt 4} - 4!}{4}$

פתרון

$\ \sqrt{4 \times 4 \times 4^4}$
$\ 44 + 4! - 4$
$\ 4^{4 - 4/4}$
$\ \frac {4! + 4 \times .4}{.4}$
$\ \frac{4!}{.4} + \sqrt 4 + \sqrt 4$

פתרון

$\ \frac{4^4+4}{4}$
$\ \frac {4! + .4}{.4} + 4$
$\ {4! \choose \sqrt 4} / 4 - 4$

פתרון

$\ 4^4/4 + (\sqrt{4})$

פתרון

$\ {4! \choose \sqrt 4} / 4 - \sqrt 4$
$\ \frac{4!+\sqrt 4}{.4}+\sqrt 4$

פתרון

$\ 4 \times 4 \times 4 + 4$
$\ 4^4/4 + 4$
$\ (\sqrt{4})^4 \times 4 + 4$
$\ 4! + 4! + 4! - 4$
$\ \frac {{4! \choose \sqrt 4} - 4} {4}$

פתרון

$\ \frac{4!+\sqrt 4}{.4}+4$

פתרון

$\ \frac {{4! \choose \sqrt 4} + 4} {4}$
$\ \frac {(4 + 4)!}{4! \times 4!}$

פתרון

$\ {4! \choose \sqrt 4} / 4 + \sqrt 4$

פתרון

$\ 44 + 4! + 4$
$\ tan (arccos \frac{\sqrt 4}{4})^\sqrt 4 \times 4!$

פתרון

$\ {4! \choose \sqrt 4} / 4 + 4$

פתרון

$\ \frac{4! + 4}{.4} + 4$

פתרון

$\ \frac{{4! \choose \sqrt 4} + 4!}{4}$

פתרון

$\ 4! + 4! + 4! + 4$

פתרון

$\ (\Gamma(4) / \sqrt 4)^4 - 4$

פתרון

$\ \frac {4! + 4! \times .\overline{4}}{.\overline{4}}$

פתרון

$\ (\Gamma(4) / \sqrt 4)^4 - \sqrt 4$

פתרון

$\ 4! \times 4 - 4 \times 4$

פתרון

$\ (4 - \frac{4}{4})^4$

$\ (4 / .\overline{4}) \times (4 / .\overline{4})$

פתרון

$\ 4! / .\overline{4} + 4! + 4$

פתרון

$\ (\Gamma(4) / \sqrt 4)^4 + \sqrt 4$

פתרון

$\ 44 \times \sqrt{4} - 4$
$\ \frac {4! + 4! \times .4}{.4}$

פתרון

$\ 4! + \frac {4! + .4}{.4}$

$\ (\Gamma(4) / \sqrt 4)^4 + 4$

פתרון

$\ 44 \times \sqrt{4} - \sqrt{4}$
$\ 4! \times 4-4/.4$
$\ 44 / .4 - 4!$

פתרון

$\ 4! \times 4 - 4 / .\overline{4}$

פתרון

$\ 4! \times 4 - \sqrt{4} \times 4$

פתרון

$\ 4! + \frac {4! + \sqrt{4}} {.4}$

פתרון

$\ 4! \times 4 - \sqrt{4} - 4$

פתרון

$\ 4! \times 4 - \sqrt{4} / .4$

פתרון

$\ 4! \times 4 - \sqrt{4} - \sqrt{4}$
$\ 4! \times \sqrt 4 \times \sqrt 4-4$

פתרון

$\ 4! \times 4 - \sqrt {4 / .\overline{4}}$

פתרון

$\ 4! \times 4-4 + \sqrt 4$

פתרון

$\ 4! \times 4 -4/4$

פתרון

$\ 4! + 4! + 4! + 4!$
$\ 4! \times 4-4+4$
$\ 4! \times \sqrt[4]{4^4}$

פתרון

$\ 4! \times 4 +4/4$

פתרון

$\ 4! \times 4+4 - \sqrt 4$

פתרון

$\ 4! \times 4 + \sqrt {4 / .\overline{4}}$

100

פתרון

$\ 4! \times 4 + \sqrt{4} + \sqrt{4}$
$\ 4! \times \sqrt 4 \times \sqrt 4 + 4$
$\ (4/.4) \times (4/.4)$

לקריאה נוספת

Angela Dunn, Mathematical Bafflers, Dover, 1980

חידת בונוס: גם ליחס הזהב, שהוא $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618033988...$ , ניתן להגיע באמצעות 4 מופעים של הספרה 4 והסימונים המתמטיים המקובלים. התוכלו לגלות?

פתרון

$\ \frac{\sqrt 4 +\sqrt{4!-4}}{4}$ ‏

עריכה | תבנית | שיחה

אני עומד להטיל שתי קוביות משחק שגרתיות, שעל כל אחת מהן מופיעים המספרים 1 עד 6. ניחוש נכון של סכום שני המספרים שיראו הקוביות יזכה אותך בפרס. מה הניחוש שיבטיח לך את סיכויי הזכייה הגבוהים ביותר?

פתרון

בהנחה שקוביות משחק כשרות, ההסתברות של כל קובייה ליפול על כל אחת מהפאות שלה היא זהה בדיוק ושווה ל־1/6. כאשר לכל קובייה 6 תוצאות אפשריות, סך־הכל קיימות 36 תוצאות שונות, כאשר הסכום נע בין 2 ל־12:

סכום	מספר תוצאות	התוצאות
2	1	1+1
3	2	1+2, 2+1
4	3	1+3, 2+2, 3+1
5	4	1+4, 2+3, 3+2, 4+1
6	5	1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1
7	6	1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1
8	5	2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2
9	4	3+6, 4+5, 5+4, 6+3
10	3	4+6, 5+5, 6+4
11	2	5+6, 6+5
12	1	6+6

מתוך טבלת התוצאות, קל להבחין שהסכום השכיח ביותר הוא 7. סכום זה מתקבל ב־6 מתוך 36 התוצאות, כלומר סיכויי הזכייה בבחירתו 1/6, יותר מאשר בכל בחירה אחרת.

עריכה | תבנית | שיחה

5 חצים נורים על מטרה שצורתה משולש שווה צלעות, שאורך צלעו 1 מטר. הראו שיש לפחות שני חצים שהמרחק ביניהם קטן או שווה לחצי מטר.

פתרון

מחלקים את המשולש לארבעה משולשים שווי צלעות שאורך הצלע של כל אחד מהם חצי מטר. כיוון שיש ארבעה משולשים וחמישה חצים לפחות שני חיצים נמצאים באותו משולש - ולכן המרחק בינהם בהכרח קטן או שווה לחצי מטר.

עריכה | תבנית | שיחה

שני חברים רוצים להעביר כסף מאחד לשני, באמצעות שירות חבילות, אך לרוע המזל השירות מורכב מעבריינים רבים. שירות החבילות יעביר תמיד את החבילה, אך אם יש באפשרותו הוא יגנוב את תכולתה. לכן כל אחד מהחברים הצטייד במפתחות ומנעולים, כך שיוכל לנעול את החבילות שהוא שולח, באופן ששירות החבילות לא יוכל לפתוח את החבילה בדרך, אבל לרוע המזל גם החבר השני לא יוכל לפתוח את החבילה, משום שלאף אחד מהם אין מפתח לאחד מהמנעולים של רעהו. האם אפשר למצוא דרך שבה החברים יוכלו בכל זאת לשלוח כסף אחד לשני?

פתרון

הפתרון לחידה נקרא "אלגוריתם שלושת המעברים של שמיר" (Shamir's three-pass protocol) על שם ממציאו, עדי שמיר. החבר הראשון שם את הכסף בחבילה, נועל אותה באחד המנעולים שלו. החבר השני איננו יכול לפתוח את החבילה אך הוא נועל את החבילה במנעול נוסף ושולח חזרה אל החבר הראשון. החבר הראשון פותח את המנעול שלו, שולח חזרה, החבר השני יכול עתה להסיר את המנעול שלו ולפתוח את החבילה.

שמיר הוא אחד משלושת הממציאים של שיטת ההצפנה RSA, שיטת הצפנה במפתח ציבורי. פיתוחה של שיטת הצפנה זו ואחרות שאב ההשראה מחידות מסוג זה.

עריכה | תבנית | שיחה

במרתף היין של המלך נמצאות 1,000 חביות. מתנקש החדיר רעל קטלני לאחת החביות - די בטיפה אחת מהרעל כדי להרוג את הקורבן בתוך 24 שעות. למלך יש 24 שעות בלבד לגלות את החבית המורעלת - ולשם כך הוא יכול לצוות על המשרתים שלו לשתות מהיין, ולבדוק מה מצבם כעבור יום - מהו המספר המינימלי של משרתים להם זקוק המלך על מנת לגלות את החבית המורעלת?

פתרון

10 משרתים. ניתן לייצג כל חבית באמצעות מספר בינארי בן 10 ספרות (יש 1,024 אפשרויות למספרים באורך זה). עשרת המשרתים מסתדרים בשורה, כך שכל משרת מייצג ספרה בינארית - כל משרת שותה מכל החביות שהוא משתתף בייצוג הבינארי שלהן. למשל - מחבית מספר 1 (ייצוג בינארי 0000000001) ישתה רק המשרת הראשון, ואילו מחבית מספר 341 (0101010101) ישתו המשרתים שמספרם 1,3,5,7,9. כעבור 24 שעות יבדוק המלך מי מהמשרתים נפגע מן הרעל - והחבית המורעלת היא זו שמספרה הבינארי מיוצג על ידי הספרות של המשרתים שנפגעו.

עריכה | תבנית | שיחה

שלטון הקמר רוז' בקמבודיה מחליט להוציא להורג עשרה מתמטיקאים, אך מאפשר ליד הגורל להתייצב לצידם. המתמטיקאים מתבשרים על כך שהם יועמדו בטור, כך שכל אחד יוכל לראות את מי שלפניו בטור, ועל הראש של כל אחד מהם יונח כובע בצבע כחול או אדום. לאחר מכן הראשון בטור (זה שרואה את כל האחרים) יתבקש לנחש את צבע הכובע שעל ראשו. אם הוא צודק חייו יינצלו ואם הוא טועה, יירו בו בראש במקום. לאחר מכן ימשיכו אל הבא אחריו בטור וכך הלאה. האם המתמטיקאים יכולים למצוא אסטרטגיה שתבטיח שלפחות חלק מהם יישארו בחיים? כמה מהמתמטיקאים אפשר להציל?

פתרון

המתמטיקאי הראשון יאמר אדום אם מספר הכובעים האדומים שחובשים חבריו הוא זוגי, וכחול אם המספר אי-זוגי. המתמטיקאי השני יספור את הכופעים האדומים שהוא רואה לפניו - אם המספר תואם את הכרזתו של הראשון (כלומר הראשון הכריז אדום - ומספר הכובעים זוגי, או שהראשון הכריז כחול - ומספםר הכובעים אי זוגי) הרי שעל ראשו כובע כחול, אחרת - הוא חובש כובע אדום. בצורה דומה, ועל פי הכרזות המתמטיקאים הקודמים להם, יכולים גם שאר המתמטיקאים להנצל.

למתמטיקאי הראשון סיכוי של 50% להינצל, וכל תשעת האחרים ינצלו בכל מקרה.

עריכה | תבנית | שיחה

הוכח שבכל רגע נתון ישנה נקודה על כדור-הארץ שבה הטמפרטורה והלחץ זהים בדיוק לנקודה שממול לה על-פני כדור-הארץ (ההנחה היא שהטמפרטורה והלחץ מוגדרות ורציפות בכל מקום על פני כדור-הארץ).

פתרון

יוצג לאחר הפותר הראשון

עריכה | תבנית | שיחה

לבילי שתי חברות, צילי וגילי. לביתה של צילי מוביל אוטובוס בקו 1, ולביתה של גילי מוביל אוטובוס בקו 2, ולשני האוטובוסים תחנה משותפת ליד ביתו של בילי. כל אחד משני האוטובוסים עוצר בתחנה מדי חצי שעה. בילי מתקשה להחליט איזה משתי החברות להעדיף, ולכן הוא נותן לגורל להחליט למענו: בכל יום הוא יוצא מביתו, ועולה לאוטובוס הראשון שמגיע לתחנה. כעבור זמן מה גילה בילי שביקוריו אצל צילי רבים פי תשעה מביקוריו אצל גילי. התוכלו להסביר מה גרם להעדפתה של צילי?

פתרון

אף שלשני קווי האוטובוסים אותה תדירות נסיעה (כל אחד עוצר בתחנה מדי חצי שעה), יש משמעות גם ללוח הזמנים שלהם: קו מספר 1, המוביל לביתה של צילי, מגיע לתחנה 3 דקות לאחר שהגיע אליה קו 2, המוביל לביתה של גילי. כתוצאה מכך, במהלך כל חצי שעה, יש 3 דקות שאם בילי יגיע במהלכן לתחנה יפגוש את קו 2, ו-27 דקות שאם יגיע במהלכן לתחנה יפגוש את קו 1. ההסתברות שבילי ייסע בקו 1 גדולה לפיכך פי 9 מההסתברות שייסע בקו 2.

עריכה | תבנית | שיחה

1,000 מנורות כבויות עומדות בשורה וממוספרות בכל המספרים מ-1 עד 1,000, לכל מנורה מתג. אם לוחצים על המצג כשהמנורה כבויה, היא תידלק, אם לוחצים על המתג כשהמנורה דולקת, היא תכבה. באים 1,000 גמדים ממוספרים אף הם מ-1 עד 1,000. תחילה עובר גמד מס' 1 ולוחץ על המתג לכל המנורות שמספרן מתחלק ב-1. שני עובר גמד מס' 2 ולוחץ על המתג בכל המנורות שמספרן מתחלק ב-2. כך עוברים כל הגמדים לפי סדר כך שהגמד ה-n לוחץ על המתגים של כל המנורות שמספרן מתחלק ב-n. לאחר שהגמד ה-1,000 מסיים את עבודתו, אילו נורות תהיינה דלוקות ולמה?

פתרון

מכיוון שהמצב התחילי של המנורות הוא כבוי, הרי שכדי שמנורה תהיה דלוקה בסוף התהליך צריכים ללחוץ עליה מספר אי-זוגי של פעמים. כל גמד לוחץ על מנורה עם מספרה מתחלק במספר של הגמד, ולכן מנורה שנלחצה מספר אי זוגי של פעמים מתחלקת במספר אי-זוגי של מספרים. לאילו מספרים יש מספר אי-זוגי של מחלקים? פעולת הכפל היא פעולה בינארית, כלומר פעולה בין שני מספרים, מה שאומר שאם מספר טבעי מסוים $n$ מתחלק במספר טבעי אחר- $a$ הרי ש $n$ מתחלק גם ב- $n / a$ . מכאן יוצא, לכאורה, שלכל מספר יש מספר זוגי של מחלקים, אולם ישנם מספרים יוצאי דופן, המספרים האלה הם המספרים הריבועיים. לכל מספר ריבועי $n$ קיים מספר טבעי $a$ בעבורו מתקיים השוויון: $a 2 = n$ . למספרים הריבועיים יש תמיד מספר אי-זוגי של מחלקים מכיוון שיש להם מחלק אחד שלא גורר קיומו של מחלק שכנגד. לדוגמה: המספר 7 מחלק את המספר 28, ולכן 28 חייב גם להתחלק ב-4, כי 28/7=4. לעומת זאת, הספר 7 מחלק את המספר 49, אבל מכיוון ש: 49/7=7 יש ל49 מספר אי-זוגי של מחלקים.

עריכה | תבנית | שיחה

ארבעה בנים נדרשים לשאול ארבע קושיות, כך שכל בן ישאל קושיה אחת. בכמה דרכים שונות ניתן להקצות את הקושיות לבנים? בכמה דרכים שונות ניתן להקצות את הקושיות לבנים, כך שלא יהיה מצב שבו בן ישאל קושיה שמספרה הסידורי זהה לשלו (כלומר אסור מצב שבו, למשל, הבן השני שואל את הקושיה השנייה)?

פתרון

לא יודע, עזרו לי

עריכה | תבנית | שיחה

במשחק פריסל מורחב כל החוקים זהים (לרשימה מלאה ראו חוקים בפריסל), אבל חפיסת הקלפים מכילה ארבעה רצפים אינסופיים (במקום 4 רצפים מ-1 עד 13), ישנם אינסוף תאים ואינסוף עמודות. בהינתן n תאים ריקים ו-k עמודות ריקות, כמה קלפים ניתן להעביר ממקום למקום (כאשר מקום היעד אינו עמודה ריקה)?

פתרון

$\ (n+1)2^k$

ההסבר יפורסם בהמשך (אולי אפילו עוד הרבה מאוד זמן)

עריכה | תבנית | שיחה

את המעגל O חוצים שני מיתרים מאונכים זה לזה, כך שאף אחד מהם אינו עובר במרכז המעגל (כלומר, אף אחד משני המיתרים איננו הקוטר). מצאו תנאי שיקבע מתי השטח הכחול גדול יותר מהלבן ומתי הלבן גדול יותר מהכחול (ישנן המון תשובות אפשריות).

פתרון

השטח המכיל את הראשית הוא השטח הגדול יותר, הסבר יפורסם בהמשך.

עריכה | תבנית | שיחה

ניקח מספר טבעי בן שלוש ספרות ונשרשר אותו לעצמו, כלומר מהמספר abc נקבל abcabc (מהמספר 712, למשל, נקבל 712712). לאיזה חמישה גורמים מתחלק המספר שקיבלנו?

פתרון

שרשור מספר בן שלוש ספרות לעצמו הוא למעשה הכפלתו ב-1,001. המספר 1,001 מתחלק לשלושה גורמים: 7, 11, 13 (שהרי 1,001 = 7X11X13) ולכן אין ספק שהמספר שקיבלנו מתחלק בשלושה גורמים אלה (וייתכן שבגורמים נוספים, כאשר המספר המקורי אינו ראשוני). בנוסף לכך, המספר שקבלנו מתחלק במספר המקורי וב-1.

עריכה | תבנית | שיחה

100 עשירים קנאים רצו להוכיח את שהם נדיבים אחד יותר מהשני. העשיר הראשון תרם מטבע של מיליון שקל לצדקה, השני הניח ליד המטבע של הראשון ערמה של שני מטבעות (מיליון שקל כל אחת), השלישי הניח לידם ערמה של 3 מטבעות וכן הלאה. לאחר שנאסף כל הכסף הופיע גנב ולקח מטבע אקראי אחד, מתוך אחת הערמות וברח מכיוון ששמו לב לנוכחותו. מה הסיכוי שהמטבע שנגנב היה מהערמה של האיש העשיר ביותר (הערמה עם 100 המטבעות)?

פתרון

הסיכוי הוא מספר המטבעות שתרם האיש העשיר ביותר, 100, לחלק במספר המטבעות הכללי שהונח. כדי לחשב מספר זה אפשר להשתמש בשיטה שגילה קרל פרידריך גאוס, על פי הסיפור, עוד בהיותו בן 7. גאוס גילה שעל מנת לחבר את כל המספרים מאחד עד מאה, אפשר לחלק אותם לזוגות: 100+1, 99+2, 98+3, וכן הלאה. הסכום בכל זוג הוא 101 וסה"כ ישנם 50 זוגות כאלו, ולכן סכום כל המספרים בין 1 ל-100 הוא 101x50. מכאן שהסיכוי שהמטבע שנגנב נתרם על ידי האיש הנדיב ביותר הוא: $\frac{100}{101\cdot50}=2/101=1/50.5$ כלומר קצת פחות מ-2 אחוז. ראו גם: סדרה חשבונית.

עריכה | תבנית | שיחה

סוחר דגלים ישראלי, שרצה לצמצם עלויות, הזמין בסין משלוח של מיליון דגלי ישראל. בהזמנה כתב: "נא לשים מגן דוד בצבע תכלת בין שני פסי תכלת". הדגל שקיבל נראה כך:

מהי הזווית המזערית שבה יש לסובב מגן דוד זה, על מנת שיתקבל דגל תקני, כזה:

?
באילו זוויות נוספות ניתן לסובב מגן דוד זה, על מנת שיתקבל דגל תקני?

פתרון

מגן דוד מורכב משני משולשים שווי צלעות, שכל אחת מזוויותיהם היא בת 60 מעלות. כל צלע שאינה מאונכת לפסי הדגל יוצרת עם הפסים זווית של 30 מעלות, ולכן בסיבוב של מגן דוד זה ב-30 מעלות יתקבל דגל תקני.

ניתן לראות מגן דוד כמורכב משישה משולשים זהים, הנמצאים מסביב למשושה. לפיכך כל סיבוב של מגן דוד בזווית של 60 מעלות ישאיר אותו ללא שינוי. לפיכך סיבוב בזווית של $\ 30 + 60n$ מעלות, כאשר $\ n$ מספר טבעי או 0, יתקן את הדגל הפגום.

חידת המשך: לכבוד יום הולדתו של המלך, החליט "בנק העם" של מרוקו לחלק את דגל המדינה לתושביה. כדי לצמצם עלויות, הזמין בסין משלוח של מיליון דגלי מרוקו. בהזמנה נכתב: "נא לשים פנטגרם בצבע ירוק על רקע אדום". הדגל שקיבל נראה כך:

מהי הזווית המזערית שבה יש לסובב את הפנטגרם, על מנת שיתקבל דגל תקני, כזה:

?
באילו זוויות נוספות ניתן לסובב את הפנטגרם, על מנת שיתקבל דגל תקני?

פתרון

הזווית בכל אחד מקודקודי הפנטגרם היא בת 36 מעלות, ולכן חוצה הזווית חוצה אותה לשתי זוויות בנות 18 מעלות. לפיכך סיבוב של הפנטגרם בזווית של 18 מעלות נגד כיוון השעון יהפוך את הדגל הפגום לדגל תקני.

כל סיבוב של הפנטגרם ב-72 מעלות משאיר אותו ללא שינוי, לפיכך סיבוב בזווית של $\ 18 + 72n$ מעלות נגד כיוון השעון, כאשר $\ n$ מספר טבעי או 0, יתקן את הדגל הפגום

עריכה | תבנית | שיחה

בסיפור "הרופא וגרושתו" שם ש"י עגנון בפי הרופא, המספר, את המילים: "יתר על כן כפלתי לה חיבתי. דבר זה למעלה מן ההגיון, שהרי כל חיבתי כבר ניתנה לה". בהנחה שהחיבה היא גודל מדיד, מה הייתה מידת חיבתו של הרופא?

פתרון

נסמן את החיבה ב-x. מדברי הרופא אנו למדים כי 2x = x . משוואה זו מתקיימת בשני מצבים:

$\ x = 0$
$x = \infty$

שתי תוצאות אלה תואמות את מסקנתו של הרופא: "דבר זה למעלה מן ההגיון".

עריכה | תבנית | שיחה

נתון מערך בן $\ n$ איברים, שבו שובצו $\ n$ מספרים טבעיים שונים, מתוך הטווח 1 ועד $\ n+1$ . יש למצוא את המספר הטבעי בטווח זה שלא שובץ, וזאת במעבר אחד בלבד על המערך.

מי חסר?

פתרון

במעבר על המערך מסכמים את כל המספרים הרשומים בו, ואת התוצאה מפחיתים מסכום הטור $\ 1 ... n+1$ (שאותו נחשב לפי הנוסחה לסכום טור חשבוני). התוצאה היא המספר המבוקש.

וכעת לחידת בונוס:

נתון מערך בן $\ n$ איברים, שבו שובצו $\ n$ מספרים טבעיים שונים, מתוך הטווח 1 ועד $\ n+2$ . יש למצוא את שני המספרים הטבעיים בטווח זה שלא שובצו, וזאת במעבר אחד בלבד על המערך.

פתרון

במעבר על המערך מסכמים את כל המספרים הרשומים בו, ואת התוצאה מפחיתים מסכום הטור $\ 1 ... n+1$ (שאותו נחשב לפי הנוסחה לסכום טור חשבוני). ההפרש הוא סכום שני המספרים המבוקשים. בנוסף לכך, באותו מעבר גם מכפילים את איברי המערך זה בזה, והתוצאה תחלק את $\ (n+2)!$ . המנה היא מכפלת שני המספרים המבוקשים. קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים, שפתרונן ייתן את שני המספרים המבוקשים.

עריכה | תבנית | שיחה

עומס תנועה בסאו פאולו

אלי נתקע בכביש בשל תקלה טכנית במכוניתו. יש סיכוי של 1:2 שאדם אקראי ישים לב למאורע. בנוסף חצי מהאנשים אכפתיים מספיק כדי לעזור וחצי מהם בעלי ידע טכני מספק. אם ורק אם שלושת התנאים מתקיימים אותו אדם יעזור לאלי. מה הסיכוי שהאדם שלא עזר לאלי הוא אכפתי דיו?

פתרון

הסיכוי שאדם אקראי יעזור לאלי הוא 1/8, הסיכוי שאותו אדם לא אכפתי הוא 1/2 (או 4/8) והסיכוי שאותו אדם אכפתי אך לא מסוגל לעזור הוא 3/8. לפיכך, הסיכוי שאותו אדם אכפתי למרות שהוא לא עזר הוא 3/7.

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/51

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/52

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/53

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/54

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/55

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/56

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/57

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/58

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/59

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/60

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/61

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/62

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/63

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/64

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/65

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/66

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/67

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/68

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/69

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/70

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/71

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/72

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/73

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/74

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/75

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/76

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/77

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/78

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/79

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/80

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/81

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/82

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/83

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/84

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/85

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/86

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/87

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/88

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/89

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/90

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/91

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/92

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/93

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/94

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/95

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/96

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/97

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/98

עריכה | תבנית | שיחה

פורטל:מתמטיקה/חידה/99

עריכה | תבנית | שיחה

100

פורטל:מתמטיקה/חידה/100

עריכה | תבנית | שיחה

בחזרה לפורטל

קטגוריה: פורטלים: אוספים

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

פורטל:מתמטיקה/חידה/אוסף

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

לקריאה נוספת

Views

ניווט

קהילה

חיפוש