Квадрат

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Квадратът представлява равнинна (двуизмерна) геометрична фигура.

Съдържание

1 Дефиниция
2 Свойства
3 Периметър и лице на квадрат
4 Квадратът в неевклидовата геометрия
5 Източник
6 Вижте също

[редактиране] Дефиниция

Квадратът е четириъгълник с четири равни страни и четири равни ъгли.

Може да се дефинира и като правилен четириъгълник. Той е правоъгълник с равни страни, а също и ромб с перпендикулярни страни.

[редактиране] Свойства

Квадрат с дължина на страната

a

и диагонал

d

За квадрата са валидни следните твърдения:

Четирите му страни са равни.
Четирите му вътрешни ъгли са равни - всичките са прави.
Има четири оси на симетрия - двата диагонала и двете симетрали на страните му.
Има център на симетрия - пресечната точка на диагоналите.
Двата диагонала са равни по дължина, разполовяват се и са взаимно перпендикулярни.
Диагоналите разполовяват ъглите на квадрата.
Пресечната точка на диагоналите му е център на вписаната и на описаната окръжност.
Всеки квадрат е подобен на всеки друг квадрат.
Квадратът е правилен четириъгълник с централен ъгъл π /2 и $a = R \sqrt {2}$ , където R е радиусът на описаната около квадрата окръжност.

За да начертаем квадрат, е достатъчно да знаем дължината на страната му или дължината на диагонала му.

[редактиране] Периметър и лице на квадрат

Нека а е страната на квадрата, R — радиусът на описаната окръжност, r — радиусът на вписаната окружност.

Формули за квадрата
Лице	$S \, = \, a^2= a \cdot a$ $S \, = \, \frac{d^2}{2}$
Периметър	$P \, = \, 4 \cdot a$
Дължина на диагонала	$d \, = \, a \cdot \sqrt{2}$
Радиус на описаната окръжност	$R \, = \, \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$
Радиус на вписаната окръжност	$r \, = \, \frac{1}{2} \cdot a \, = \, \frac{a}{2}$
Дължина на страната	$a\,$

[редактиране] Квадратът в неевклидовата геометрия

Шест квадрата покриват сфера, като във всеки връх се допират точно три квадрата с вътрешни ъгли от по 120°. Това се нарича сферичен куб.	Евкидовата равнина може да бъде прокрита с квадрати, като във всеки връх се допират точно четири квадрата с вътрешни ъгли по 90°.	Квадрати покриват хиперболичната сфера, като във всеки връх се допират точно пет квадрата с вътрешни ъгли по 72°.

В неевклидовата геометрия квадратите са по-общи многоъгълници с четири равни страни и равни ъгли.

В сферичната геометрия квадратът е многоъгълник, чиито ръбове са дъги от големи окръжности на равни разстояния, които се пресичат в равните ъгли. За разлика от квадрата в равнинната геометрия ъглите на сферичния квадрат са по-големи от правия ъгъл.

В хиперболичната геометрия не съществуват квадрати с прави ъгли. Там квадратите имат ъгли, по-малки от правите ъгли.