Euklid

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Fantasieporträt der frühen Neuzeit

Euklid von Alexandria (griechisch Εὐκλείδης Eukleidēs; latinisiert Euclides; * ca. 365 v. Chr. vermutlich in Alexandria oder Athen; † ca. 300 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker.

Die überlieferten Werke umfassen sämtliche Bereiche der antiken Mathematik: das sind die theoretischen Disziplinen Arithmetik und Geometrie (Die Elemente), Musiktheorie (Die Teilung des Kanon), eine methodische Anleitung zur Findung von planimetrischen Problemlösungen von bestimmten gesicherten Ausgangspunkten aus (Porismen) sowie die physikalischen bzw. angewandten Werke (Optik, astronomische Phänomene).

In seinem berühmtesten Werk Die Elemente (griechisch Στοιχεῖα Stoicheia; vermutlich um 325 v. Chr. entstanden) leitete er die Eigenschaften geometrischer Objekte, der natürlichen Zahlen und der Größen aus einer Menge von Axiomen (Elementaraussagen) her und trug das mathematische Wissen seiner Zeit zusammen. Seine axiomatische Methode wurde zum Vorbild für die gesamte spätere Mathematik. Viele Sätze der Elemente stammen nicht von Euklid selbst, seine Hauptleistung besteht in der Sammlung und einheitlichen Darstellung mathematischen Wissens.

[Bearbeiten] Leben

Seine Herkunft ist unbekannt. Möglicherweise war er ein Schüler der Platonischen Akademie, später lehrte er am Museion in Alexandria.

Historische Nachrichten zu seiner Person gibt es nur wenige; so ist im 19. Jahrhundert sogar die These vertreten worden, dass die Elemente nicht von einer Person mit dem Namen Euklid stamme, sondern von einem Expertenkreis zusammengestellt worden sei. Diese Auffassung hat sich jedoch nicht durchgesetzt.

[Bearbeiten] Geometrie – Arithmetik – Größenlehre

Die Elemente waren vielerorts bis ins 20. Jahrhundert hinein Grundlage des Geometrieunterrichts, vor allem im angelsächsischen Raum.

Neben der pythagoreischen Geometrie enthalten Euklids Elemente auch in Buch VII-IX die pythagoreische Arithmetik, die Anfänge der Zahlentheorie, die bereits Archytas kannte, darin die Konzepte der Teilbarkeit und des größten gemeinsamen Teilers, sowie auch einen Algorithmus, um ihn zu bestimmen, genannt Euklidischer Algorithmus. Euklid bewies auch, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Auch Euklids Musiktheorie baut auf der Arithmetik auf. Ferner enthält das Buch V die Größenlehre des Eudoxos, eine Verallgemeinerung der Arithmetik auf positive reelle Größen.

Das bekannte fünfte Postulat der ebenen Euklidischen Geometrie, das Parallelenaxiom, fordert, dass für jede beliebige Gerade und für jeden beliebigen Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, eine eindeutige Gerade existiert, die durch diesen Punkt geht und die erste Gerade nicht schneidet. (Diese Fassung des Axioms stammt von John Playfair. Bei Euklid steht eine andere Formulierung, die aber auf dasselbe hinausläuft.)

Für die Wissenschaftsgeschichte ist die Beschäftigung mit dem Parallelenaxiom von großer Bedeutung, weil sie viel zur Präzisierung mathematischer Begriffe und Beweisverfahren beigetragen hat. Im Zuge dessen wurden im 19. Jahrhundert auch die Lücken im Euklidischen Axiomensystem offenkundig. Eine Neufassung der Axiomatik der Euklidischen Geometrie findet sich in David Hilberts Werk „Grundlagen der Geometrie“ (1899), das zu vielen weiteren Auflagen und anschließenden Forschungen geführt hat. Darin wird zum ersten Mal ein vollständiger Aufbau der euklidischen Geometrie geleistet, bis zu der Erkenntnis, dass jedes Modell des Hilbertschen Axiomensystems isomorph zum dreidimensionalen reellen Zahlenraum mit den üblichen Deutungen der geometrischen Grundbegriffe (wie Punkt, Gerade, Ebene, Länge, Winkel, Kongruenz, Ähnlichkeit usw.) in der Analytischen Geometrie ist. Seit dem 18. Jahrhundert fragten sich viele bedeutende Mathematiker, ob das Parallelenaxiom aus den übrigen Axiomen beweisbar (und somit entbehrlich) sei. Das führte zur negativen Antwort und damit zur Entdeckung der Nichteuklidischen Geometrie durch Bolyai und Lobatschewski. Die Poincaré'sche Halbebene H (Henri Poincaré) ist ein Modell für das Axiomensystem, das dem Parallelen-Axiom nicht genügt. Somit kann das Parellenaxiom nicht aus den übrigen Axiomen gefolgert werden. (Siehe Nichteuklidische Geometrie)

[Bearbeiten] Musiktheorie

In Euklids musiktheoretischer Schrift Die Teilung des Kanon (griech. Katatomē kanonos, lat. Sectio canonis) die als authentisch einzustufen ist, griff er die Musiktheorie des Archytas auf und stellte sie auf eine solidere akustische Basis, nämlich auf Frequenzen von Schwingungen (er sprach von Häufigkeit der Bewegungen). Er verallgemeinerte dabei den Satz des Archytas über die Irrationalität der Quadratwurzel $\sqrt{(m+1):m}$ und bewies ganz allgemein die Irrationalität beliebiger Wurzeln $\sqrt[n]{(m+1):m}$ . Der Grund für diese geniale Verallgemeinerung ist seine Antithese gegen die Harmonik des Aristoxenos, die auf rationalen Vielfachen des Tons (Halbton ... n-tel-Ton) aufbaut. Denn in der pythagoreischen Harmonik hat der Ton (Ganzton) die Proportion 9:8, was Euklid zu seiner Antithese „Der Ton ist weder in zwei noch in mehrere gleiche Teile teilbar“ veranlasste; sie setzt allerdings kommensurable Frequenzen voraus, die in der pythagoreischen Harmonik bis zum Ende des 16. Jahrhunderts (Simon Stevin) angenommen wurden. Die Antithese „Die Oktave ist kleiner als 6 Ganztöne“ stützte er auf die Berechnung des pythagoreischen Kommas. Ferner enthält Euklids Teilung des Kanons – wie ihr Titel signalisiert – die älteste überlieferte Darstellung eines Tonsystems am Kanon, einer geteilten Saite, und zwar eine pythagoreische Umdeutung des vollständigen diationischen Tonsystems des Aristoxenos, das die Harmonie des Philolaos erweitert. Euklids Tonsystem wurde zur Grundlage des modernen Tonsystems mit der heute üblichen Bezeichnung durch die Tonbuchstaben Odos.

[Bearbeiten] Werke (Auswahl)

Euklid: Die Elemente. Bücher I-XIII. Hrsg. u. übs. v. Clemens Thaer. Frankfurt a.M.: Harri Deutsch, 4. Aufl. 2003. (Ostwalds Klass. d. exakten Wiss. 235.) ISBN 3-8171-3413-4
Euklid: Teilung des Kanons (sectio canonis), ed. H. Menge in: Euclidis opera omnia, Band 8, Leipzig 1916, 158-183

Weitere erhaltene Schriften sind: Dedomena (Algebra), Optika, Über die Teilung der Figuren (auszugsweise erhalten in einer arabischen Übersetzung). Von weiteren Werken sind nur die Titel bekannt: u.a. Pseudaria (Trugschlüsse), Katoptrika und Phainomena (Astronomie).

[Bearbeiten] Siehe auch

Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2

[Bearbeiten] Literatur

Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Geschichte, Kulturen, Menschen, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-22471-8 (S.49-65) – Die Elemente Euklids und andere Schriften sowie im weiteren Verlauf des Buches deren Kontext und Rezeption in der weiteren Entwicklung der Geometrie.
Max Steck: Bibliographia Euclideana. Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der „Elemente“ des Euklid (um 365-300). Handschriften, Inkunabeln, Frühdrucke (16.Jahrhundert). Textkritische Editionen des 17.-20. Jahrhunderts. Editionen der Opera minora (16.-20.Jahrhundert). Nachdruck, herausgeg. von Menso Folkerts. Hildesheim: Gerstenberg, 1981.
Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem?, Frankfurt am Main, Bern, New York, 1986, Kap. 6, Die „Teilung des Kanons“ des Eukleides.