Mecànica clàssica
De Viquipèdia
Taula de continguts |
[edita] Generalitats
La mecànica clàssica o mecànica newtoniana és un model físic de descripció del moviment dels cossos i de les seves causes, fonamentada en les lleis de Newton. La mecànica clàssica es subdivideix en
- L'estàtica, que estudia els cossos en repòs.
- La cinemàtica, que estudia el moviment dels cossos des d'un punt de vista purament geomètric, sense tenir-ne en compte les forces que actuen sobre ells.
- La dinàmica, que estudia el moviment dels cossos tenint en compte les forces que actuen sobre ells.
Els resultats de la mecànica clàssica descriuen amb molta precisió la majoria dels fenomens de l'experiència quotidiana. El seu rang de validesa va des del moviment de les cèl·lules dins el cos humà fins al moviment dels planetes al sistema solar, passant per tots els moviments (cotxes, pilotes, avions) de la nostra vida diària. Quan les velocitats dels objectes s'aproximen a la velocitat de la llum, la mecànica clàssica perd la seva validesa i és reemplaçada per la mecànica relativista. Quan anem a escales atòmiques també perd la seva validesa i és reemplaçada per la mecànica quàntica.
De vegades es reserva el terme mecànica newtoniana per a la mecànica basada en les lleis de Newton, i el terme mecànica clàssica es fa servir per referir-se conjuntament a la mecànica newtoniana i la mecànica relativista, en contraposició amb la mecànica quàntica.
- La mecànica newtoniana que és la formulació més coneguda i la més senzilla, basada en les Lleis de Newton y que requereix de l'ús privilegiat d'un sistemes de referencia inercial).
- La mecànica lagrangiana es una formulación més abstracta y general, que permet l'ús en igualtat de condicions de sistemes inercials o no inerciales sense que, a diferència de les lleis de Newton, la forma bàsica de les equaciones canvie. Això es degut a que en mecànica lagrangiana es descriu el moviment de les particules en coordenades generals sobre el fibrat tangent de l'anomenat espai de configuració.
[edita] Rang de validesa i formulació
La mecànica clàssica es una teoria general del movimient de sistemes de partícules físiques de sistemes macroscópics i a velocitats petites comparades amb la velocitat de la llum. Existeixen tres formulacions diferents de la mecànica clàssica:
- la mecànica hamiltoniana és una altra formulació abstracta, semblant a la mecànica lagrangiana, on el moviment de les partícules es modelitza sobre l'anomenat espai de fases que és una varietat simpléctica. Este enfocament és particularment adequat per a construir la mecànica estadística clàssica.
Si considerem sistemes inercials en l'espai euclideo tridimensional ℝ³, les tres formulacions són bàsicament equivalents.
[edita] Suposicions bàsiques
Les suposicions bàsiques de la mecànica clàssica són:
- el Principi de Hamilton o principi de mínima acció.
- l'existència d'un temps absolut, la mesura del qual és igual per a qualsevol observador amb independència del seu grau de moviment.
- l'estat d'una partícula queda completament determinisme científic si es coneix la seva quantitat de moviment i posició sent estes simultàniament mesurables.
És interessant notar que en mecànica relativista el supòsit (2) és inacceptable encara que sí que són acceptables els supòsits (1) i (3). D'altra banda, en mecànica quàntica el que no és acceptable és el supòsit (3) (de fet en la mecànica quàntica relativista ni el supòsit (2) ni el (3) són acceptables).
Encara que la mecànica clàssica i en particular la mecànica newtoniana és adequada per a descriure l'experiència diària (amb esdeveniments que succeïxen a velocitats moltíssim menors que la velocitat de la llum i a escala macroscòpica), a causa de l'acceptació d'estos tres supòsits tan restrictius com (1), (2) i (3), no pot descriure adequadament fenòmens electromagnètics amb partícules en ràpid moviment, ni fenòmens físics microscòpics que succeïxen a escala atòmica.
No obstant, açò no és un demèrit de la teoria ja que la simplicitat de la mateixa es combina amb l'adequació descriptiva per a sistemes quotidians com: coets, moviment de planetes, mol·lècules orgàniques, baldufes, trens i trajectòries de mòbils macroscòpics en general. Per a estos sistemes quotidians és molt complicat tan sols descriure el seu moviments en termes de les teories més generals.
[edita] Mecànica Lagrangiana
La mecànica lagrangiana té l'avantatge de ser prou general com perquè les equacions de moviment siguen invariants respecte a qualsevol canvi de coordenades. Això permet treballar amb sistema de referència inerciales o no-inerciales en peu d'igualtat.
Per a un sistema de n graus de llibertat, la mecànica lagrangiana proporciona un sistema de n equacions diferencials ordinàries de segon orde anomenades equacions del moviment que permeten conéixer com evolucionarà el sistema. Encara que en general la integració d'eixe sistema d'equacions no és senzilla, resulta de gran ajuda reduir el nombre de coordenades del problema buscant magnituds conservades, és a dir, magnituts físiques associades al sistema, que no varien al llarg del temps. Les magnituds conservades també se solen anomenar integrals del moviment i solen estar associades a leyes de conservació comuns.
En mecànica lagrangiana hi ha un mode molt elegant de buscar integrals de moviment a partir del teorema de Noether. D'acord amb este teorema quan un lagrangiano és invariant davall un grupo de simetria uniparamétrico llavors qualsevol generador del àlgebra de Vaig embolicar associada a eixe grup uniparmétrico és proporcional a una magnitud conservada:
- Així quan un problema físic té algun tipus de simetría rotacional, el seu lagrangiano és invariant davall algun grup de rotació i tenim que es conserva el moment angular.
- Quan un problema físic presenta simetria traslacional, és a dir, quan les forces que actuen sobre un sistema de partícules són idèntiques en qualsevol posició al llarg d'una línia, tenim que en eixa direcció es conserva el moment lineal.
- La llei de conservació de l'energia està associada a una simetria de translació en el temps. Quan les equacions bàsiques d'un sistema són iguals en tots els instants del temps i els paràmetres que determinen el problema no depenen del temps, llavors l'energia del dit sistema es conserva.
La mecànica lagrangiana pot generalitzar-se de forma molt abstracta i inclús ser usada en problemes fora de la física (com en el problema de determinar les geodèsicas d'una varietat de Riemann). En eixa forma abstracta la mecànica lagrangina es construïx com un sistema dinàmic sobre el fibrado tangent de cert espai de configuració aplicant-se diversos teoremes i temes de la geometria diferencial.
[edita] Mecánica Hamiltoniana
La mecànica hamiltoniana és semblant en essència a la mecànica lagrangiana, encara que descriu l'evolució temporal d'un sistema per mitjà d'equacions diferencials de primer orde, la qual cosa permet integrar més fàcilment les equacions de moviment. En la seua forma canònica les equacions de Hamilton tenen la forma:
.
On H és la funció de Hamilton o hamiltoniano, i 
són els parells de coordenades canòniques conjugades del problema. Usualment les variables tipus qi s'interpreten com coordenades generalitzades de posició i les pi com a moments associats a les velocitats.
No obstant, una característica notable de la mecànica hamiltoniana és que tracta en peu d'igualtat els graus de llibertat associats a la posició i a la velocitat d'una partícula. De fet en mecànica hamiltoniana no podem distingir formalment entre coordenades generalitzades de posició i coordenades generaliadas de moment. De fet es pot fer un canvi de coordenades en què les posicions queden convertides en moments i els moments en posicions. Com a resultat d'esta descripció igualitària entre moments i posicions la mecànica hamiltoniana admet transformacions de coordenades molt més generals que la mecànica lagrangiana. Eixa major llibertat a triar coordenades generalitzades es traduïx en una major capacitat per a poder integrar les equacions de moviment i determinar propietats de les trajectòries de partícules.
Una generalització de la mecànica hamiltoniana és la geometria simpléctica, en eixa forma la mecànica hamiltoniana és usada per a resoldre problemes no físics, inclús per a la matemàtica bàsica. Algunes generalitzacions i regeneralitzacions de la mecànica hamiltoniana són:
- La geometría simpléctica
- La geometria de contacte que pròpiament és una generalització de l'anterior.
- La mecànica de Nambu que és una espècie de mecànica hamiltoniana amb diversos hamiltonianos simultanis.
[edita] Mecánica relativista i mecànica quàntica
La mecánica relativista va més enllà de la mecànica clàssica i tracta amb objectes movent-se a velocitatés relativament pròximes a la velocitat de la llum). La mecànica quàntica tracta amb sistemes de reduïdes dimensions (a escala semblant a l'atòmica), i la teoria quàntica de camps (veure tb. camp) tracta amb sistemes que exhibixen ambdós propietats.
