Equació de Dirac

De Viquipèdia

L'equació de Dirac es una equació d'ones relativista de la mecànica quàntica formulada per Paul Dirac el 1928. Dóna una descripció de les partícules elementals d'espín ½, com l'electró, i és completament consistent amb els principis de la mecànica quàntica i de la teoria de la relativitat especial. També explica de forma lògica la naturalesa de l'espín de les partícules i l'existència de les antipartícules.

Taula de continguts

1 Introducció
2 Deducció de l'equació de Dirac
- 2.1 Naturalesa de la funció d'ona
3 Espectre d'energia
4 Teoria dels forats
5 Interacció electromagnètica
- 5.1 Interacció hamiltoniana
6 Notació covariant relativista
7 Bibliografia
- 7.1 Articles
- 7.2 Llibres
8 Enllaços externs

[edita] Introducció

Atès que l'equació de Dirac va ser originalment descoberta per descriure l'electró, en aquest article parlarem generalment d'«electrons». Actualment, l'equació s'aplica a altres tipus de partícules elementals d'espín -1/2, com els quarks. Una equació modificada de Dirac pot ser usada per descriure de forma aproximada els protons i els neutrons, que estan formats per partícules més petites anomenades quarks, i que no són per tant partícules elementals.

L'equació de Dirac és:

$\left(\alpha_0 mc^2 + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j \, c\right) \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t)$

on m és la massa en repòs de l'electró, c és la velocitat de la llum, p és l'operador de moment, $\hbar$ és la constat de Planck, x i t són les coordenades de l'espai i del temps, respectivament, i ψ (x, t) és una funció d'ona de quatre components. La funció d'ona ha de ser formulada com un espinor (objecte matemàtic similar a un vector que canvia de signe amb una rotació de 2π descobert per Pauli i Dirac) de quatre components, i no com un simple escalar, degut als requeriments de la relativitat especial. Els α són operadors lineals que governen la funció d'ona, escrits com una matriu i són matrius de 4×4 conegudes com a matrius de Dirac. Hi ha més d'una manera de triar un conjunt de matrius de Dirac, una elecció pràctica seria

$\alpha_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \quad \alpha_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$\alpha_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i& 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \alpha_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

L'equació de Dirac descriu les amplituds de probabilitats per a un electró sol. Aquesta teoria d'una sola partícula dóna una predicció prou bona de l'espín i del moment magnètic de l'electró, i explica la major part de l'estructura fina observada a les línies espectrals atòmiques. També fa una peculiar predicció de que existeix un conjunt infinit d'estats quàntics en què l'electró té energia negativa. Aquest estrany resultat permeté a Dirac predir, per mitjà d'una remarcable hipòtesi anomenada teoria dels forats, l'existència d'electrons carregats positivament. Aquesta predicció va ser verificada amb el descobriment del positró, l'any 1932.

Malgrat aquest èxit, la teoria va ser descartada perquè implicava la creació i destrucció de partícules, rebutjant una de les conseqüències bàsiques de la relativitat. Aquesta dificultat va ser resolta per la seva reformulació com una teoria quàntica de camps. Afegir un camp electromagnètic quantificat en aquesta teoria condueix a la moderna teoria de l'electrodinàmica quàntica (Quantum Electrodynamics, QED).

[edita] Deducció de l'equació de Dirac

L'equació de Dirac és una extensió al cas relativista de l'equació d'Schrödinger, que descriu l'evolució en el temps d'un sistema quàntic:

$H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle$

Per conveniència, treballarem en la base de posicions, en què l'estat del sistema és representat per l'equació d'ona ψ(x,t). En aquesta base l'equació d'Schrödinger esdevé

$H \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t)$

on el hamiltonià H ara denota un operador que actua sobre una funció d'ona més que no pas vectors d'estat.

Hem d'especificar el hamiltonià de manera que descrigui adequadament l'energia total del sistema en qüestió. Considerem un electró «lliure» aïllat de camps de força externs. En un model no relativista, adoptam un Hamiltonià anàleg a l'energia cinètica de la mecànica clàssica (de moment ignorant l'espín):

$H = \sum_{j=1}^3 \frac{p_j^2}{2m}$

on p són els operadors de moment en cada direcció de l'espai j = 1,2,3. Cada operador de moment actua sobre la funció d'ona com una derivada espacial:

$p_j \psi(\mathbf{x},t) \equiv - i \hbar \, \frac{\partial\psi}{\partial x_j} (\mathbf{x},t)$

Per descriure un sistema relativista, hem de trobar un hamiltonià diferent. Assumim que els operadors de moment conserven la definició anterior. D'acord amb la famosa relació massa-moment-energia d'Albert Einstein, l'energia total d'un sistema és donada per

$E = \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2}$

d'això es dedueix qualque cosa com:

$\sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2} \; \psi = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t}$

Aquesta no és una equació satisfactòria, perquè no tracta per igual l'espai i el temps, un dels principis bàsics de la relativitat especial (el quadrat d'aquesta equació duu a l'equació de Klein-Gordon). Dirac raonà que, mentre la part dreta de l'equació contenia una derivada de primer ordre respecte al temps, la part de l'esquerra devia contenir igualment una primera derivada respecte a l'espai (és a dir, els operadors de moment). Una possibilitat per obtenir això és que la quantitat de l'arrel quadrada sigui un quadrat perfecte. Si considerem

$(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (pc)^2 = \left( \alpha_0 mc^2 + \sum_{j=1}^3 \alpha_j p_j \, c \right)^2$

on les α són constant que han de ser determinades. Formulant el quadrat, i comparant coeficients de cada terme, obtenim les següents condicions per α:

$\alpha_\mu^2 = I \,,\qquad\qquad\quad\;\; \mu = 0,1,2,3$

$\alpha_\mu \alpha_\nu + \alpha_\nu \alpha_\mu = 0 \,,\quad \mu \ne \nu$

Aquí, I és l'element identitat. Aquestes condicions poden ser escrites de manera més breu:

$\left\{\alpha_\mu , \alpha_\nu\right\} = 2\delta_{\mu\nu} \cdot I$

on {...} és l'anticommutador, definit com {A,B} ≡ AB+BA, i δ és la delta de Kornecker, que té el valor 1, si els dos subíndex son iguals, i 0 en els altres casos.

Aquestes condicions no poden ser satisfetes si els α son nombres ordinaris, però poden ser satisfetes si les α son matrius. Les matrius han de ser Hermíticas, ja que el hamiltonià és un operador hermític. Les matrius mes petites que funcionen son les matrius 4×4, però hi ha més de una elecció possible, o representació, de les matrius. Si bé l'elecció de la representació no pot afectar les propietats de l'equació de Dirac, això afecta el significat físic dels components individuals de la funció d'ona.

A la introducció hem presentat la representació usada per Dirac. Aquesta representació pot ser escrita de forma més compacta:

$\alpha_0 = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{bmatrix} \quad \alpha_j = \begin{bmatrix} 0 & \sigma_j \\ \sigma_j & 0 \end{bmatrix}$

on 0 i I, son les matrius 2×2 zero i identitat, respectivament, i σ_j's (j=1,2,3) són les matrius de Pauli

Ara és senzill dur a terme l'arrel quadrada, que dóna l'equació de Dirac. El hamiltonià en aquesta equació:

$H = \,\alpha_0 mc^2 + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j \, c$

s'anomena hamiltonià de Dirac.

[edita] Naturalesa de la funció d'ona

Com la funció d'ona ψ es representa per la matriu de Dirac 4×4, ha de ser un objecte de 4 components. Veurem, a la pròxima secció, que la funció d'ona conté dos conjunts de graus de llibertat, un associat amb l'energia positiva, i l'altre amb l'energia negativa. Cada conjunt conté dos graus de llibertat que descriuen les amplituds de probabilitat perquè l'espín sia cap amunt o cap avall, segons una direcció especificada.

Podem escriure explícitament la funció d'ona coma una matriu columna:

$\psi(\mathbf{x},t) \equiv \begin{bmatrix}\psi_1(\mathbf{x},t) \\ \psi_2(\mathbf{x},t) \\ \psi_3(\mathbf{x},t) \\ \psi_4(\mathbf{x},t) \end{bmatrix}$

l'equació d'ona dual pot ser escrita com una matriu simple:

$\psi^\dagger(\mathbf{x},t) \equiv \begin{bmatrix}\psi_1^*(\mathbf{x},t) & \psi_2^*(\mathbf{x},t) & \psi_3^*(\mathbf{x},t) & \psi_4^*(\mathbf{x},t) \end{bmatrix}$

on el superíndex denota una conjugació complexa. Per comparació. La dualitat de una funció d'ona escalar (un component) és un conjugat complex.

Com en la mecànica quàntica de una partícula única, el “quadrat absolut” de la funció d'ona dona la densitat de probabilitat de la partícula en cada posició x, temps t. En aquest cas, el “quadrat absolut” és obtingut per la multiplicació de matrius:

$\psi^\dagger \psi \, (\mathbf{x},t) = \sum_{j = 1}^4 \psi_j^*(\mathbf{x},t) \psi_j(\mathbf{x},t)$

La conservació de la probabilitat dona la condició de normalització

$\int \psi^\dagger \psi \, (\mathbf{x},t) \; d^3x = 1$

Aplicant l'equació de Dirac, podem examinar el flux local de probabilitat:

$\frac{\partial}{\partial t} \psi^\dagger \psi \, (\mathbf{x},t) = - \nabla \cdot \mathbf{J}$

El flux de probabilitat J és donat per

$J_j = c \psi^\dagger \alpha_j \psi$

Multiplicant J per la càrrega del electró e dona la densitat de corrent elèctric j portada per l'electró.

Els valors dels components de la funció d'ona depenen del sistema coordinat. Dirac mostrà com ψ transforma baix canvis generals del sistema coordinat, incloent rotacions en el espai tridimensional, així com en les transformacions de Lorentz entre els esquemes relativistes de referència. Això du a que ψ no es transforma com un vector, degut a rotacions, i de fet és un tipus de objecte conegut com a espinor.

[edita] Espectre d'energia

Es instructiu trobar els estats propis d'energia del Hamiltonià de Dirac. Per fer això hem de resoldre l'equació d'Schrödinguer independent del temps:

$H \psi_0 (\mathbf{x}) = E \psi_0(\mathbf{x})$

on ψ és el fragment independent del temps de la eigenfunció de l'energia:

$\psi (\mathbf{x}, t) = \psi_0 (\mathbf{x}) e^{- i E t / \hbar}$

Cerquem una solució d'ona-plana. Per conveniència, alineam la z del eix amb la direcció en que la partícula s'està movent, com a

$\psi_0 = w e^{\frac{ipz}{\hbar}}$

on w és un espinor constant de quatre components, i p és el moment de la partícula, tal com podem verificar aplicant l'operador de moment a la funció d'ona. En la representació de Dirac, l'equació per ψ₀ minva a l'equació de valors propis.

$\begin{bmatrix} mc^2 & 0 & pc & 0 \\ 0 & mc^2 & 0 & -pc \\ pc & 0 & -mc^2 & 0 \\ 0 & -pc & 0 & -mc^2 \end{bmatrix} w = E w$

Per cada valor de p, hi ha dos espais propis, ambdós de dues dimensions. Un espai propi conté valors propis positius, i l'altre valors propis negatius, de la forma:

$E_\pm (p) = \pm \sqrt{(mc^2)^2 + (pc)^2}$

L'espai propi positiu està estructurat pels estats propis:

$\left\{ \begin{bmatrix}pc \\ 0 \\ \epsilon \\ 0 \end{bmatrix} \,,\, \begin{bmatrix}0 \\ pc \\ 0 \\ - \epsilon \end{bmatrix} \right\} \times \frac{1}{\sqrt{\epsilon^2+(pc)^2}}$

i l'espai propi negatiu pels estats propis:

$\left\{ \begin{bmatrix}-\epsilon \\ 0 \\ pc \\ 0 \end{bmatrix} \,,\, \begin{bmatrix}0 \\ \epsilon \\ 0 \\ pc \end{bmatrix} \right\} \times \frac{1}{\sqrt{\epsilon^2+(pc)^2}}$

$\epsilon \equiv |E| - mc^2$

El primer estat propi de l'estructura de cada espai propi té espín apuntant en la direcció +z (“espín per amunt”), i el segon estat propi té espín apuntant en la direcció -z (“espín per avall).

En el límit no relativista, el component de l'espinor ε redueix la energia cinètica de la partícula, que és insignificant comparada amb pc:

$\epsilon \sim \frac{p^2}{2m} << pc$

En aquest límit, per tant, podem interpretat els quatre components de la funció d'ona com les seves amplituds respectives del (I) espín amunt amb energia positiva, i el (II) espín avall amb energia positiva, (III) espín amunt amb energia negativa, i (IV) espín avall amb energia negativa. Aquesta descripció no es acurada en el regim de la relativitat, on els component no nuls de l'espinor son de mides similars.

[edita] Teoria dels forats

Les solucions negatives de E a la secció precedent son problemàtiques, pels mecànics relativistes ens diuen que l'energia de una partícula en repòs (p= 0) seria E = mc² tant com E = - mc². Parlant matemàticament, sigui com sigui, sembla no haver-hi motius per rebutjar les solucions de energia negativa.

Per enfrontar-se amb aquest problema, Dirac introduí la hipòtesi, coneguda com a teoria dels forats, segons la qual el buit és l'estat més important dels quanta en el que tots estats propis d'energia negativa de l'electró estan ocupats. Aquesta descripció del buit, com un «mar» d'electrons es anomenada el mar de Dirac. El principi d'exclusió de Pauli prohibeix als electrons ocupar el mateix estat, qualsevol electró adicional seria forçat a ocupar un estat propi d'energia positiva, i els electrons d'energia positiva no podrien decaure a estats propis d'energia negativa.

Posteriorment Dirac va raonar que si els estats propis d'energia negativa estan plens de forma incompleta, cada estat propi no ocupat -anomenat forat- podria comportar-se com una partícula carregada positivament. El forat té energia positiva, ja que es necessita energia per crear un parell partícula-forat a partir del buit. Dirac en un principi pensava que el forat era un protó, però Hermann Weyl advertí que el forat es comportaria com si tingués la mateixa massa del electró, mentre el protó és més de mil vegades més pesant. El forat va ser finalment identificat com el positró, descobert experimentalment per Carl Anderson el 1932.

Per necessitat, la teoria dels forats assumeix que els electrons d'energia negativa en el mar de Dirac no interaccionen els uns amb els altres, ni amb els electrons d'energia positiva. Amb aquesta assumpció, el mar de Dirac produiria una immensa (de fet infinita) càrrega elèctrica negativa, la major part de la qual d'una manera o altre seria anul·lada per un mar de càrrega positiva degut a que el buit resta neutre elèctricament. Tanmateix, és completament insatisfactori postular que els electrons d'energia positiva poden ser afectats per el camp electromagnètic, mentre els electrons d'energia negativa no ho son. Per aquest motiu, els físics abandonaren la teoria dels forats en favor de la teoria de camps de Dirac, la qual deixa de banda el problema dels estats d'energia negativa tractant els positrons com a vertaderes partícules. (Caveat: en algunes aplicacions de la física de la matèria condensada, els conceptes basats en la «teoria dels forats» son vàlids). El mar d'electrons de conducció, en un conductor elèctric, anomenat mar de Fermi, conté electrons amb energies més altes que el potencial químic del sistema. Un estat buit en el mar de Fermi es comporta com un electró carregat positivament, si bé es remet tan a un «forat» com a un positró. La càrrega negativa del mar de Fermi es equilibrada per la càrrega positiva de la reixa iònica del material).

[edita] Interacció electromagnètica

Fins aquí hem considerat un electró que no està en contacte amb camps externs. Continuant per analogia amb el hamiltonià d'una partícula carregada en l'electrodinàmica quàntica, podem modificar el hamiltonià de Dirac per incloure els efectes d'un camp electromagnètic. El hamiltonià revisat és (en unitats del SI):

$H = \alpha_0 mc^2 + \sum_{j=1}^3 \alpha_j \left[p_j - e A_j(\mathbf{x}, t) \right] c + e \phi(\mathbf{x}, t)$

on e es la càrrega elèctrica de l'electró i A i ψ són els potencials electromagnètics escalar i vectorial, respectivament. Aquí, els potencials s'escriuen com a funcions del temps t i de l'operador de posició x. Aquesta és una aproximació semiclàssica que és vàlida quan les fluctuacions quàntiques del camp (per exemple, l'emissió i absorció de fotons) no són importants.

Donant a ψ el valor 0 i treballant en el límit no relativista, Dirac solucionà per a les dues primeres components en les funcions d'ona d'energia positiva (que són les components dominants en el límit no relativista), obtenint

$\left( \frac{1}{2m} \sum_j |p_j - e A_j(\mathbf{x}, t)|^2 - \frac{\hbar e}{2mc} \sum_j \sigma_j B_j(\mathbf{x}) \right) \begin{bmatrix}\psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}$
$= (E - mc^2) \begin{bmatrix}\psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}$

on B = $\nabla$ ×A és el camp magnètic que actua sobre la partícula. Aquesta és precisament l'equació de Pauli per a una partícula d'espín ½ no relativista, amb un moment magnètic $\hbar e/2mc$ (per exemple: un factor g d'espín igual a 2). El moment magnètic real de l'electró es més gran que això, però solament un 0,12%. La diferència és deguda a les fluctuacions quàntiques en el camp electromagnètic, que poden ser menyspreades.

Durant molts d'anys després del descobriment de l'equació de Dirac, la majoria de físics creien que també descrivia el protó i el neutró, que també són partícules d'espín -1/2. Tot i així, començant amb els experiments d'Stern i Frisch el 1933, es va descobrir que el moment magnètic d'aquestes partícules era notablement diferent de les prediccions de l'equació de Dirac. El protó té un moment magnètic 2,79 vegades més gran que la predicció (amb la massa del protó posada com m a les formules esmentades), és a dir, un factor g de 5,58. El neutró, que és elèctricament neutre, té un factor g de -3,83. Aquests moments magnètics anormals van ser el primer indici experimental de que el protó i el neutró no eren partícules elementals. De fet estan composats de partícules més petites anomenades quarks.

[edita] Interacció hamiltoniana

És digne de tenir-se en consideració que el hamiltonià pot ser escrit com a suma de dos termes:

H = H _el + H _int

on H_el és el hamiltonià de Dirac per a un electró lliure i H_int és el Hamiltonià de la interacció electromagnètica. Aquest darrer es pot escriure com:

$H_{int} = e \phi(\mathbf{x}, t) - ec \sum_{j=1}^3 \alpha_j A_j(\mathbf{x}, t)$

Això té el valor esperat

$\langle H \rangle = \int \, \psi^\dagger H_{int} \psi \, d^3x = \int \, \left(\rho \phi - \sum_{i=1}^3 j_i A_i \right) \, d^3x$

on ρ és la densitat de càrrega elèctrica i j és la densitat de corrent elèctric. La integral al darrer terme és la densitat d'energia d'interacció. Això és una quantitat escalar covariant relativista, com podem veure escrivint-ho en termes del quadrivector càrrega-corrent j = (ρc,j) i el quadrivector del potencial A = (φ/c,A):

$\langle H \rangle = \int \, \left( \sum_{\mu,\nu = 0}^3 \eta_{\mu\nu} j_\mu A_\nu \right) \; d^3r$

on η és la mètrica de l'espai-temps pla:

$\begin{matrix} \eta_{00} = 1 & \\ \eta_{ii} = -1 & \forall i=1,2,3 \\ \eta_{\mu,\nu} = 0 & \forall \mu \ne \nu \end{matrix}$

[edita] Notació covariant relativista

Tornem a l'equació de Dirac per l'electró lliure. És sovint profitós escriure l'equació en una forma covariant relativista, en la que les derivades en el temps i l'espai son tractades al mateix nivell.

Per fer això, primer recordam que l'operador del moment p funciona com una derivada espacial:

$\mathbf{p} \psi(\mathbf{x},t) = - i \hbar \nabla \psi(\mathbf{x},t)$

Multiplicant cada membre de l'equació de Dirac per a₀ (recordant que α₀²=I) i omplint a l'esmentada definició de p, obtenim

$\left[ i\hbar c \left(\alpha_0 \frac{\partial}{c \partial t} + \sum_{j=1}^3 \alpha_0 \alpha_j \frac{\partial}{\partial x_j} \right) - mc^2 \right] \psi = 0$

Ara, definim quatre matrius gamma:

$\gamma_0 = \alpha_0 \,,\quad \gamma_j = \alpha_0 \alpha_j$ Aquestes matrius tenen la propietat que

$\left\{\gamma_\mu , \gamma_\nu \right\} = 2\eta_{\mu\nu} \cdot I\,,\quad \mu,\nu = 0, 1, 2, 3$

on η, una vegada més, és la mètrica de l'espai-temps pla. Aquestes relacions defineixen una àlgebra de Clifford anomenada «àlgebra de Dirac»

L'equació de Dirac pot ser ara escrita, usant el quadrivector de posició-temps x = (ct,x), com

$\left(i\hbar c \, \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma_\mu \, \frac{\partial}{\partial x_\mu} - mc^2 \right) \psi = 0$

[edita] Bibliografia

[edita] Articles

P.A.M. Dirac, Proc. R. Soc. A117 610 (1928)
P.A.M. Dirac, Proc. R. Soc. A126 360 (1930)
C.D. Anderson, Phys. Rev. 43 491 (1933)
R. Frisch, O. Stern, Z. Phys. 85 4 (1933)

[edita] Llibres

Dirac, P.A.M., Principles of Quantum Mechanics, 4th edition (Clarendon, 1982)
Shankar, R., Principles of Quantum Mechanics, 2nd edition (Plenum, 1994)

[edita] Enllaços externs

Categories: Mecànica quàntica | Física de partícules

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.