Carré
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Un carré est un polygone régulier à quatre côtés : c'est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle (il a quatre angles droits) et un losange (ses quatre côtés ont la même longueur).
Le terme carré d'un nombre désigne également l'élévation de ce nombre à la puissance 2 (sans doute en référence à la manière de calculer l'aire à partir du côté) : « a² » peut se lire « a au carré ». La courbe représentatrice de la fonction ƒ(x) = x² est une parabole.
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[modifier] Notions de bases
Un carré est un à la fois un losange et un rectangle.
Il a donc les propriétés de ces deux quadrilatères :
- Quatre angles droits
- Tous les côtés ont la même longueur.
De plus :
- Ses diagonales ont la même longueur se coupent en leurs milieux en angle droit et séparent le carré en quatre triangles rectangles isocèles semblables.
- la somme des carrés de ses diagonales est égales à la somme des carrés des 4 côtés
On peut définir entièrement un carré par la longueur de ses côtés (la phrase « un carré de côté c » suffit à le décrire entièrement).
- L'aire d'un carré est c × c = c²
- Le périmètre d'un carré est 4c
[modifier] Pour approfondir
[modifier] Propriétés
[modifier] Angles et côtés
Les côtés d'un carré sont tous de même longueur.
Les quatre angles d'un carré sont droits.
Les côtés opposés d'un carré sont parallèles deux à deux.
Les diagonales d'un carré sont de même longueur, perpendiculaires et se coupent en leur milieu O.
Soit "a" la longueur d'un côté d'un carré, alors :
-
- le périmètre du carré vaut 4a ;
- chaque diagonale mesure a√2 ;
- l'aire du carré est a².
[modifier] Symétries
- Le carré est invariant par les rotations de centre O et d'angles π/4, π/2 ou 3π/4.
-
- La rotation d'angle π/2 équivaut à une symétrie centrale : le carré a donc O pour centre de symétrie.
- Le carré est invariant par symétrie axiale selon les bissectrices des côtés et selon les diagonales.
- Toute droite passant par O divise le carré en deux parties superposables.
Il est enfin à noter que le carré possède les propriétés de tous les autres quadrilatères.
[modifier] Propriétés caractéristiques
à l'inverse du rond, qui abonde dans la nature, le carré n'est pas présent à l'état naturel; l'angle droit est une production humaine, signe de civilisation.
[modifier] Construction
[modifier] Construction au compas seul
On souhaite construire le carré de sommets ABCD connaissant seulement les points Aet B. Posons R la distance entre Aet B; alors, on procède comme suit:
- On trace C1le cercle de centre A et de rayon R (qui contient alors B)
on a un troisième point du carré sur cette courbe.
- On trace C2 le cercle de centre Bet de rayon R (qui contient alors A)
le quatrième point du carré se trouve sur cette courbe.
- Posons G un point d'intersection de C1 avec C2; on construit alors C3 centré en G et de rayon R. Ce cercle intersecte C1 en B et en un autre point H.
- C4, de centre H et de rayon R, intersecte C1 en G et en un nouveau point I.
- Posons S la distance entre G et I; on construit alors C5 de centre I et de rayon S (il contient forcément G).
- C6 s'obtient en prenant pour centre B et pour rayon S (il contient forcément H). On note J le point d'intersection entre C6 et C5 qui est du même côté que G par rapport à la droite AB.
- Si T est la distance entre A et J, on construit C7 le cercle de centre A et de rayon T (il contient forcément J).
Le point C est obtenu par intersection entre C7 et C2.
- On construit alors C8 de centre C et de rayon R.
L'intersection de C8 et C1 est le point D.
