Успоредник

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Успоредник

Успоредникът (от гръцки parallelos — параллельный и gramme — линия) е четириъгълник, срещуположните страни на който са две по две успоредни, т. е. лежат на успоредни прави. Оттук идва и името на тази геометрична фигура.

Успоредникът е равнинна (двуизмерна) геометрична фигура, образувана от пресичането на две двойки успоредни прави.

[редактиране] Свойства на успоредника

В успоредник срещуположните страни са равни.
В успоредник срещуположните ъгли са равни.
В успоредник диагоналите взаимно се разполовяват от пресечната си точка.
Всеки два ъгъла на успоредник, които прилежат на една и съща страна, имат сбор, равен на 180 градуса.
Пресечната точка на диагоналите на успоредника е негов център на симетрия.
Всеки диагонал разделя успоредника на два еднакви триъгълника.
За диагоналите на успоредник e и f със страни a и b е изпълнено e² + f² = 2(a² + b²).

[редактиране] Лице на успоредник и други формули

Разглеждаме успоредник ABCD със страни a и b и диагонали e,f.

Лице на успоредник $S \, = \, a \cdot h_a = b \cdot h_b = \, \left| \left|\,\overrightarrow{AB} \, \times \, \overrightarrow{AD}\,\right| \right|$
$S \, = \, a \cdot b \cdot \sin\alpha = a \cdot b \cdot \sin\beta = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f \cdot \sin \theta$ ,

където

$h_a \, = \, b \cdot \sin\alpha = b \cdot \sin\beta$ ,

$h_b \, = \, a \cdot \sin\alpha = a \cdot \sin\beta$ .

За диагоналите по косинусовата теорема имаме

$f = \sqrt{ a^2+d^2-2 \cdot a \cdot d \cdot \cos (\alpha) }$
$e = \sqrt{ a^2+d^2+2 \cdot a \cdot d \cdot \cos (\alpha) }$

За ъглите на успоредника са изпълнени равенствата

$\alpha = \gamma \;\;\;\;\; \beta = \delta \;\;\;\;\; \beta = 180^\circ - \alpha$ .

[редактиране] Частни случаи на успоредник

правоъгълник — успоредник с четири равни ъгъла — по 90 градуса всеки;
ромб — успоредник с равни страни;
квадрат — успоредник, на който всички страни и всички ъгли са равни — по 90 градуса всеки.