Georg Cantor

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Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (* 3. März 1845 in Sankt Petersburg; † 6. Januar 1918 in Halle (Saale)) war ein deutscher Mathematiker. Cantor lieferte wichtige Beiträge zur modernen Mathematik. Insbesondere ist er der Begründer der Mengenlehre.

Inhaltsverzeichnis 1 Leben 2 Werk 3 Über Cantor 4 Schriften 5 Literatur 6 Siehe auch 7 Weblinks 8 Quellen und Bemerkungen

[Bearbeiten] Leben

Cantor wurde als Sohn von Georg Woldemar Cantor, einem Börsenmakler, und Marie Cantor, geb. Boehm, in St. Petersburg, der damaligen russischen Hauptstadt, geboren. Sein Vater war in Kopenhagen geboren und in jungen Jahren mit seiner Mutter nach St. Petersburg gekommen, wo er in der dortigen deutschen lutherischen Mission aufgezogen worden war. Nach späteren Aussagen des Sohnes stammte der Vater aus einer sephardischen Familie, was jedoch nach heutiger Quellenlage umstritten scheint. Die Mutter war in St. Petersburg geboren, von römisch-katholischer Konfession und stammte aus einer österreichischen Musikerfamilie. Die Großeltern mütterlicherseits, Franz Boehm und Marie Boehm, geb. Morawek, waren beide Berufsmusiker (Violinisten).

Die Kinder wurden im lutherischen Glauben und in einem deutschen kulturellen Umfeld aufgezogen. Der Vater war sehr fromm und instruierte seinen Sohn in religiösen Dingen. Zeit seines Lebens blieb Georg Cantor ein tief religiöser Mensch. Als er 11 Jahre alt war, siedelte die Familie aufgrund des schlechten Gesundheitszustandes des Vaters des milderen Klimas wegen 1856 von St. Petersburg in die Kurstadt Wiesbaden und etwas später nach Frankfurt am Main über.

Nach dem Schulabschluss („mit Auszeichnung“) 1860 in Darmstadt studierte er an der Eidgenössischen Polytechnischen Schule (der heutigen Eidgenössischen Technischen Hochschule) Zürich und an der Universität Göttingen und wurde 1867 in Berlin promoviert. Zu seinen Lehrern zählten Karl Weierstraß, Ernst Eduard Kummer und Leopold Kronecker. Nach der Promotion lehrte und arbeitete er von 1869 an bis zu seinem Lebensende in Halle, zunächst als Privatdozent, seit 1872 als Extraordinarius und seit 1877 bis zu seiner Emeritierung im Jahr 1913 als ordentlicher Professor.

1874 heiratete er Vally Guttmann mit der er 6 Kinder zeugte (das letzte wurde 1886 geboren). Nur durch die Erbschaft seines Vaters konnte er seine Familie versorgen, denn sein eigentlich bescheidenes akademisches Einkommen hätte dafür nicht gereicht. Seine Flitterwochen verbrachte er im Harz wo er auch intensiv mit Richard Dedekind, einem engen Freund den er zwei Jahre zuvor auf einem Urlaub in der Schweiz kennengelernt hatte, über Mathematik diskutieren konnte.

Von 1884 an litt Cantor wiederholt an manischer Depression und musste sich erstmals in psychiatrische Behandlung begeben. Cantors Beschäftigung mit der Frage nach dem „wahren“ Autor der shakespeareschen Werke fällt in die erste Zeit seiner geistigen Erkrankung. Er sprach sich in mehreren Veröffentlichungen für Francis Bacon als Verfasser aus. Ähnliche Erörterungen stellte Cantor auch im Hinblick auf die Werke von Jakob Böhme und John Dee an. Dieses sehr forcierte literaturgeschichtliche Engagement wird oft als Folge seiner Geisteskrankheit betrachtet, doch war die Beteiligung an dem Rätselraten um Shakespeare allgemein sehr verbreitet, und Cantor zeigte stets an Fragen außerhalb seines Fachgebietes großes Interesse, besonders an Philosophie und (katholischer) Theologie, die für ihn in engem Bezug zu den mengentheoretischen Problemen der Unendlichkeit stand.

Bis 1899 gibt es keine weiteren Aufzeichnungen bezüglich eines Aufenthaltes in einem Sanatorium. Kurz nach diesem zweiten Aufenthalt im Sanatorium verstarb Cantors jüngster Sohn plötzlich (während eines Vortrages bezüglich der Bacon-Theorie und Shakespeare). Durch die Tragödie, einen Sohn verloren zu haben, verlor Cantor auch viel an Leidenschaft für die Mathematik und auch seine Depressionen traten verstärkt auf.

1903 erfolgte eine weiterer Aufenthalt in einem Sanatorium. Ein Jahr später, 1904, wurde durch Julius König am Internationalen Mathematikerkongress eine Studie veröffentlicht, die als Kernaussage eine Widerlegung der Arbeit Cantors zu den „transfiniten Zahlen“ enthielt. Cantor war aufgewühlt und empört darüber, dass man es gewagt hatte, seine (laut seiner Aussage von Gott übermittelten) Studie widerlegen zu wollen, aber auch darüber, dass seine Töchter und Kollegen die vermeintliche Widerlegung mitanhören mussten und die damit verbundene an ihm vollzogene Demütigung. Obwohl Ernst Zermelo einen Tag später schon demonstrierte, dass Julius Königs Beweis falsch war, verblieb Cantor schockiert, verärgert und begann sogar, an seinem Glauben zu zweifeln.

1911 wurde Cantor als einer der bevorzugten ausländischen Gelehrten zum 500. Jahrestag der Gründung der Universität St. Andrews in Schottland eingeladen. Es war gerade jene Zeit, in der Bertrand Russell das Werk Principia Mathematica veröffentlichte, ein Werk über mathematische Prinzipien, in dem Russell sich regelmäßig auf Cantors Arbeiten bezog. In der Hoffnung, Betrand Russell auf dem 500. Jahrestag zu treffen, nahm Cantor daran teil, aber letztendlich nur um diesbezüglich enttäuscht zu werden. Ein Jahr später wollte man Cantor durch die selbe Universität den Ehrendoktor verleihen, aber Cantor konnte aufgrund seiner Krankheit nicht persönlich daran teilnehmen.

1913 ging Cantor in Pension, während des Ersten Weltkrieges litt er an Armut und sogar unter Mangelernährung. Die öffentliche Feier zu seinem 70. Geburtstag musste aufgrund des Krieges abgesagt werden. Am 6. Januar 1918 verstarb Georg Cantor in Halle (Saale) in jenem Sanatorium, in dem er das letzte Jahr seines Lebens verbracht hatte.

[Bearbeiten] Werk

Cantor begründete in den Jahren 1874-1897 die Mengenlehre, die er anfangs (1877) noch Mannigfaltigkeitslehre nannte. Er formulierte 1895 folgende Definition der Menge:

Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen.^[1]

Cantor kam zu seiner Mengenlehre durch die Betrachtung eindeutiger (heute „bijektiver“) Zuordnungen der Elemente von unendlichen Mengen. Er bezeichnete Mengen, für die eine solche Beziehung hergestellt werden kann, als äquivalent oder „von gleicher Mächtigkeit“, auch „gleichmächtig“. Demnach ist die Menge der natürlichen Zahlen der Menge der rationalen Zahlen (Brüche) äquivalent, was er durch sein Diagonalisierungsverfahren zeigte. Mit seinem zweiten Diagonalargument bewies er dann, dass die Menge der reellen Zahlen mächtiger ist als die der natürlichen Zahlen. Die Arbeiten waren unter den Mathematikern seiner Zeit wegen des Umgangs mit dem „aktual Unendlichen“ und der Einführung der transfiniten Zahlen umstritten.

Nach Cantor ist auch die Cantorsche Paarungsfunktion (auch Nummerierungsfunktion) benannt.

Schließlich schuf Cantor 1870 mit der sogenannten Punktmenge die Grundlagen der Theorie der später von Benoît Mandelbrot so bezeichneten Fraktale. Die Cantorsche Punktmenge folgt dem Prinzip der unendlichen Wiederholung selbstähnlicher Prozesse. Die Cantor-Menge gilt als das älteste Fraktal überhaupt.

[Bearbeiten] Über Cantor

• „Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.“ (David Hilbert)^[2]
• „Als ich Student war, fingen Ihre Ideen an, in den Wissenschaftsbetrieb einzugreifen. Damals standen die führenden Mathematiker Deutschlands und Frankreichs zumeist abseits oder verhielten sich sogar ablehnend. Desto mehr spürten die Jüngeren, Minkowski in erster Reihe, die Wucht Ihrer Gedanken und die Kraft Ihrer genialen Intuitionen. Seitdem haben sich Ihre Ideen siegreich durchgekämpft überall, wo es Mathematiker und Logiker gibt. Was mich betrifft, genau wie damals als Student kenne ich nichts Schöneres, als den Problemen nachgrübeln, die Sie stellten. Und ich möchte sagen: die von Ihnen ersonnene Unterscheidung der Mengen nach ihrer Mächtigkeit ist einer der tiefsten Gedanken, der von Mathematikern je gedacht und die daraus entspringenden, durch Ihre Methoden allein zu erfassenden Paradoxien der Mengenlehre ist eines der bedeutendsten Probleme, das noch lange die Menschheit beschäftigen wird, das ihr den Weg bahnt zu den höchsten Gipfeln philosophischer Spekulation.“ (David Hilbert in seinem persönlichen Glückwunsch zum 70. Geburtstag Georg Cantors 1915^[3])
• „.. obwohl das Leben Ihres Vaters, unseres lieben Georg Cantor, abgeschlossen war, so berührt und ergreift mich doch aufs tiefste die Todesnachricht. Ist es doch nicht bloß der große Gelehrte und Forscher von einzig dastehender Originalität, sondern auch der großzügige Mensch und treue anhängliche Freund, den wir nicht mehr haben, der aber desto fester in unserem Gedächtnis leben wird. Gerade vor einigen Tagen hatte ich Gelegenheit zu erfahren, wie stark die Lehren Ihres Vaters auf eine kongeniale Natur wirken. Ich setzte Albert Einstein auf meinem Besuch bei ihm in Berlin das klassische Verfahren auseinander, wie Ihr Vater die Unmöglichkeit bewiesen hat, die irrationalen Zahlen 'abzuzählen' usw. Und Einstein, der alles sofort erfasste, war ganz überwältigt von der Großartigkeit dieser Gedanken …“ (David Hilbert in einem Brief vom Januar 1918 an Else Cantor, die Tochter von Georg Cantor.^[4])
• „Ein aktual Unendliches gibt es jedenfalls nicht“ (Henri Poincaré in einem Vortrag in Göttingen 1909^[5])

Die Oper Cantor – Die Vermessung des Unendlichen von Ingomar Grünauer widmet sich dem Leben und Werk Georg Cantors und wurde aus Anlass des 1200-jährigen Stadtjubiläums am 10. November 2006 im Opernhaus Halle uraufgeführt. Die letzte Vorstellung fand am 5. Januar 2007 statt.

[Bearbeiten] Schriften

• Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, 1872.
• Über die verschiedenen Standpunkte in bezug auf das aktuale Unendliche, 1886.
• Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, 1890/91.
• Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1. Artikel), in: Mathematische Annalen 46 (1895), S. 481-512.
• Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2. Artikel), in: Mathematische Annalen 49 (1897), S. 207-246.
• Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Hrsg. v. E. Zermelo. Berlin: Springer 1932. (Reprint: Springer, 1980.)

[Bearbeiten] Literatur

• Walter Purkert/Hans Joachim Ilgauds: Georg Cantor 1845–1918. Basel/Boston/Stuttgart: Birkhäuser, 1987. (= Vita mathematica; 1.) (Biographie; auch für Nichtmathematiker)
• Herbert Meschkowski: Probleme des Unendlichen. Werk und Leben Georg Cantors. Braunschweig: Vieweg 1967. Die 2. erweiterte Auflage hat folgenden Titel:
• Herbert Meschkowski: Georg Cantor, Leben, Werk und Wirkung. Braunschweig: 1983. (Standardwerk)
• Amir D. Aczel: Die Natur der Unendlichkeit – Mathematik, Kabbala und das Geheimnis des Aleph. Verlag Rowohlt, Reinbek bei Hamburg, Oktober 2002, ISBN 3-49961-358-1
• Daniel Roth: Cantors unvollendetes Projekt. Reflektionsprizipien und Reflektionsschemata als Grundlagen der Mengenlehre und großer Kardinalzahlaxiome. Herbert Utz Verlag, München 2003, ISBN 3-8316-0210-7
• David Foster Wallace: Georg Cantor. Der Jahrhundertmathematiker und die Entdeckung des Unendlichen. München: Piper, 2007, ISBN 3-492-04826-9
• J. Danis, Transfinite Zahlen. In: dies., Zahlenwende, München 2000, ISBN 3-925350-57-6

[Bearbeiten] Siehe auch

• Georg-Cantor-Gymnasium in Halle (Saale)

[Bearbeiten] Weblinks

• Literatur von und über Georg Cantor im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek
• Schriften im Original: Digitalisierungszentrum der Niedersächsischen Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen
• Webseite der Georg-Cantor-Vereinigung mit Biographie
• Kurzporträt

[Bearbeiten] Quellen und Bemerkungen

1. ↑ Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Mathematische Annalen, Bd. 46, S. 481
2. ↑ David Hilbert: Über das Unendliche, Mathematische Annalen 95 (1926), S. 170
3. ↑ In: Georg Cantor 1845–1918. Schöpfer der Mengenlehre. Von Andor Kertesz, bearbeitet von Manfred Stern. Acta Historica Leopoldina. Leipzig: Johann Ambrosius Barth 1983, S. 50.
4. ↑ In: Herbert Meschkowski: Probleme des Unendlichen. Werk und Leben Georg Cantors. Braunschweig: Friedrich Vieweg & Sohn 1967, S. 175/176
5. ↑ In: Sechs Vorträge über ausgewählte Gegenstände aus der reinen Mathematik und mathematischen Physik. Fünfter Vortrag: Über transfinite Zahlen. Verlag B. G. Teubner, Göttingen 1910; digitalisiert an der Cornell Library

Personendaten
NAME	Cantor, Georg
KURZBESCHREIBUNG	deutscher Mathematiker
GEBURTSDATUM	3. März 1845
GEBURTSORT	Sankt Petersburg
STERBEDATUM	6. Januar 1918
STERBEORT	Halle (Saale)