אקראיות
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
אקראיות (Randomness) היא מצב כאוטי, חוסר סדר מטרה או תכלית. בניסוח לא מדעי חוסר יכולת חיזוי. תהליך אקראי הוא תהליך החוזר על עצמו שתוצאתו מתאפיינת בהתפלגות סטטיסטית מסויימת אך חסרת תבנית דטרמיניסטית כלשהי. הביטוי אקראיות משמש לעיתים בסטטיסטיקה כדי לתאר תכונות של העדר הטייה או קורלציה. אחת הטכניקות החשובות בתורת החישוביות, שיטת מונטה קרלו מסתמכת על תכונת האקראיות לפתרון בעיות מתמטיות.
אקריות היא פתרון מקובל במקרה אי-הכרעה כמו תיקו בבחירות או בספורט. הקדמונים השתמשו באקראיות לצרכי נבואה כדי "לגלות את רצון האל". דוגמאות הם קלפי טארוט, אי צ'ינג, ניחוש בקפה וגילוי עתידות באמצעות קטעי תנ"ך שנבחרו באקראי.
תוכן עניינים |
[עריכה] היסטוריה
מאז ימי קדם התעניינו בני אדם בתהליכים אקראיים כמו פּוּר (הטלת גורל) או הימור. בתנ"ך מוזכרים מקרים בהם נעשה שימוש בהגרלה כדי להכריע בשני סוגיות עיקריות, יישוב ומניעת סכסוכים ומריבות כאשר אין צורך בהתערבות אלוהית או בירור רצון האל רק במידה ויש הוכחה כי אלוהים התערב בהגרלה. דוגמה מספר שופטים (כ' 9-10) "ועתה זה הדבר אשר נעשה לגבעה: עליה בגורל ולקחנו עשרה אנשים...". בספר משלי (ט"ז 33) "בחיק יוטל את הגורל, ומה' כל משפטו...". שמואל הנביא (שמואל א' 20-24) הפיל גורל כדי לברר מי האיש שה' בחר למלוך על ישראל ובספר יונה הפילו המלחים גורל כדי למצוא מי אשם בסערה הגדולה שפקדה אותם. לפי אחד הפירושים הם ביצעו הרבה הגרלות (שנאמר "לכו ונפילה גורלות") והם השתכנעו ברצון האל רק לאחר שיונה הנביא נפל בגורל בכל הפעמים.
ביוון העתיקה הוקצו אדמות לבעליהן באמצעות הגרלה. הימורים היו נפוצים בתרבויות שונות מאז ומתמיד, ג'ירולמו קרדאנו וגלילאו גליליי כתבו על משחקי הימורים.
הטיפול המתמטי הראשון בנושא אקראיות ככלי מדעי החל עם עבודתם של פסקל, פרמה וכריסטיאן הויגנס. הגרסה המקורית של תורת ההסתברות שפיתחו הייתה מבוססת על ההנחה שתוצאת תהליכים אקראיים היא בעלת התפלגות אחידה. הם היו הראשונים שהגדירו את המושג הסתברות סטטיסטית, מה שהתפתח לאחר מכן לאנטרופיה בתורת האינפורמציה.
בתחילת שנות השישים, פיתחו התמתטיקאים גרגורי צ'ייטין, קולמוגורוב וריי סולומונוף מושג חשוב בתורת ההסתברות "אקראיות אלגוריתמית", שבה אקראיות נמדדת באופן חישובי, כמו אקראיות רצף סיביות הנמדדת ברמת הדחיסות שלו.
[עריכה] אקראיות בפיזיקה
תחומי מדע רבים קשורים או עושים שימוש באקראיות. ביניהם נמנים תורת הכאוס, קריפטוגרפיה, תורת המשחקים, תורת האינפורמציה, תורת ההסתברות, מכניקה קוונטית ומכניקה סטטיסטית.
במאה ה-19 ניסו פיזיקאים לנתח התנהגות צברים של חלקיקים תוך שימוש בכלים הסתברותיים בשל הקושי הרב בתיאור מדוייק של המערכת באופן דטרמיניסטי. מה שהוביל לפיתוח ענף חשוב בתרמודינמיקה, המכניקה הסטטיסטית בשני מישורים מקבילים, מכניקה קלאסית ומכניקה קוונטית.
על פי תורה זו, ארועים מיקרוסקופיים הם אקראיים במובן שלא ניתן לחזות תוצאתם אלא רק בהסתברות מסויימת גם בהינתן כל הפרמטרים הרלוונטיים. למשל הקרינה הרדיואקטיבית הנפלטת מגרעין אטום בלתי יציב הינה הסתברותית במובן שלא ניתן לדעת מתי בדיוק יתפרק חלקיק מסויים. אפשר רק לחשב את ההסתברות שארוע כזה יתרחש בטווח זמן מוגדר. ההסבר המקובל לתופעה היה בסתירה לדעתם של מספר פיזיקאים ובראשם איינשטיין, שסברו כי המכניקה הקוונטית המושתתת על עקרונות הסתברותיים "אינה שלמה", הם האמינו כי אירועים פיזיקאליים שנראים לכאורה כאקראיים חייבים להתרחש לפי תוואי דטרמיניסטי נסתר. אלברט איינשטיין צוטט פעם: "אלוהים אינו משחק בקוביות עם העולם" (נילס בוהר השיב לו על כך: "איינשטיין, תפסיק לומר לאלוהים מה לעשות בקוביות שלו"). הוא ניסה לערער את יסודות המכניקה הקוונטית באמצעות פרדוקס איינשטיין-פודולסקי-רוזן. שבעקבותיו התגלו גילויים חדשים שהובילו בין היתר לגילוי ההצפנה הקוונטית. הצפנה קוונטית נשענת על תופעת אי הוודאות של פוטונים היכולים להמצא במצבים שונים בו זמנית, תופעה הנקראת סופרפוזיציה. ראה החתול של שרדינגר.
[עריכה] אקראיות בביולוגיה
תורת האבולוציה מסבירה את ריבוי צורות החיים כמוטציות גנטיות אקראיות שחלקן נוצרו בהשפעת גנים וסביבה וחלקן באופן אקראי במה שקרוי מאגר גנים, תופעה המשפיעה על סיכויי אוכלוסיה מסויימת לשרוד ולהתרבות. תכונות של אורגניזמים מעוצבות במידה מסויימת גם עקב השפעת גנים אקראית. צפיפות נמשים בפניו של אדם למשל, נקבעת על ידי גנים וחשיפה לאור, אולם מיקומם המדוייק נוטה להיות אקראי. אקראיות בהתנהגות בעלי חיים הינה גם לעיתים כלי השרדות. חרקים מעופפים בתוואי הנראה כאקראי כדי להקשות על טורפים לנחש את מסלול מעופם.
[עריכה] אקראיות במתמטיקה
תורת ההסתברות קמה מהצורך לנסח "סיכויים" באופן מתמטי, בתחילה בהקשר של הימורים ולאחר מכן בכל תחומי העניין. סטטיסטיקה משמשת לניתוח התפלגות סטטיסטית, איסוף נתונים משורה של תצפיות אמפיריות לצורך ניתוח והסקת מסקנות. כמו כן עולה הצורך לעיתים ביצירת מספרים אקראיים כדי לדמות אירועים טבעיים, לבצע סימולציה של מציאות מורכבת לשם בדיקה וחקירה או חיקוי התנהגות לצורכי למידה, הסבר או משחק.
תורת האינפורמציה עוסקת בין היתר גם בניסוח והגדרה פורמליים של מושג האקראיות. ניתוח והגדרה של רצף אקראי בהקשר אלגוריתמי. אחד הרעיונות המרכזיים הנובע מאקסיומות קולמוגורוב הוא שמחרוזת סיביות הינה אקראית רק אם היא קצרה יותר מכל תוכנת מחשב המסוגלת לייצר אותה. במילים אחרות, מחרוזת אקראית היא כזו שאינה ניתנת לדחיסה.
[עריכה] אקראיות בתורת האינפורמציה
בתורת האינפורמציה מידע חסר משמעות או מידע "אירלוונטי" הוא רצף של נתונים המכונים רעש. רעש ביסודו הוא מספר חוזר של הפרעות זמניות בעלי תכונה סטטיסטית אקראית. בתקשורת, אותות אקראיים הנם אותות שלא ניתן לייחס להם משמעות בהקשר של מקור כלשהו. תופעה הנקראת "הליכה אקראית" או הליכת שיכור הינה היפוטזה ידועה המסבירה אירועים מסויימים כמו התנהגות מחירי מניות, כתנועה בלתי צפויה דוגמת הליכתו של אדם שתוי או הליכתם של נמלים. תופעה השקולה במידת מה לתנועה הבראונית, תנועת חלקיקים האקראית בתרחיף, שנחקרה בתחילת המאה ה-19.
[עריכה] אקראיות לעומת אי-צפיות
בעבר היו שאמינו בטענה פילוסופית שכל החלטה או מחשבה היא תוצאה דטרמיניסטית של רצף אירועים קודמים ולמעשה לא קיים מושג אקראיות כלל ביקום, אלא רק אי-צפיות. לפי טענה זו מאחר ורק תוצאה אחת אפשרית בכל אירוע נתון, אין דבר כזה ארוע בעל הסתברות, כלומר לגבי כל אירוע ייתכן רק אמת או שקר, אין מצב ביניים.
למרות שאקראיות היא תכונה אובייקטיבית, לעיתים מה שנראה כאקראי לעינו של אחד עשוי להראות רחוק מאקראי לעינו של אחר. הדוגמה הטובה ביותר היא הצפנה. מחרוזת סיביות של טקסט מוצפן כלשהו נראית כאקראית לכל דבר למתבונן מהצד, אולם אינה אקראית מנקודת ראותו של בעל מפתח ההצפנה המתאים. לדידו לאחר פענוחה מקבלת המחרוזת 'האקראית' משמעות ברורה. בהקשר זה המחרוזת אינה אקראית אלא "בלתי צפויה". למעשה אחד ההיבטים החשובים של תכונת האקראיות הוא שקשה מאוד לקבוע האם מחרוזת סיביות היא אקראית אמיתית. תמיד קיים חשש שהמחרוזת אינה אלא חלק מתבנית מסויימת שניתן להבחין בה באמצעות מידע נסתר כלשהו כמו מפתח הצפנה למשל. זהו אחד המניעים לגילויים חדשים במתמטיקה שהתגלו כתוצאה מסקרנות ורצון להבין תופעות בלתי מוסברות.
ערכים מתמטיים ידועים כמו ערכו של פאי מקיימים תכונות הניראות לעין כאקראיות, אולם ברור שכיוון שנוצרו באופן דטרמיניסטי הם אינם אקראיים. על כן נקראים "אקראיים מדומים" (פסבדו-אקראיים). למתבונן מהצד שאינו מכיר את המערכת הם נראים כאקראיים. רצף פסבדו אקראי, נקרא בלתי צפוי בהקשר זה.
מערכות כאוטיות הן בלתי צפויות עקב התלות העדינה בתנאים התחלתיים רבים. שאלת היותם בלתי צפויים מהיבט של חישוביות היא נושא פתוח. יש הסבורים כי קיים קשר בין אקראיות לבין אי-צפיות חישובית.
תופעות אקראיות כשלעצמן אינן אקראיות לגמרי, במובן שניתן לחזות או להעריך את סיכויי התרחשותן. ניתן לחשב את תוחלת חייהם של אטומים למרות שהתפרקותם אקראית. או למשל למרות שלא ניתן לנחש צד מטבע בהטלה בודדת, אפשר להעריך באופן סטטיסטי כי לאחר מספר רב של הטלות כמחצית מהם יהיו עץ. מקצת ארועים מאקרוסקופיים ניתנים לחיזוי מדוייק למרות שברמה מיקרוסוקופית הם בלתי צפויים.
[עריכה] אקראיות בהקשר דתי
אפשר לראות באקראיות מעין בחירה חופשית. כלומר אם אדם מסוגל לבצע החלטות לפי רצונו החופשי ואינו נשלט בידי צו עליון הרי שהחלטתו תהיה בלתי צפויה לעיני המתבונן. לפי הפילוסופיה הדתית המאמינה באל אחד וכי כל צעד ושעל בו צפוי ומכוון בידי ההשגחה העליונה, הרי שהאקראיות היחידה האמיתית שאפשר לייחס למקור כלשהו בטבע היא החלטות של בני אדם. היצורים התבוניים היחידים שמסוגלים לבצע החלטות לפי שגיונות ליבם ולא לפי צו טבעי כלשהו. אחרים סבורים כי אין אקראיות בהחלטות של בני אדם אלא פשוט בשל מורכבותם הרבה, קשה לצפות את התנהגותם.
המושג בחירה חופשית הוא יסוד חשוב בדת היהודית. רבי יוסף קארו ציין כבר ש"הטבע" בגימטריה שווה ל"אלהים". כלומר בכל מה שקשור לטבע, אין אירועים אקראיים. הכל גלוי וידוע לפני לבורא עולם. תופעות טבע אינן רק פועל ידיו של אלוהים אלא חלק בלתי נפרד ממנו. יוצא מן הכלל הוא בני אדם שלהם כושר החלטה וחופש בחירה לגבי מעשיהם וגורלם, לכאורה בסתירה לידיעה האלוהית האין סופית. הרמב"ם מיישב סתירה זו באופן פשוט, הוא מבחין בין ידיעת בני אדם לידיעה אלוהית. בני אדם מוגבלים בזמן ובמקום בעוד שידיעת אלוהים אינה מוגבלת, אין לפניו עבר הווה או עתיד. ועל כן הבחירה החופשית אינה סותרת את האמונה כי הטבע מכוון בידי אלוהים.
גם בני דתות אחרים מודעים לסתירה לכאורה בין הידיעה האלוהית לבין מושג הבחירה החופשית. תאולוגים נוצרים אחדים ניסו ליישב זאת באמצעות מושג אקראיות כבריאה אלוהית. הפילוסופיה הבודהיסטית (קרמה) אינה מאמינה באקראיות ולפי אמונתה כל אירוע המתרחש הוא תוצאה של שרשרת אירועים קודמים. מרטין לותר אבי הדת הפרוטסטנטית האמין על פי הבנתו את התנ"ך שאין דבר כזה אקראיות. לפי הבנתו הבחירה החופשית מוגבלת לרמה נמוכה מאוד של קבלת החלטות. הנצרות דגלה בעבר בהשקפת עולם דטרמיניסטית בעיקרה ולא האמינה באקראיות או בבחירה חופשית, זו אחת הסיבות להתנגדותה לתורת אבולוציה שלפיה התפתחות של אוכלוסיות מסוימות הייתה עקב וריאציה גנטית אקראית.
דונלד קאנות' מדען מחשב ופרשן של הנצרות, שחקר מספרים פסבדו אקראיים, טוען שאלוהים ברא במכוון את האקראיות כדי לאפשר בחירה חופשית מוגבלת. הוא מאמין שאלוהים מעוניין שתהיה בידי בני אנוש יכולת החלטה עד לרמה מסויימת. בהתבסס על הבנתו בתחום המחשבים הקוונטיים, היא סבור שאלוהים מפעיל שליטה דינאמית בעולם מבלי להפר את חוקי הפיזיקה. גם ק.ס. לואיס סופר ותאורטיקן נוצרי שחי במאה העשרים התייחס רבות לנושא הבחירה החופשית. הוא כתב שאלוהים רצה שתהיה בידי בני אדם בחירה חופשית למרות הידיעה כי הדבר בהכרח יוביל לרוע וסבל, אולם החופש שווה אפילו את המחיר הזה. לדעתו עולם ללא בחירה חופשית לא מאפשר את היכולת לאהוב.
[עריכה] יישומים מעשיים
אקראיות במתמטיקה, פוליטיקה או דת, מנוצלת בעיקר בשל התכונה המולדת של הגינות או העדר ההטיה שבה. כמו השימוש שנעשה על ידי האתונאים באקראיות כדרך לחלוקה הוגנת של אדמות. אקראיות משמשת כיום בפוליטיקה בעיקר כדרך בחירה הוגנת של מושבעים במערכת המשפט האנגלו-סכסונית או במערכת הגיוס לצבא ארצות הברית ומדינות אחרות. כמו כן נעשה שימוש רב באקראיות בהימורים לסוגיהם באמצעות הטלת מטבע, קוביות, קלפי משחק ורולטות, הגרלות לוטו וכדומה. היכולת לייצר מספרים אקראיים באופן הוגן אף היא חלק חשוב בתעשיית ההימורים האלקטרונית השיטות ליצירת המספרים בדרך כלל מפוקחות בידי רשויות החוק. אקראיות משמשת גם למקרים בהם אין יכולת הכרעה, כמו ההחלטה באיזה צד או מי יתחיל ראשון במשחק כלשהו, או בבחירת אנשים למשימה לא רצויה. אקראיות משמשת גם לצורך סקרי דעת קהל, משאלים ומדגמים.
במתמטיקה, בעיות מסוימות ניתנות לפתרון רק באמצעות מספרים אקראיים, שיטת מונטה קרלו היא המפורסמת מבין השיטות המתמטיות שעושה שימוש במספרים אקראיים כדי לפתור בעיות מתמטיות. כמו כן אקראיות מסייעת בבדיקת ראשוניות ובאלגוריתמים גנטיים.
[עריכה] יצירת אקראיות
קיימות למעשה שלוש דרכים עקריות ליצירת אקראיות;
- אקראיות טבעית; אקראיות שמקורה בתופעות טבע ידועות כמו תנועה בראונית, התפרקות רדיואקטיבית וכן ארועים הקשורים במחשב כמו זמן האחזור של ראש הקריאה בכונן הקשיח.
- אקראיות כאוטית; אקראיות שמקורה במצב התחלתי מורכב, אקראיות זו נילמדת בתורת הכאוס והיא אקראיות הנוצרת ממקור הרגיש מאוד לשינויים מינוריים במצבים התחלתיים עדינים. כדור רלוטה או קוביות משחק הם דוגמה טובה לאקראיות כזו.
- אקראיות מדומה; אקראיות שנוצרת בדרך דטרמיניסטית, כגון במחשב. קיימים מחוללי מספרים אקראיים רבים המבוססים על אריתמטיקה או אוטומט תאי. התהנהגות מערכת אקראית מסוג כזה ניתנת לחיזוי בהינתן הגרעין ההתחלתי והאלגוריתם. מספרים פסבדו אקראיים ניתנים להכנה בקלות ולכן לרוב הצרכים מעשיים הם מספקים.
השימושים הרבים באקראיות הולידו שיטות רבות ומגוונות ליצירת מספרים אקראיים. השיטות השונות נבדלות ברמת אקראיותם מבחינה סטטיסטית וקלות תפעולם. לפני התפתחות המחוללים האקראיים החישוביים, נדרשה עבודה רבה בהכנת רצפים אקראיים ארוכים במידה מספקת ובאיכות הרצויה. כיום המגוון הוא עצום, אולם לא כל אלגוריתם ליצירת מספרים אקראיים אכן עומד בדרישות מינימליות של אקראיות.
[עריכה] מבחני מדידת אקראיות
בדיקת אקראיות היא משימה קשה. לא ניתן להוכיח מבחינה מתמטית כי רצף כלשהו אקראי אמיתי, אולם ניתן לבדוק אקראיות מבחינה סטטיסטית חישובית. ישנם כמה כלים מעשיים למדידת אקראיות סטטיסטית של רצפים בינאריים. כולל מדידות המבוססות על מבחני תדירות, התמרה וסיבוכיות או שילוב ביניהם. בין המבחנים הידועים נמנים אלו של קאק, פיליפס, יון, הופקינס, בת', דאי, זאמן ומרסגליה. החומר המקיף ביותר אודות אקראיות הוא של דונלד קאנות' בספרו The Art of Computer Programming כרך שני.
קישורים לנושאים הקשורים באקראיות:
- אנטרופיה
- תורת האינפורמציה
- תורת ההסתברות
- פסבדו אקראיות
- מחוללים פסבדו אקראיים
- מספר אקראי
- משתנה מקרי
- תהליך סטוכסטי
- רעש לבן
[עריכה] תפיסות מוטעות ושגיאות נפוצות
לעיתים עולה טענה בפי מהמרים, היות שכל המספרים בסופו של דבר יבחרו ברצף האקראי, אותם מספרים שלא הופיעו עדיין הם "הבאים בתור", במילים אחרות סיכוייהם גבוהים משל אלו שכבר הופיעו. טענה זו נכונה רק אם מדובר בבחירת מספרים ללא חזרות, כגון אם מספרים שנבחרו מוסרים מהערימה אזי הסיכויים של אלו שטרם נבחרו גודלים כמו במשחקי קלפים מסוימים. אולם כאשר מדובר במקרה הכללי של אקראיות הטענה אינה נכונה, אם מחזירים כל מספר שנבחר לערמה הרי שהסיכויים לבחירת כל מספר שווים כמו במקרה של הטלת קוביות או בכל הגרלת לוטו נפוצה. דרך נכונה להסתכל על זה היא, שתהליך אקראי כמו הטלת מטבע אינו מכיל זיכרון, כך שלתוצאות קודמות אין כל השפעה על תוצאות עתידיות.
תפיסה מוטעית אחרת היא האמונה שמספר מסויים "מקולל", ראה חוק בנפורד. אמונה טפלה שהיא כמעט היפוכה של הטענה הקודמת. לא מעט מאמינים שמספרים שהופיעו בתדירות נמוכה בעבר, נוטים להדיר רגליהם גם בעתיד. כמוה כטענה כי מספר מסויים "מבורך" שמושמעת מפי לא מעט מהמרים. מבחינה מתמטית אמונות אילו מופרכות, למעט מקרים יוצאים מן הכלל כאשר המכשיר איתו מייצרים את המספרים האקראיים נוטה לצד כשלהו. יש לציין שאמונות אילו לא לגמרי מופרכות כי באופן טבעי, ארועים בלתי צפויים או אי וודאיים באופן מושלם אינם נפוצים ותמיד קיימות הטיות מסוימות. עובדה המאפשרת ללמוד מהו הארוע בעל הסבירות הגבוהה ביותר שיתרחש. אולם לא ניתן להשליך לוגיקה זו על מערכות שפותחו במיוחד על מנת לבטל הטיה סטטיסטית, כמו גלגל רולטה או קוביות משחק.
[עריכה] ספרים
- Randomness by Deborah J. Bennett.Harvard University Press, 1998. ISBN 0-674-10745-4
- Random Measures, 4th ed. by Olav Kallenberg. Academic Press, New York, London; Akademie-Verlag, Berlin (1986). MR0854102
- The Art of Computer Programming. Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 3rd ed. by Donald E. Knuth, Reading, MA: Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89684-2
- Fooled by Randomness, 2nd ed. by Nassim Nicholas Taleb. Thomson Texere, 2004. ISBN 1-58799-190-X
- Exploring Randomness by Gregory Chaitin. Springer-Verlag London, 2001. ISBN 1-85233-417-7
- Random, by Kenneth Chan, includes a "Random Scale" for grading the level of randomness
[עריכה] מקורות
- Third Workshop on Monte Carlo Methods, Jun Liu, Professor of Statistics, Harvard University
- Municipal Elections Act (Ontario, Canada) 1996, c. 32, Sched., s. 62 (3) : "If the recount indicates that two or more candidates who cannot both or all be declared elected to an office have received the same number of votes, the clerk shall choose the successful candidate or candidates by lot."
- "Each nucleus decays spontaneously, at random, in accordance with the blind workings of chance". Q for Quantum, John Gribbin
- Breathnach, A. S. (1982). "A long-term hypopigmentary effect of thorium-X on freckled skin". British Journal of Dermatology 106 (1): 19–25. doi:10.1111/j.1365-2133.1982.tb00897.x. “The distribution of freckles seems to be entirely random, and not associated with any other obviously punctuate anatomical or physiological feature of skin.”
- Donald Knuth, "Things A Computer Scientist Rarely Talks About", Pg 185, 190-191, CSLI
- Terry Ritter, Randomness tests: a literature survey. http://www.ciphersbyritter.com/RES/RANDTEST.HTM
