Построения с линийка и пергел

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Построение с линийка и пергел на правилен шестоъгълник.

Построенията с линийка и пергел са класически вид геометрични задачи за построение на търсена отсечка само с помощта на два чертожни инструмента:

линийка без деления, за която се приема, че има само един праволинеен ръб и е неограничена; и
пергел, за който се приема, че може да изчертае окръжност с всякакъв (произволно голям или произволно малък) радиус.

Не е разрешено използването на други чертожни инструменти като транспортир (за точно отмерване на градусите) или триъгълник (за изчертаване на прав ъгъл).

Аналитично погледнато, задачата за построение с линийка и пергел има за цел да изрази търсената отсечка посредством рационални математически операции и образуване на корен квадратен.^[1]

В България този вид задачи се преподават в 7 клас на средното общообразователно училище.

[редактиране] Решими задачи

Сред лесните задачи за построение с линийка и пергел, които се изучават и в училище, са:^[2]

Основни построителни задачи

построяване на ъгъл равен на зададен ъгъл,
построяване на симетрала на дадена отсечка,
построяване на перпендикуляр от точка към права,
построяване на ъглополовяща на даден ъгъл,
построяване на права, успоредна на дадена права, през дадена точка.

Построяване на триъгълник

по дадени две страни и ъгъл между тях,
по дадени страна и два прилежащи кам тази страна ъгли,
по дадени три страни,
построяване на правоъгълен триъгълник по катет и хипотенуза.

Построяване на успоредник

по дадени две страни и ъгъл
по дадени два диагонала и ъгъл между тях

[редактиране] Нерешими задачи

Теорията на Галоа доказва, че следните класически задачи са нерешими чрез построения с линийка и пергел:^[1]

Делоска задача: Даден е куб с дължина на ръба $a$ . Задачата изисква да се построи страната на куб с два пъти по-голям обем от дадения, т.е. отсечка с дължина $a\sqrt[3]{2}$

Задача за квадратурата на кръга: Тя търси да построи квадрат, равнолицев на даден кръг с радиус 1. Следователно трябва да се построи отсечка с дължина $\sqrt{\pi}$ , което е невъзможно, тъй като π е трансцендентно число.

Трисекция на ъгъл: Задачата изисква произволен ъгъл с големина $α$ да се раздели на три равни части, или с други думи по отсечка с дължина $cosα$ да се построи отсечка с дължина $cos(α / 3)$ . Това изисква решаването на уравнението $4(cos(α / 3)) 3 - 3cos(α / 3) - cosα = 0$ , което няма алгебрично изражение чрез квадратни корени.

[редактиране] Източници

↑ ^1,0 ^1,1 "Математически енциклопедичен речник", В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
↑ "Математика за 7 клас", Здравка Паскалева, Георги Паскалев, ИК Летера