Euklidovská konstrukce
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Euklidovská konstrukce nebo konstrukce pomocí kružítka a pravítka označuje konstrukci geometrických objektů (například úhlů) pouze pomocí idealizovaného pravítka a kružítka. O pravítku se předpokládá, ze má nekonečnou délku, jen jednu hranu a žádné značky pro měření, o kružítku se předpokládá, že může nakreslit jakkoli velikou kružnici.
Tento pojem se vyskytuje především v zadání matematických úloh. Úkolem bývá určit, zda z daného objektu je možné pomocí Euklidovské konstrukce vytvořit jiný objekt, který má dané vlastnosti. Příkladem jsou třeba úlohy trisekce úhlu, kvadratura kruhu a duplikace krychle. Lze dokázat, že ani jednu z těchto úloh pomocí Euklidovské konstrukce vyřešit nelze.
Obsah |
[editovat] Základní konstrukce
Každá Euklidovská konstrukce se skládá z opakování pěti základních konstrukcí s pomocí bodů, úseček a kružnic, které byly vytvořeny již v předchozích krocích. Mezi základní konstrukce patří
- Vytvoření úsečky protínající dva body
- Vytvoření kružnice se středem v jednom bodě tak, aby protínala druhý bod
- Vytvoření bodu, který leží v průsečíku dvou protínajících se úseček
- Vytvoření jednoho nebo dvou bodů ležících v průsečíku kružnice a úsečky (pokud se protínají).
- Vytvoření jednoho nebo dvou bodů ležících v průsečíku dvou kružnic (pokud se protínají)
Například rovnostranný trojúhelník lze vytvořit ze dvou různých bodů A a B následujícím postupem.
- Vytvoříme úsečku protínající body A a B
- Vytvoření dvě kružnice, jednu se středem v bodě A protínající B, druhou se středem v bodě B protínající A.
- Vytvoříme dva body (C a D) v průsečíku obou kružnic
- Vytrvoříme dvě úsečky, jednu protínající A a C, druhou protínající B a C
Výsledkem je rovnostranný trojúhelník s vrcholy A, B a C.
[editovat] Zkonstruovatelná čísla
Euklidovskou konstrukcí lze následovně vytvořit osy souřadnic: Mějme dva body A a B. Vytvořením přímky protínající A a B získáme osu x s nulou v bodě A a jednotkou v bodě B. Spuštěním kolmice (ta je také zkonstruovatelná) v bodě A vytvoříme osu y. Vytvoříme kružnici se středem v A protínající B a v průsečíku s osou y získáme jednotku i na druhé ose.
Bodům (x,y) v tomto Euklidovském prostoru lze přiřadit komplexní čísla x + y i. Bod (x,y) je zkonstruovatelný, pokud ho lze Euklidovskou konstrukcí vytvořit pouze z počátečních bodů A a B. Lze ukázat, že takto lze zkonstruovat všechny body x + y i pro racionální x a y. Zároveň lze pro každá zkonstruovatelná a a b zkonstruovat a + b, a - b, a × b a a / b. Zkonstruovatelná čísla tedy tvoří těleso, které je podtělesem komplexních čísel. Navíc platí, že pro každě zkonstruovatelné a lze zkonstruovat i 
. Na druhou stranou není ale zkonstruovatelné žádné transcendentní číslo.
[editovat] Zkonstruovatelné úhly
Lze dokázat, že existuje bijekce mezi zkonstruovatelnými úhly a body zkonstruovatelnými na zkonstruovatelných kružnicích. Zkonstruovatelné úhly tvoří komutativní grupu se sčítáním modulo 2π. Úhel je zkonstruovatelný právě když číslo odpovídající jeho tangensu (nebo ekvivalentně i sinu a kosinu) je zkonstruovatelné. Například pravidelný sedmnáctiúhelník je zkonstruovatelný, protože
jak dokázal Carl Friedrich Gauss.
[editovat] Zkonstruovatelné pravidelné mnohoúhelníky
Některé pravidelné mnohoúhelníky lze Euklidovskou konstrukcí vytvořit jednoduše, jiné ne. To vedlo k otázce, zda lze takto vytvořit všechny mnohoúhelníky. Carl Friedrich Gauss v roce 1796 ukázal, že pravidelný n-úhelník lze Euklidovskou konstrukcí vytvořit, pokud prvočinitelé jsou různá Fermatova prvočísla. Gauss se správně domníval, že tato podmínka je nejen nutná, ale i postačující, ale dokázat se to podařilo až Pierru Wantzelovi v roce 1837.
Konstrukce pěti a desetiúhelníku: 1.úsečka A,B se středem S. 2.kružnice k o poloměru AS. 3.Na AS bod O tak, že AO=OS 4.bodem S kolmici na AB, v průsečíku k s kolmicí pak body C a D 5.z O kružnicí o poloměru OC protnout SB a průsečík označit E. 6.úsečka CE je strana pětiúhelníku a SE desetiúhelníku.
Lit.: Gál,Kamarýt, „Opakování středoškolské matematiky“
