Konstruksjon (geometri)
Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
I geometri er konstruksjon det å konstruere linjestykker og vinkler med passer og linjal. Linjalen antas å være uendelig lang, men har ingen merker som kan brukes til å måle lengder. Konstruksjoner utføres ved å bruke følgende operasjoner:
- Lage linjen som går gjennom to eksisterende punkter.
- Lage en sirkel som går gjennom et punkt og som har sentrum i et annet punkt.
- Lage skjæringspunktet til to ikke-parallelle linjer.
- Lage et eller to punkter som er skjæringspunkt mellom en linje og en sirkel.
- Lage et eller to punkter som er skjæringspunkt mellom to sirkler.
Innhold |
[rediger] Umulige konstruksjoner
Ikke alle vinkler er mulige å konstruere. Spesielt tre problemer som man i oldtiden prøvde å løse ble vist uløselige på 1800-tallet.
[rediger] Sirkelens kvadratur
Gitt en sirkel, konstruer et kvadrat med samme areal. Dette er umulig siden det krever at man konstruerer et transcendentalt forhold, nemlig π-1/2, mens bare algebraiske forhold kan konstrueres.
[rediger] Kubens fordoblinlg
Gitt en kube, konstruer en annen kube med det dobbelte volumet. Hvis den opprinnelige kuben har sidelengde 1, så vil en kube med det dobbelte volumet ha sidelengde ![\sqrt[3]2](../../../../math/e/c/a/eca0e705b1d86d4b1542e5d33b6f1d73.png)
. Siden dette ikke er et konstruerbart tall, er dette umulig.
[rediger] Vinkelens tredeling
Gitt en vilkårlig vinkel, konstruer en vinkel som er en tredjedel av den opprinnelige vinkelen. Hvis det hadde vært mulig, ville man ha kunnet konstruere en vinkel med 60°, tredele denne så man får en vinkel på 20°, og deretter konstruere et linjestykke med lengde cos(20°). Dette er heller ikke et konstruerbart tall, så det følger at det ikke er mulig å tredele en vinkel.
[rediger] Tredeling av et linjestykke
Man kan dele et linjestykke i tre ved å bruke en hjelpelinje(se bildet). Trekk en stråle fra punktet A med valgfri vinkel og lengde. Del så denne strålen i tre like store linjestykker. De tre linjestykkene, AE, ED og DC utgjør da linjestykket AC. Trekk en linje mellom punktene C og B. Konstruer parallellen til CB fra punktet D, og trekk denne gjennom AB. Kall skjæringspunktet F. BF er en tredjedel av AB. Bruk lengden BF til å markere det siste punktet.
