Physikalische Größe

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit physikalischen Größen. Eine andere Bedeutung des nachstehend verwendeten Begriffs Maßzahl ist Parameter.

Messschieber zur Messung der Länge, Maßeinheit Millimeter

Waage zur Messung der Masse, Maßeinheit Kilogramm

Stoppuhr zur Messung der Zeit, Maßeinheit Sekunde

Eine physikalische Größe ist eine quantitativ bestimmbare Eigenschaft eines physikalischen Objektes. Sie ist entweder direkt messbar oder kann aus Messgrößen berechnet werden. Den Zusammenhang zwischen physikalischen Größen vermitteln physikalische Gesetze. Die Objekte – Gegenstände, Vorgänge oder Zustände – selbst, wie auch nicht quantifizierbare Merkmale wie z. B. Aussehen oder Geschmack, sind keine physikalischen Größen.

Unterscheidungsmerkmal zwischen gleichartigen physikalischen Größen ist ihr Größenwert, der als Produkt aus Zahlenwert (auch Maßzahl genannt) und Einheit angegeben wird. Die mathematische Darstellung der Naturgesetze geschieht in Form von Größengleichungen unabhängig von Einheiten. Unabhängige Größen bilden zusammen mit allen aus ihnen ableitbaren ein Größensystem.

[Bearbeiten] Grundlagen

[Bearbeiten] Größenart

Amperemeter zur Messung der Stromstärke, Maßeinheit Ampere

Thermometer zur Messung der Temperatur, Maßeinheit Grad Celsius

Alle Größen, von denen physikalisch sinnvoll Summen oder Differenzen gebildet werden können, sind gleichartig. Beispielsweise sind Breite, Höhe und Länge eines Quaders, Durchmesser eines Rohrs, Spannweite eines Vogels usw. alles Größen der Größenart „Länge“. Allerdings ist die Zuordnung verschiedener Größen zur gleichen Größenart nicht scharf abgegrenzt. So wird beispielsweise im Allgemeinen auch die Wellenlänge zur Größenart „Länge“ gezählt, obwohl es wenig sinnvoll erscheint, eine Wellenlänge und einen Durchmesser zu addieren. Die Bezeichnung der Größenart entspricht immer einer repräsentativen Größe.

[Bearbeiten] Größenwert

Das Unterscheidungsmerkmal zwischen Größen der gleichen Größenart ist ihr Größenwert. Dieser beschreibt eine bestimmte Eigenschaft eines Objektes quantitativ und erlaubt somit die Vergleichbarkeit mit Objekten mit der gleichen Eigenschaft. Anhand des Größenwertes können Aussagen wie „… ist x-mal größer als …“ getroffen werden. Man bezeichnet einen Unterschied um den Faktor 10 als eine Größenordnung – N Größenordnungen entsprechen einem Faktor von 10^N.

In der Natur existieren eine Reihe von Größen, deren Größenwert unveränderlich feststeht. Diese nennt man Natur-, Universal- oder einfach physikalische Konstanten (Beispiele: Vakuum-Lichtgeschwindigkeit, Plancksches Wirkungsquantum).

Etwas Anderes sind die Erhaltungsgrößen. Deren Größenwert ändert sich bei der zeitlichen Entwicklung eines abgeschlossenen Systems nicht, aber sie sind nicht allgemein auf einen bestimmten Wert festgelegt (Beispiele: Energie, Drehimpuls, Elektrische Ladung). Nach dem Noether-Theorem ist jede Erhaltungsgröße untrennbar mit einer kontinuierlichen Symmetrie des Systems verknüpft.

[Bearbeiten] Zahlenwert und Einheit

Die Bestimmung des Größenwerts erfolgt technisch über den Vorgang einer Messung. Hierbei wird das Verhältnis des Größenwerts zu dem Wert einer gleichartigen, feststehenden und wohldefinierten Vergleichsgröße ermittelt. Den Vergleichsgrößenwert bezeichnet man als Maßeinheit oder kurz Einheit, den Quotienten aus den Werten der zu quantifizierenden Größe und der Vergleichsgröße als Zahlenwert oder Maßzahl. Der Größenwert einer Größe kann dann als Produkt aus Zahlenwert und Einheit dargestellt werden (siehe auch Abschnitt Schreibweise).

Die Bestimmung des Größenwerts erfolgt entweder durch eine direkte Messung oder eine Berechnung aus anderen Messgrößen (indirekte Messung). Wegen dieser Verknüpfung von Messung und Größenwert setzt die Definition einer physikalischen Größe immer die Kenntnis einer zugehörigen Messvorschrift voraus.

Die Definition einer Einheit unterliegt der menschlichen Willkür. Theoretisch ist es ausreichend, eine einzige Einheit für eine Größenart zu definieren. Historisch bedingt haben sich aber häufig eine Vielzahl verschiedener Einheiten für die gleiche Größenart gebildet. Diese unterscheiden sich lediglich um einen reinen Zahlenfaktor, erschweren aber aufgrund der nötigen Umrechnung die Vergleichbarkeit.

[Bearbeiten] Trennung von Größenwert (Einheit) und Zusatzinformationen

Zusätzliche Bezeichnungen oder Informationen dürfen grundsätzlich nicht im Größenwert einer physikalischer Größe (also weder in der Einheit noch beim Zahlenwert) auftauchen bzw. diesem hinzugefügt werden, da dies unsinnig wäre; sie dürfen nur in der Benennung oder Bezeichnung der physikalischen Größe, also im Formelzeichen, zum Ausdruck gebracht werden.

Z. B. kann man das allgemein verwendete Formelzeichen $f$ für die Frequenz in korrekter Notation mit einem $U$ als Subskript ergänzen, um darauf hinzuweisen, dass eine Umdrehungsfrequenz (Drehzahl) gemeint ist:

$\left[ f_\text{U} \right] = \mathrm{s}^{-1}$ (gesprochen „Die Einheit der (Umdrehungs-)Frequenz ist 1 pro Sekunde.“)

$f_\text{U, Motor} = 2000 \, \mathrm{min}^{-1}$ („Die Drehzahl des Motors beträgt 2000 pro Minute.“)

Es kann auch ein eigenes, klar definiertes Formelzeichen eingesetzt werden. Um z. B. auf den doppelten Index im obigen Beispiel zugunsten einer leichteren Lesart zu verzichten, könnte man das ggf. einprägsamere Symbol $U$ für „die Drehfrequenz, die Umdrehungszahl“ einführen und schreiben:

$U_\text{Motor} = 2000 \, \mathrm{min}^{-1}$ („Die Drehzahl des Motors beträgt 2000 pro Minute.“)

(Ohne weitere Erläuterung könnte man in Regel z. B. auch

$h_\text{Auto} = 1{,}5 \, \mathrm{m}, \ b_\text{Auto} = 2{,}2 \, \mathrm{m}$ („Die Höhe des Autos beträgt 1,5 Meter, die Breite des Autos beträgt 2,2 Meter.“)

verwenden, da die Symbole für die zwei Spezialfälle Höhe und Breite eines Längenmaßes gemeinhin üblich sind.)

In der Praxis findet nicht immer eine saubere Unterscheidung zwischen Größenwert bzw. Einheit einer physikalischen Größe einerseits und bloßen Zusatzangaben andererseits statt, so dass es zu Vermischungen kommt. Die aufgeführte Umdrehungszahl ist ein häufiges Beispiel dafür. „Umdrehung“ ist dort keine Einheit, sondern beschreibt lediglich den die Frequenz hervorrufenden Prozess näher. Nicht zulässig, jedoch häufig vorkommend, ist deshalb etwa

$f_\text{Motor}= 2000 \, \mathrm{U}/\mathrm{min}$ („Die Drehzahl des Motors beträgt 2000 Umdrehungen pro Minute“).

Weitere Beispiele für häufig vorkommende falsche Schreib- bzw. Sprechweisen sind:^[1]

Neutronen-Flussdichte:

Falsch: $j = 1000 \, n \, \mathrm{cm}^{-2} \mathrm{s}^{-1}$ bzw. „Die Flussdichte ist 1000 Neutronen pro Quadratzentimeter und Sekunde.“^[2]

Korrekt: $j_\mathrm{n} = 1000 \, \mathrm{cm}^{-2} \mathrm{s}^{-1}$ bzw. „Die Neutronen-Flussdichte beträgt 1000 pro Quadratzentimeter und Sekunde.“

Massekonzentration von Blei:

Falsch: $n = 20 \, \mathrm{ng} \text{ Blei} / \mathrm{m}^3$ bzw. „… eine Konzentration von 20 Nanogramm Blei pro Kubikmeter“^[2]

Korrekt: $n_\text{Pb} = 20 \, \mathrm{ng} / \mathrm{m}^3$ bzw. „Die Blei-Massekonzentration beträgt 20 Nanogramm pro Kubikmeter.“

Durch eine Spule verursachte Feldstärke:

Falsch: $\left[ H \right] = \mathrm{Aw} / \mathrm{m}$ bzw. „Die Einheit der magnetischen Feldstärke ist Ampere-Windungen pro Meter.“^[2]

Korrekt: $\left[ H \right] = \mathrm{A} / \mathrm{m}$ bzw. „Die Einheit der magnetischen Feldstärke ist Ampere pro Meter.“

[Bearbeiten] Skalare, Vektoren und höherstufige Tensoren

Skalar	Masse, Temperatur
Vektor	Kraft
Pseudovektor	Drehmoment
Tensor 2-ter Stufe	Trägheitstensor
Tensor 4-ter Stufe	Elastizitätstensor

Größen verschiedener Stufen.

Viele physikalischen Größen stellen Tensoren oder Pseudotensoren (s. u.) einer bestimmten Stufe dar. Eine Größe, deren einzige Variable ihr Größenwert ist, ist ein Tensor 0-ter Stufe, auch Skalar genannt. Eine Größe, die zusätzlich durch eine Richtung charakterisiert wird, ist ein Tensor 1-ter Stufe, ein sogenannter Vektor. Es gibt noch höherstufige Größen. Ein Tensor 2-ter Stufe kann beispielsweise durch eine Matrix dargestellt werden.

Eine physikalische Größe ist invariant unter Koordinatentransformationen. So wie ihr Größenwert unabhängig von der Einheit ist, so ist ihre Richtung unabhängig von der Wahl des Koordinationsystems. Eine Besonderheit spielt dabei die Händigkeit des Koordinationsystems. Größen, die unter Raumspiegelungen in ihr Negatives übergehen, nennt man Pseudogrößen. Konkret bedeutet das, dass Pseudoskalare ihr Vorzeichen und Pseudovektoren ihre Orientierung bei Änderung der Händigkeit wechseln − normale Größen tun dieses nicht.

[Bearbeiten] Schreibweise

Die folgenden Erläuterungen, die nationalen und internationalen Regelungen (z. B. DIN 1338, ISO 31/XI, Empfehlungen der International Union of Pure and Applied Physics (IPU)) folgen, spiegeln sich auch in der Hilfe zum Setzen von Formeln bei Wikipedia wider.

[Bearbeiten] Formel- und Einheitenzeichen

Einer physikalischen Größe wird in mathematischen Gleichungen ein Schriftzeichen zugeordnet, das man Formelzeichen nennt. Dieses ist grundsätzlich willkürlich, jedoch existieren eine Reihe von Konventionen (z. B. DIN 1304, ÖNORM A 6438, ÖNORM A 6401, etc.) zur Bezeichnung bestimmter Größen. Häufig wird als Formelzeichen der Anfangsbuchstabe des lateinischen Namens einer Größe genommen. Auch Buchstaben aus dem griechischen Alphabet werden oft verwendet. Üblicherweise besteht ein Formelzeichen nur aus einem einzigen Buchstaben, der zur weiteren Unterscheidung mit einem Index versehen werden kann (in selteneren Fällen auch mit anderen Markierungen wie einer über dem Symbol verlaufenden Tilde oder mit einem hochgestellten Symbol, wobei letztere Schreibweise wegen der Verwechslungsgefahr mit der Potenzierung der Größe vermieden werden sollte).

Auch für Einheiten gibt es standardisierte Schriftzeichen, die Einheitenzeichen genannt werden. Sie bestehen meistens aus einem oder mehreren lateinischen Buchstaben oder seltener aus einem Sonderzeichen wie z. B. einem Gradzeichen. Bei Einheiten, die nach Personen benannt sind, wird der erste Buchstabe des Einheitenzeichens üblicherweise groß geschrieben.

$\begin{align} U &= 20 \, \mathrm{V}\\ \left\{ U \right\} &= 20 \\ \left[ U \right] &= \mathrm{V} \end{align}$

Angabe einer Spannung von 20 Volt: vollständig (LaTeX-Syntax gem. Hilfe: U=20\,\mathrm{V}); nur Zahlenwert; nur Einheit.

Die Angabe des Größenwerts erfolgt immer als Produkt aus Zahlenwert und Einheit. Will man nur den Zahlenwert angeben, so setzt man das Formelzeichen in geschweifte Klammern. Will man nur die Einheit angeben, so setzt man das Formelzeichen in eckige Klammern. Formal lässt sich ein Größenwert also wie folgt schreiben:

$G=\left\{G\right\}\;\left[G\right]$

Da der Zahlenwert von der gewählten Maßeinheit abhängt, ist die alleinige Darstellung des Formelzeichens in geschweiften Klammern nicht eindeutig. Deshalb ist für die Beschriftung von Tabellen und Koordinatenachsen die Darstellung „G/[G]“ (z. B. „m/kg“) oder „G in [G]“ (z. B. „m in kg“) üblich. Die manchmal zu findende Darstellung von Einheiten in eckigen Klammern („G [G]“, z. B. „m [kg]“)) ist hingegen nicht korrekt. (Zur Kursiv- und Aufrechtschreibung s. nachfolgenden Teil. Zur Verwendung von Einheiten und Zahlenwerten s. auch den Abschnitt Zahlenwertgleichungen weiter unten.)

[Bearbeiten] Formatierung

Die Formatierung ist durch DIN 1338 geregelt. Demnach wird das Formelzeichen kursiv geschrieben, während das Einheitenzeichen mit aufrechter Schrift geschrieben wird, um es von Formelzeichen zu unterscheiden. Beispielsweise bezeichnet „m“ das Formelzeichen für die Größe „Masse“ und „m“ das Einheitenzeichen für die Maßeinheit „Meter“.

Zwischen der Maßzahl und dem Einheitenzeichen wird ein Leerzeichen geschrieben. Eine Ausnahme von dieser Regel stellen die Gradzeichen dar, die ohne Zwischenraum direkt hinter die Maßzahl geschrieben werden („ein Winkel von 180°“), sofern keine weiteren Einheitenzeichen folgen („die Außentemperatur beträgt 23 °C“). Im Schriftsatz empfiehlt sich hierfür ein schmales Leerzeichen, das zusätzlich vor einem Zeilenumbruch geschützt werden sollte, damit Zahlenwert und Einheit nicht getrennt werden.

Formelzeichen für Vektoren werden meistens durch Fettdruck gekennzeichnet: $\boldsymbol{a}$ ; üblich ist auch die Verwendung von Vektorpfeilen über oder seltener Strichen unter dem Formelzeichen: $\vec{a}, \underline{a}.$ Für Tensoren höherer Stufen werden Großbuchstaben in serifenloser Schrift, manchmal auch Frakturbuchstaben oder eine doppelte Unterstreichung verwendet: $\mathsf{A}, \mathfrak{A}, \underline{\underline{A}}.$ Welche Schreibweise verwendet wird, hängt häufig auch davon ab, ob von Hand oder maschinell geschrieben wird, da sich Merkmale wie Fettdruck oder Serifen mit einer Handschrift in der Regel nicht zuverlässig wiedergeben lassen.

Es gibt wegen unterschiedlicher länder- und fachspezifischer Traditionen zum Formelsatz zahlreiche Besonderheiten zur Aufrecht- und Kursivschreibung, z. B. bei großen und kleinen griechischen Buchstaben als Formelzeichen, Naturkonstanten wie der Lichtgeschwindigkeit, mathematischen Konstanten wie der Eulerschen Zahl oder der imaginären Einheit, aber auch dem (totalen) Differentialoperator. Diese werden im Artikel Formelsatz näher erläutert. Eine gute Grundmerkregel ist: „Alles was variabel, veränderlich ist, wird kursiv gesetzt; Unveränderliches, Konstantes oder Erläuterndes hingegen aufrecht.“ Formelzeichen sowie veränderliche Indizes erscheinen also kursiv, während Einheitenzeichen und erläuternde Angaben im Index aufrecht gedruckt werden:

„Die Gesamtmasse des Autos von 1000 kg setzt sich aus der Masse des Fahrgestells und der Summe von n weiteren Gegenständen zusammen“: $m_\text{ges} = 1000 \, \mathrm{kg} = m_\text{Fahrgestell} + \sum_{i=1}^{n} m_i$

[Bearbeiten] Fehlerbehaftete Größen

$l = (10{,}0072 \pm 0,0023) \, \mathrm{m}$
$l = 10{,}0072(23) \, \mathrm{m}$

$l = {10{,}00\mathbf{7}} \, \mathrm{m}$

Angabe einer fehlerbehafteten Messgröße

Bei fehlerbehafteten Größenwerten wird der Zahlenwert mit seiner Meßunsicherheit angegeben, meistens in Form des mittleren Fehlers oder manchmal – falls bekannt – des Maximalfehlers. Das Kenntlichmachen geschieht meistens durch ein „±“ nach dem fehlerbehafteten Zahlenwert, gefolgt von dem Fehlerwert (wobei Klammern erforderlich sind, sofern eine Einheit folgt, damit diese sich auf beide Werte bezieht). Aber auch Kurzformen wie eine geklammerte Fehlerangabe oder Fettdruck der unsicheren Ziffer des Zahlenwerts sind üblich.

Die Anzahl der anzugebenden unsicheren Dezimalstellen des Zahlenwerts richtet sich nach dem Fehlerwert. Beginnt dieser mit einer 1 oder 2, so werden zwei Stellen notiert, ansonsten nur eine. Gegebenenfalls ist der Zahlenwert wie üblich zu runden; der Fehler wird hingegen immer aufgerundet.

[Bearbeiten] Verknüpfung zwischen physikalischen Größen

[Bearbeiten] Größengleichungen

$\mathbf{F} = m\mathbf{a}$

Größengleichung, die die Gesetzmäßigkeit zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung darstellt.

Die Darstellung von Naturgesetzen und technischen Zusammenhängen in mathematischen Gleichungen nennt man Größengleichungen. Die Formelzeichen einer Größengleichung haben die Bedeutung physikalischer Größen, sofern sie nicht als Symbole für mathematische Funktionen oder Operatoren gemeint sind. Größengleichungen gelten unabhängig von der Wahl der Einheiten.

Größengleichungen verknüpfen verschiedene physikalische Größen und deren Größenwerte miteinander. Zur Auswertung muss man die Formelzeichen durch das Produkt aus Zahlenwert und Einheit ersetzen. Die verwendeten Einheiten sind dabei unerheblich. Die Größenart muss auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens jedoch übereinstimmen, damit die Gleichung physikalisch sinnvoll ist.

[Bearbeiten] Zahlenwertgleichungen

$\begin{array}{rl}\mathrm{WCT}&=13{,}12+0{,}6215\,T\\ &=-11{,}37\,v^{0,16}+0,3965\,T\,v^{0{,}16}\end{array}$

Zahlenwertgleichung zur Berechnung des Windchill-Effektes.

In Zahlenwertgleichungen haben die Formelzeichen ausschließlich die Bedeutung von Zahlenwerten. Sie sind daher abhängig von der Wahl der Einheiten und nur brauchbar, wenn diese auch bekannt sind. Das Benutzen von Größenwerten in anderen Einheiten führt meistens zwangsläufig zu Fehlern. Es empfiehlt sich daher, Berechnung grundsätzlich mit Größengleichungen durchzuführen und diese erst im letzten Schritt auszuwerten.

Formeln in historischen Texten, „Faustformeln“ und empirische Formeln sind meistens in der Form von Zahlenwertgleichungen angegeben. In einigen Fällen stehen die zu benutzenden Einheiten mit in der Gleichung. Die dabei manchmal anzutreffende Verwendung von eckigen Klammern um die Einheitenzeichen, wie etwa $[V]$ anstatt $V$ , ist sinnlos und nach DIN 1338 nicht korrekt. Korrekt hingegen ist das Setzen der Formelzeichen in geschweifte Klammern oder die Division der Größen durch die jeweils gewünschte Maßeinheit; man erhält dann eine sogenannte zugeschnittene Größengleichung.

[Bearbeiten] Rechenregeln

$5\;\mathrm{m}+10\;\mathrm{kg}$

$\sin(5\;\mathrm{A})$

Unsinnige Rechenoperationen.

Für physikalische Größen sind nicht alle Rechenoperationen, die mit reinen Zahlen möglich wären, sinnvoll. Es hat sich erwiesen, dass eine geringe Anzahl Rechenregeln ausreicht, um alle bekannten Naturgeschehen zu beschreiben.

Addition und Subtraktion ist nur zwischen Größen der gleichen Größenart möglich.
Multiplikation und Division sowohl von verschiedenen Größen als auch mit reinen Zahlen sind uneingeschränkt möglich. Häufig ist das Produkt bzw. der Quotient eine neue physikalische Größe. Damit sind auch Potenzen mit ganzzahligen Exponenten erlaubt.
Das Ziehen der Quadratwurzel aus einer Größe ist nur dann möglich, wenn die Größe sich als Produkt zweier gleichartiger Größen darstellen lässt. Entsprechendes gilt für Potenzen mit anderen gebrochenrationalen Exponenten.
Transzendente Funktionen wie $\exp,\,\log,\,\sin,\,\cos,\,\tanh$ , usw. sind nur für reine Zahlen definiert und damit nur bei dimensionslosen Größen möglich.
Das Differential einer Größe ist von der gleichen Größenart wie die Größe selbst. Differential- und Integralrechnung ist uneingeschränkt möglich.

Anhand dieser Regeln lässt sich die Gültigkeit einer Größengleichung überprüfen. Treten unmögliche Rechenoperationen auf, so ist dieses ein sicheres Zeichen für die physikalisch falsche Darstellung eines Sachverhaltes. Dieses Mittel wird in der Dimensionsanalyse oder der Dimensionsbetrachtung angewandt, um die mögliche Existenz einer noch unbekannten Gesetzmäßigkeit zu überprüfen.

[Bearbeiten] Größen- und Einheitensysteme

[Bearbeiten] Größensysteme

Jedes Wissensgebiet der Technik und Naturwissenschaften wird durch einen beschränkten Satz an physikalischen Größen beschrieben, die über Naturgesetze miteinander verknüpft sind. Die zugrundeliegenden Größen bilden ein Größensystem. Man teilt die Größen dieses Systems in Basisgrößen und abgeleitete Größen. Der Unterschied liegt darin, dass sich die abgeleiteten Größen als Potenzprodukte der Basisgrößen darstellen lassen, während das bei den Basisgrößen nicht möglich ist. Diese Einteilung ist weitgehend willkürlich und geschieht meistens aus praktischen Gründen. Die Anzahl der Basisgrößen bestimmt den Grad des Größensystems. Beispielsweise ist das internationale Größensystem mit seinen sieben Basisgrößen ein Größensystem siebten Grades

[Bearbeiten] Einheitensysteme

Man benötigt für jede Größe eine Einheit, um den Größenwert angeben zu können. Daher entspricht jedem Größensystem ein Einheitensystem gleichen Grades bzw. gleicher Dimensionalität. Beispielsweise entspricht dem internationalen Größensystem das internationale Einheitensystem (SI). Dieses ist demnach ein sieben-dimensionales Einheitensystem. Es teilt sich in untrennbare Basiseinheiten und weiter aufteilbare abgeleitete Einheiten. Ein Einheitensystem umfasst die Basiseinheiten, die abgeleiteten Einheiten sowie die durch einen Vorsatz vor das Einheitenzeichen gebildeten Vielfachen oder Teile dieser Einheiten.

Wie bei einem Größensystem werden in einem Einheitensystem die abgeleiteten Einheiten aus den Basiseinheiten durch Produkte von Potenzen dargestellt, eventuell ergänzt durch einen Zahlenfaktor. Können alle Einheiten ohne zusätzliche Zahlenfaktoren gebildet werden, bezeichnet man das Einheitensystem als kohärent (zusammenhängend). In solchen Systemen können alle Größengleichungen als Zahlenwertgleichungen aufgefasst und dementsprechend schnell ausgewertet werden. Ein Beispiel für ein kohärentes Einheitensystem ist das internationale Einheitensystem. Ein Gegenbeispiel wäre ein fiktives Einheitensystem, das Meter ( $m$ ), Sekunde ( $s$ ) und Kilometer pro Stunde $\mathrm{\left(\frac{km}{h}\right)}$ umfasst: Wegen $1\,\mathrm{\frac{km}{h}} = 0{,}2\overline{7}\,\mathrm{\frac{m}{s}}$ benötigt man einen Zahlenfaktor $\left(0{,}2\overline{7}\right)$ bei der Bildung dieses Systems – es ist daher nicht kohärent.

[Bearbeiten] Dimension

Zur Dimension einer physikalischen Größe, die in einem Größensystem festgelegt wird, siehe den Artikel Dimension (Größensystem).

[Bearbeiten] Besondere Größen

[Bearbeiten] Quotienten- und Verhältnisgrößen

Der Quotient zweier Größen ist eine neue Größe. Eine solche Größe bezeichnet man als Verhältnisgröße, wenn die Ausgangsgrößen von der gleichen Größenart sind, ansonsten als Quotientengröße.

Häufig werden Quotientengrößen umgangssprachlich falsch umschrieben. Beispielsweise ist eine Bezeichnung der Fahrtgeschwindigkeit als „zurückgelegter Weg je Zeiteinheit“ sachlich nicht korrekt, da die Definition einer Größe von möglichen Einheiten unabhängig ist. Nähme man solche Bezeichnungen wörtlich, führte dieses unweigerlich zu verschiedenen Größenwerten je nach benutzter Einheit. Korrekt müsste man daher „zurückgelegter Weg je vergangener Zeit“ oder einfach „Weg je Zeit“ sagen.

$v = \frac{V}{m}$	„spezifisches Volumen“
$\rho = \frac{m}{V}$	„Massedichte“

Benennung von bezogenen Größen.

Falls zwei Größen sich auf eine Eigenschaft des gleichen Objektes beziehen, nennt man die Quotientengröße auch bezogene Größe. Hierbei ist die Nennergröße die Bezugsgröße, während die Zählergröße den Schwerpunkt in der Namensgebung setzt. Insbesondere bezeichnet man eine bezogene Größe als …

… spezifisch, wenn sie sich auf die Masse bezieht.
… molar, wenn sie sich auf die Stoffmenge bezieht.
… -dichte, wenn sie sich auf das Volumen bezieht.

Verhältnisgrößen sind grundsätzlich dimensionslos. Sie können nach obigen Rechenregeln als Argumente von transzendenten Funktionen auftreten. Der Name einer Verhältnisgröße beinhaltet meistens ein Adjektiv wie relativ oder normiert oder er endet auf -zahl oder -wert. Beispiele sind die Reynoldszahl und der CW-Wert.

$\begin{array}{lll} 1\,{}^{0\!}\!/\!_{0}&=&0{,}01\\ 1\,{}^{0\!}\!/\!_{00}&=&0{,}001\\ 1\,\mathrm{ppm}&=&0{,}000\,001\end{array}$

Spezielle Verhältniseinheiten.

Verschiedene Verhältnisgrößen gehören nur in seltenen Fällen zur gleichen Größenart, manchmal werden daher zur besseren Trennung bei der Angabe ihres Größenwerts die Einheitenzeichen nicht gekürzt. Häufig werden Verhältnisgrößen in den Einheiten %, ‰ oder ppm angegeben. Eine besondere Stellung haben Verhältniseinheiten, wenn sie das Verhältnis gleicher Einheiten sind. Diese sind immer 1 und damit idempotent, d. h. sie können beliebig oft mit sich selbst multipliziert werden, ohne ihren Wert zu ändern. Einige idempotente Verhältniseinheiten tragen besondere Namen, wie beispielsweise die Winkeleinheit Radiant (rad). In kohärenten Einheitensystemen sind die Verhältniseinheiten immer 1, also idempotent.

Idempotente Verhältniseinheiten sind deshalb interessant, weil man hier die Zahlenwerte einfach multiplizieren kann. Sagt man beispielsweise, dass 30 % der Erdoberfläche Landmassen sind und der Kontinent Asien 30 % der Landmasse darstellt, kann man nicht folgern, dass 900 % der Erdoberfläche vom Kontinent Asien bedeckt sind, weil % nicht idempotent ist, also %² nicht dasselbe wie % ist. Sagt man nun aber dass ein Anteil von 0,3 der Erdoberfläche Landmassen sind und der Kontinent Asien einen Anteil von 0,3 der Landmasse darstellt, kann man folgern, dass 0,09 der Erdoberfläche vom Kontinent Asien bedeckt sind, weil wir hier die Einheit 1 haben, die idempotent ist.

[Bearbeiten] Logarithmische Größen

Logarithmische Größen werden mit Hilfe von Logarithmusfunktionen definiert. In vielen technischen Bereichen sind die logarithmierten Verhältnisse von besonderem Interesse. Derartige Größen werden als Pegel oder Maß bezeichnet. Wird bei der Bildung der natürliche Logarithmus verwendet, so kennzeichnet man dieses durch die Einheit Neper (Np), ist es der dekadische Logarithmus, so nutzt man die Einheit Bel (B) bzw. häufiger ihr Zehntel, das Dezibel (dB).

Neben den logarithmierten Verhältnissen gibt es auch Größen, die eine logarithmierte Zahl ausdrücken. Zu diesen Größen gehört der Informationsgehalt mit der Einheit Shannon. Andere logarithmsche Größen, wie der pH-Wert sind weder logarithmierte Verhältnisse noch logarithmierte Zahlen.

[Bearbeiten] Feld- und Energiegrößen

$\begin{array}{ccc} F^2\sim W&\Leftrightarrow&\frac{F_1^2}{F_2^2}=\frac{W_1}{W_2}\\ \ln\frac{F_1}{F_2}\,\mathrm{Np}&=& \frac{1}{2}\ln\frac{W_1}{W_2}\,\mathrm{Np}\\ 20\,\lg\frac{F_1}{F_2}\,\mathrm{dB}&=& 10\,\lg\frac{W_1}{W_2}\,\mathrm{dB} \end{array}$

Zusammenhang zwischen Feldgrößen

F

und Energiegrößen

W

Feldgrößen dienen der Beschreibung von physikalischen Feldern. Das Quadrat einer Feldgröße ist in linearen Systemen proportional zu dessen energetischem Zustand, der über eine Energiegröße erfasst wird. Ohne die genaue Gesetzmäßigkeit kennen zu müssen, folgt daraus unmittelbar, dass das Verhältnis zweier Energiegrößen gleich dem quadratischen Verhältnis der zugehörigen Feldgrößen ist. Dabei ist unerheblich ob die Energiegrößen zu Größen der Größenart Energie oder bezogenen Größen, wie Leistung (Energie pro Zeit) und Intensität (Energie pro Zeit und Fläche), gehören. Energiegrößen werden deshalb auch als Leistungsgrößen bezeichnet.

[Bearbeiten] Zustands- und Prozessgrößen

Vor allem in der Thermodynamik wird zwischen Zustandsgrößen und Prozessgrößen unterschieden.

Zustandsgrößen sind dabei physikalische Größen, die eine Eigenschaft eines Systemzustands repräsentieren. Man unterscheidet weiterhin zwischen extensiven und intensiven Größen. Extensive Größen wie Masse und Stoffmenge verdoppeln ihren Größenwert bei Systemverdopplung, intensive Größen wie Temperatur und Druck bleiben dabei konstant. Ebenfalls gebräuchlich ist die Unterscheidung zwischen stoffeigenen und systemeigenen Zustandsgrößen.

Prozessgrößen hingegen beschreiben einen Vorgang, nämlich den Übergang zwischen Systemzuständen. Zu ihnen gehören insbesondere die Größen „Arbeit“ ( $W$ ) und „Wärme“ ( $Q$ ). Um ihren Charakter als reine Vorgangsgrößen zum Ausdruck zu bringen, werden sie vielerorts ausschließlich als Differentiale angegeben, wobei ihnen häufig kein $d$ , sondern ein $δ$ oder đ vorangestellt wird.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Normen

DIN 1313 Physikalische Größen und Gleichungen
ISO 31 Größen und Einheiten
ISO 1000 SI-Einheiten
ISO 80000 Quantities and Units (ab 2008)

[Bearbeiten] Einzelnachweise

↑ Unglücklicherweise lässt auch das deutsche und internationale Normenwerk gelegentlich Vermischungen zu, insbesondere bei Hilfsmaßeinheiten, z. B. „dB (C)“; hierbei ist das „C“ ein Hinweis auf das Messverfahren, nach dem das Pegelmaß ermittelt wird, das mit Hilfe der Hilfsmaßeinheit Dezibel angegeben wird.
↑ ^a ^b ^c Die Ergänzungen für Neutronen, Blei und Windungen sind hier in den inkorrekten Formeln willkürlich teils kursiv, teils nicht kursiv gedruckt, da eine richtige Schreibweise ohnehin nicht möglich ist und beide Möglichkeiten vorkommen. Die entsprechenden korrekten Notationen hingegen befolgen auch die im Abschnitt Schreibweise erwähnten Regeln zur Kursivschreibung.

[Bearbeiten] Literatur

Hans Dieter Baehr: Physikalische Größen und ihre Einheiten – Eine Einführung für Studenten, Naturwissenschaftler und Ingenieure. Band 19 der Reihe Studienbücher Naturwissenschaft und Technik, Bertelsmann Universitätsverlag, Düsseldorf 1974. ISBN 3-571-19233-8
Hans Rupp: Physikalische Größen, Formeln, Gesetze und Definitionen. 2. Auflage, Oldenbourg Schulbuchverlag, Juni 1995. ISBN 3-486-87093-9
Paul A. Tipler: Physik. 3. korrigierter Nachdruck der 1. Auflage 1994, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin, 2000, ISBN 3-86025-122-8

[Bearbeiten] Weblinks

Physikalische Größen- und Einheiten (PDF) – Ausführliche Beschreibung zur Formatierung und Angabe von Größenwerten bei physikalischen Versuchen.

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