Poisson dağılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Poisson
Olasılık kütle fonksiyonu Yatay eksen indeks k . Fonksiyon yalnızca knin tamsayı değerleri için geçerlidir. Noktaları bağlayan çizgiler süreklilik göstermez; kullanıcıya yardımcı olmak üzere çizilmişlerdir.
Yığmalı dağılım fonksiyonu Yatay eksen indeks k .
Parametreler	$\lambda \in (0,\infty)$
Destek	$k \in \{0,1,2,\ldots\}$
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF)	{{{OYF}}}
Yığmalı dağılım fonksiyonu (YDF)	$\frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}\!\text{ eger }k\ge 0$ (burada $Γ(x, y)$ Tamamlanmamis gamma fonksiyonu olur)
Ortalama	$\lambda\,$
Medyan	$\text{yaklasik olarak}\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor$
Mod	$\lfloor\lambda\rfloor$ ve $λ - 1$ eğer $λ$ bir tamsayı ise
Varyans	$\lambda\,$
Çarpıklık	$\lambda^{-1/2}\,$
Fazladan basıklık	$\lambda^{-1}\,$
Entropi	$\lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}$ (büyük $λ$ değeri için) $\frac{1}{2}\log(2 \pi e \lambda) - \frac{1}{12 \lambda} - \frac{1}{24 \lambda^2} - \frac{19}{360 \lambda^3} + O(\frac{1}{\lambda^4})$
Moment üreten fonksiyon (mf)	$\exp(\lambda (e^t-1))\,$
Karakteristik fonksiyon	$\exp(\lambda (e^{it}-1))\,$

Poisson dağılımı, olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında bir aralıklı olasılık dağılımı olup belli bir sabit zaman birim aralığında meydana gelen sayısının olasığını ifade eder. Bu zaman aralığında ortalama olay meydana gelme sayısının sabit olarak bilindiği ve ortalama olay sayısının sabit zaman birimi değişmesi ile aynı oranda değiştiği varsayılır. Ayrıca herhangi bir olayla onu hemen takip eden olay arasındaki zaman farkının, önceki zaman farklarından bağımsız oluştuğu kabul edilir.

Poisson dağılımı çok kere belirli sabit zaman aralığı birimleri bulunan problemlere uygulanmakla beraber, diğer birimsel aralıklı problemlere de (yani birim uzaklık, alan veya hacim içeren problemlere de) başarı ile uygulanabilir.

Konu başlıkları

1 Örnekler
2 Tarihçe
3 Nadir olaylar için Poisson dağılımı
4 Özellikler
5 Poisson dağılımı ile üretilen rassal değişkenlerin simulasyonu
6 İlişkili dağılımlar
7 Parametre tahmini
8 İçsel Kaynaklar
9 Kaynak
10 Dış Bağlantılar

[değiştir] Örnekler

Poisson dağılımı Poisson süreci ile birlikte ortaya çıkar. Poisson süreci aralıklı karakterde olan (yani 0, 1, 2, 3 .. kere meydana çıkan) bazı olgularin bir birim zaman, alan, mekan veya hacimde sabit bir olasılıkla oluşması şekilini alır. Bu çeşit olaylara ve Poisson dağılımının uygulanmasına örnekler şunlardır:

Prusya süvari birliklerinde her bir yıl at ve katır tepmeleri ile ölen asker sayısı: Bu klasik örnek 1868de Ladislaus Josephovich Bortkiewicz tarafından bir kitapta yayınlanmış ve çok tanınmış bir örnek olarak yıllarca askeri ve sivil yüksek okul öğrencilerine verilmiştir.
Bir saat aralığında belli bir Internet sitesine gelen bağlantılar sayısı;
Yarım saat içinde bir nakliyat deposuna yükleme-boşatılma için gelen kamyon sayısı;
Her bir beş dakika içinde bir telefon cevap merkezine gelen telefonlar sayısı;
Belli bir trafik kavşağından 1 dakika içinde geçen otomobil sayısı;
Belli bir zaman aralığında bir büyük binada yanıp çalışması duran florasan lambalarının sayısı;
Bir mucit kişinin çalışma hayatı boyunca patentini aldığı keşifler sayısı;

[Not: Birbirini takip eden Poisson tipi olaylar arasındaki aralık karşılıklı ilişkili olarak bir üstel dağılım olur. Örneğin, bir florans ampülünun çalışma süresi veya otobüslerin gelmesi arasındaki bekleme zamanı.]

[değiştir] Tarihçe

Bu dağılım ilk defa Siméon-Denis Poisson (1781–1840) tarafından diğer olasılık hakkındaki yazıları ile birlikte 1838de yayınlanan Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Ceza hukuku ve medeni hukuk alanlarındaki hükümlerin olasılığı üzerinde araştırmalar)" adındaki eserinde ortaya atılmıştır.

[değiştir] Nadir olaylar için Poisson dağılımı

Poisson dağılımının genel odaklandığı rassal değişken bir sayılabilen olaydır; bu olay belli bir sabit uzunlukta olan (genellikle zaman) aralıkta aralıklı olarak ortaya çıkar ve bu aralıkta gözlenen olayların sayısı Poisson dağılım için rassal değişkendir. Bu sabit aralıkta ortaya çıkan olaylar sayısının beklenen değeri (ortaya çıkmanın ortalama sayısı) λ olarak sabittir ve bu ortalama değer aralık uzunluğuna orantılıdır. Eğer her 4 dakikalık zaman aralıgı içinde ortalama 5 olay meydan geliyorsa, sabit 8 dakikalık aralıkta ortalama 10 (=4x8/2) olay ortaya çıkar. Herhangi bir negatif olmayan bir tamsayı olan k sayida (k=0, 1,2, 3...) olay ortaya çıkma olasılığı şöyle ifade edilir:

$f(k, \lambda)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},\,\!$

burada

e bir doğasal logaritmaların bazı (e = 2.71828...)
k olasiligi fonksiyon ile verilmekte olan olayin ortaya cikma sayisi
k! k icin faktoriyel
λ verilen sabit aralikta ortaya cikma sayisinin beklenen degeri; bir pozitif reel sayi.

Bu knin fonksiyonu Poisson dağılım için olasılık kütle fonksiyonu olur.

Poisson dağılımı için λ parameteresi yalnızca beklenen değer, yani ortaya çıkan $\scriptstyle\langle k \rangle$ sayıda olay için bir ortalama, değildir. Aynı zamanda

$\scriptstyle\sigma_k^2 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \langle k^{2} \rangle - \langle k \rangle^{2}$

yani varyans da olur. Böylece gözlenen olay meydan çıkış sayısı bir ortalama değer λ ile bir standart sapmasi $\scriptstyle\sigma_{k}\, =\, \sqrt{\lambda}$ olması özelliklerle bir olasılık dağılım, Poisson dağılımı, göstermektedir.

Genellikle bir Poisson dağılımı büyük sayıda olay ortaya çıkabilmesi mumkun olduğu, ama bu ortaya çıkması mümkün olayların nadir olduğu kabul edilen, sistemlerde uygulanabilir. Bilimsel alanlarda klasik örnekler atomların nükleer parçalanması; verilen bir DNA zincirinde ortaya çıkan mutasyon sayısı vb. Bu orneklerle ve diğer birçok örneğin için, ortaya çıkan nadir olay sayısı aralıklı denemelerin sonucudur ve daha kesinlikle bir binom dağılım kullanılarak model haline getirebilinirler. Fakat n ve λ/n parametreli bir binom dağılımı (yani her deneme için λ/n başari olasılığı olan n sayıda deneme için belirli bir başarı sayısı için olasılık dağılımı), deneme sayısı n büyüyüp limitte sonsuzluğa yaklaştıkça, beklenen değeri λ olan bir Poisson dağılıma yakınlaşır. Bu limit bazan nadir olaylar kuralı olarak anılmaktadır. Bu ifade bir bakıma yanıltıcıdır; çünkü birçok Poisson dağılımı ile modellenebilen olaylar arasında birçoğu (örneğin bir otobüs durağına yarım saat aralığında gelen otobüs sayısı; bir mobil telefona bir saat aralığında gelen çağrı sayısı gibi) hiç de nadir olmayan olaylar bulunur. Ancak binom dağılımının büyük sayılar için hesaplanması faktoriyel sayılar kullanılmasi gerektirdiği için bu uzun hesaplama biraz sıkıcı görülebilmekte ve bu nedenle Poisson dağılımı yaklaşık olarak binom dağılım yerine kullanılmaktadır.

Binom dağılımından limitte Poisson dağılım olasılık kütle fonksiyonunun çıkartılması matemetiksel ayrıntıları şöyle yapılır:

Önce, degiskenler hesabı (calculus) içinde kullanılan limit şöyle ifade edildiğı hatırlanır:

$\lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda \over n}\right)^n=e^{-\lambda}.$

Şu eşitlik p = λ/n bu ifade içine konulursa, şu denkleme varılır:

$\lim_{n\to\infty} \Pr(X=k)=\lim_{n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} =\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}$

ve şimdi bu ifadeyi daha açısın:

$=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\left({n \over n}\right)\left({n-1 \over n}\right)\left({n-2 \over n}\right) \cdots \left({n-k+1 \over n}\right)}\ \underbrace{\left({\lambda^k \over k!}\right)}\ \underbrace{\left(1-{\lambda \over n}\right)^n}\ \underbrace{\left(1-{\lambda \over n}\right)^{-k}}$

Limitte n ∞ değere yaklaştıkca, ilk parantez içindeki ifade 1 e yaklaşır ve ikinci parantez içinde n olmaması nedeniyle sabit kalır; üçüncü parantez içindeki ifade e^−λ değerine yaklaşır ve dördüncü parntezdeki ifade 1 e yaklaşım gösterir. Sonuçta, limitte şu ortaya çıkar:

${\lambda^k e^{-\lambda} \over k!}.\,\!$

Daha genel olarak, n ve p_n parametreleri olan binom rassal değiskenler için bir sıra Binom ifadesi

$\lim_{n\rightarrow\infty} np_n = \lambda,$

olursa, bu seri dağılımda ortalaması λ olan bir Poisson rassal değişkeni için serilere yaklaşır (Daha fazla ayrıntı için nadir olaylar kuralı maddesine bakınız.).

[değiştir] Özellikler

Bir Poisson dağılımı gösteren rassal değişken için beklenen değere eşittir; ve varyans değeri de λdır. Poisson dağılımının yüksek momentleri λ terimleri ile oluşan (matematiksel kombinatorik kuramında anlamlı olan katsayıları bulunan) Touchard polinomlarıdır. Eğer Poisson dağılımı için beklenen değer 1 ise, o zaman Dobinski'nin formülüne göre ninci moment n büyüklüğünde olan set bölünümlerinin sayısına eşittir.

Tam sayılı olmayan bir λ lambda parametreli Poisson dağılımı gösteren bir rassal değişkenin mod değeri, λ değerinin hemen altında bulunan en yüksek pozitif tamsayı olan $\scriptstyle\lfloor \lambda \rfloor$ ifadesine eşittir.

Poisson dağılımı gösteren rassal değişkenlerin toplamı:

Eğer $X_i \sim \mathrm{Poi}(\lambda_i)\,$ ifadesi

λ i

parametresi ile Poisson dağılımı gösteriyor ve

X i

terimleri bağımsız iseler, o halde

$Y = \sum_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{Poi}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\,$

ifadesi de parametresi toplama katılan parametre toplamlarından oluan bir Poisson dağılımı gösterir.

Beklenen değeri λ olan Poisson dağılımınin moment üretici fonksiyonu şu ifade ile verilir:

$\mathrm{E}\left(e^{tX}\right)=\sum_{k=0}^\infty e^{tk} f(k;\lambda)=\sum_{k=0}^\infty e^{tk} {\lambda^k e^{-\lambda} \over k!} =e^{\lambda(e^t-1)}.$

Poisson dağılımı için tüm kumulantlar beklenen değer olan λya eşittirler. Poisson dağılımı için ninci [faktoriyel moment] λⁿ olur

Poisson dağılımlari sonsuz olarak bölünebilir olasılık dağılımlarıdır.

Poi(λ₀) ile Poi(λ) arasındaki yönlendirilmiş Kullback-Leibler ayrılımı şöyle ifade edilir;

$\Delta(\lambda||\lambda_0) = \lambda \left( 1 - \frac{\lambda_0}{\lambda} + \frac{\lambda_0}{\lambda} \log \frac{\lambda_0}{\lambda} \right).$

[değiştir] Poisson dağılımı ile üretilen rassal değişkenlerin simulasyonu

Poisson dağılımı ile üretilmiş rassal sayıların bir komputer programı ile simulasyonu için algoritma en basit olarak Knuth verilmiştir

algoritma poisson rassal sayı üretimi (Knuth):
    init:
        Let L ← e^−λ, k ← 0 and p ← 1.
    do:
         k ← k + 1.
         [0,1] aralığı içinde birörnek dağılımlı rassal sayı u üret ve let p ← p × u.
    while p ≥ L.
    return k − 1.

Basit olmakla beraber, karmaşıklık λ ile doğrusal olarak oranlıdır. Bu sorun etkisini azaltmak için çeşitli diğer algoritmalar geliştirilmiştir (bakın Ahrens ve Dieter).

[değiştir] İlişkili dağılımlar

Eğer $X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,$ ve $X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,$ ise, o zaman $Y = X 1 - X 2$ farkı bir Skellam dağılımı gösterir.
Eğer $X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,$
ve $X_2\sim\mathrm{Pois}(\lambda_2)\,$
bağımsızsalar ve $Y = X 1 + X 2$ ise, o zaman $Y = y$ ya koşullu $X 1$
dağılımı bir binom dağılımı olur. Özellikle, $X_1|(Y=y) \sim \mathrm{Binom}(y, \lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2))\,$
olur. Daha genel olarak, eğer X₁, X₂,...,X_n
rassal değişkenleri, parametreleri λ₁, λ₂,..., λ_n
olan Poisson dağılımı gösteriyorlarsa, o zaman $X_i\left|\sum_{j=1}^nX_j\right.\sim\mathrm{Binom}\left(\sum_{j=1}^nX_j,\frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n\lambda_j}\right)$
Eğer denemeler sayısı limitte sonsuza doğru yaklaşır ve başarı sayısının [beklenen değer]]i sabit kalırsa, bu binom dağılım limitte Poisson dağılıma yaklaşacağı isbat edilmiştir. Bu nedenle Poisson dağılım, eğer n yeterce büyük ve p yeterce küçük ise, bir binom dağılım yerine yaklaşım olarak kullanılabilir. Alışılagelen bir kurala göre eğer n en aşağı 20 ise ve p 0,05e eşit veya daha küçük ise, Poisson dağılımı binom dağılımının bir iyi bir yaklaşımı olacaktır. Bu kurala göre eğer n ≥ 100 ve np ≤ 10 ise bu yaklaşım mükemmel olacaktır.^[1]
Yeter derecede yüksek λ değeri (diyelim λ>1000) için, ortalaması λ ve varyansı λ olan bir normal dağılım, Poisson dağılım için çok iyi bir yaklaşım olacaktır. Eğer λ 10dan biraz büyük ise, bu halde normal dağılım ancak uygun bir süreklilik doğrulaması kullanılırsa uygun bir yaklaşım olabilecektir. Başka bir deyim ile, eğer P(X ≤ x) ifadeleri P(X ≤ x + 0.5) ile değiştirilirse

$F_\mathrm{Poisson}(x;\lambda) \approx F_\mathrm{normal}(x;\mu=\lambda,\sigma^2=\lambda)\,$ olur.

Eğer bir sabit zaman aralığı içinde bir hizmet alanına gelenler sayısı, ortalaması $λ$ olan bir Poisson dağılımına uygun ise, o halde gelişler-arası zaman aralıkları, oran parametresi $1 / λ$ olan, bir üstel dağılım gösterir.

[değiştir] Parametre tahmini

[değiştir] Maksimum olabilirlik

k_i icin n tane olculmus degere kapsiyan bir orneklem alinsin. Bu orneklemin kokenindeki Poisson dagilim gosteren anakutle icin Possion parametresi olan λ icni bir uygun bir kestirim degeri bulunmasi hesaplama hedefidir.

Bu kestrimi maksimum degisebilirlik yontemi ile bulmak icin once bir bir log-degisebilirlilik fonksiyonu soyle bicimlendirilir:

$L(\lambda) = \ln \prod_{i=1}^n f(k_i \mid \lambda) \!$

$= \sum_{i=1}^n \ln\!\left(\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k_i}}{k_i!}\right) \!$

$= -n\lambda + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \ln(\lambda) - \sum_{i=1}^n \ln(k_i!). \!$

λ ile L fonksiyonunun turev alinip bu turev sifira esitlenirse

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda} L(\lambda) = 0 \iff -n + \left(\sum_{i=1}^n k_i\right) \frac{1}{\lambda} = 0 \!$

λ icin cozum yapilirsa λ icin maksimum-olabilirlilik kestirimini soyle buluruz:

$\widehat{\lambda}_\mathrm{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n k_i. \!$

Her gozlem icin ortalam λ oldugu icin bu ifadenin beklenen degeri de λ olur. Bu nedenle bu kestirim λ icin bir yansiz kestirim olur. Bunun kestirim varyansi Cramer-Rao alt sinirini ulasip gectigi icin, bu kestirim bir etkin kestirimde olur.

[değiştir] Bayes tipi sonuç çıkartıcı analiz

Bayes tipi sonuç çıkartıcı analiz için Poisson dağılımının oran parametresi olan λ için eşlenik öncel bir gamma dağılımı gösterir. Şu ifadeye göre

$\lambda \sim \mathrm{Gamma}(\alpha, \beta) \!$

λnin bir Gamma olasılık yoğunluk fonksiyonuna göre dağılım gösterdiğini; gnin bir şekil parametresi olan α ile bir ters ölçek parametresi olan β ile parametrelenmiş oldugunu, şöyle güsterilsin

$g(\lambda \mid \alpha,\beta) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \; \lambda^{\alpha-1} \; e^{-\beta\,\lambda} \qquad \mbox{for}\ \lambda>0 \,\!.$

O zaman, daha önce olduğu gibi n sayıda ölçülmüş değerden oluşan örneklem k_i ve bir Gamma(α, β) dağılımlı öncel verilmiş ise, sonrasal dağılım şu olur:

$\lambda \sim \mathrm{Gamma}(\alpha + \sum_{i=1}^n k_i, \frac{1}{\frac{1}{\beta} + n}). \!$

Sonrasal ortalama olan E[λ] limitte $\alpha\to 0,\ \beta\to 0$ doğru gittikçe maksimum olabilirlik kestirimi olan $\widehat{\lambda}_\mathrm{MLE}$ ifadesine yaklaşır.

Eklecek verilerin sonrasal tahmin edici dağılımı bir Gamma-Poisson dağılım yani bir negatif binom dağılımı olur.

[değiştir] Küçük sayılar kuralı

Kural sözcüğü istatistik bilimi içinde olasılık dağılımı kavramı ile eşanlamlı olarak kullanılmaktadır. Kurala göre yakınsama kavramı dağılımda yakınsama ile aynı anlamda kullanılmaktadır. Buna dayanarak Poisson dağılımı bazan küçük sayılar kuralı olarak anılmaktadır. Buna neden bu dağılımın, nadir olacağı kabul edilmekle beraber, bir çok fırsatta ortaya çıkanbilen bir olayın ortaya çıkma sayısını açıklayan olasılık dağılımı olmasıdır. 1898de Ladisladus Bortkiewicz'in Poisson dağılımı hakkında yayınladığı kitabın adı Küçük Sayılar Kuralıdır. Bazı matematik tarihçileri buna izafeten Poisson dağılımının adının da Bortkiewicz dağılımı olmasını istemişlerdir.[2]

[değiştir] İçsel Kaynaklar

Bileşik Poisson dağılımı

Tweedie dağılımı

Poisson sureci

Poisson regresyonu

Poisson örneklemesi

Kuyruk kuramı

Erlang dağılımı n sayıda olayın tümüyle ortaya çıkmasına kadar bekleme zamanlarını tanımlar. Zaman içinde dağılım gösteren olaylar için Poisson dağılımı, daha önceden aralığı sabit olarak tayin edilmiç zaman birimi içinde ortaya çıkan olay sayısını verir; Erlang dağılımı ise ninci olayın olup bitmesine kadar geçen zamanının olasılık dağılımını inceler.

Skellam dağılımı: Mutlaka ayni asıl dağılımdan ortaya çıkmayan iki Poisson değişirin farkının dağılımını verir.

Tamamlanmamış gamma fonksiyonu: Yığmalı olasılık fonksiyonunun hesaplanması için kullanılır.

Dobinski'nin formülü ([Poisson dağılımı için [moment]]lerin kombinatrik hesapla yorumlanması)

Schwarz formülü

Robbins ön kuramı: Empirik Bayes yönteminin Poisson dağılıma bağlı olduğunu gösteren bir ön kuram

[değiştir] Kaynak

İngilizce Vikipedi'deki Mart 2008 tarihli Poisson_distribution maddesi

[değiştir] Dış Bağlantılar

[değiştir] Online Vizülizasyon Aletleri

[değiştir] Referans kitapları ve makaleler

{{{başlık}}}.

Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter (1974). "Computer Methods for Sampling from Gamma, Beta, Poisson and Binomial Distributions". Computing 12 (3): 223--246. DOI:10.1007/BF02293108.

Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter (1982). "Computer Generation of Poisson Deviates". ACM Transactions on Mathematical Software 8 (2): 163--179. DOI:10.1145/355993.355997.

Ronald J. Evans, J. Boersma, N. M. Blachman, A. A. Jagers (1988). "The Entropy of a Poisson Distribution: Problem 87-6". SIAM Review 30 (2): 314--317.

[değiştir] İnternet Siteleri

g • d
	Tek değişirli	Çok değişirli
Aralıklı:	Benford · Bernoulli · Binom · Boltzmann · Kategorik · Bileşik Poisson · Aralıklı faz tipi · Bozulmuş Gauss-Kuzmin · Geometrik · Hipergeometrik · Logaritmalı · Negatif binom · Parabolik fraktal · Poisson · Rademacher · Skellam · Aralıklı tekdüze · Yule-Simon · Zeta · Zipf · Zipf-Mandelbrot	Ewens · Multinom · Çok değişirli Polya
Sürekli:	Beta · Beta prime · Caucy · Ki-kare · Dirac delta fonksiyonu · Cox tipi · Erlang · Üstel · Üstel güç · F · Fermi-Dirac · Fisher'in z · Fisher-Tippett · Gamma · Genelleştirilmiş uçsal değer · Genelleştirilmiş hiperbolik · Genelleştirilmiş ters Gauss-tipi · Yarı-logistik · Hotelling'in T-kare · Hiperbolik sekant · Hiper-üstel · Hipo-üstel · Ters ki-kare · Ölçeklenmiş ters ki-kare · Ters Gauss-tipi · Ters gamma · Ölçeklenmiş ters gamma · Kumaraswami · Landau · Laplace · Lévy · Lévy çarpık alfa-durağan · logistik · Log-normal · Maxwell-Boltzmann · Maxwell hızı · Nakagami · Normal (Gauss tipi) · Normal-gamma · Normal ters Gauss-tipi · Pareto · Pearson · Faz-tipi · Kutupsal · Yükseltilmiş kosinus · Rayleigh · Relativistik Breit-Wigner · Rice · Rosin–Rammler · Kaydırılmış Gompertz · Student'in t · sürekli tekdüze Üçgensel · Kesilmiş normal · Tweedie · 1.tip Gumbel · 2.tip Gumbel · Varyans-Gamma · Voigt · Von Mises · Weibull · Wigner yarımdaire · Wilks'in lambda	Dirichlet · Genelleştirilmiş Dirichlet · Ters-Wishart · Kent · Matris normal · Çokdeğişirli normal · Çokdeğişirli Student · Von Mises-Fisher · Wigner benzeri · Wishart
Çeşitli:	Çiftmodlu · Kantor · Koşullu · Denge · Üstel ailesi · Sonsuz bölünebilirlilik (olasılık) · Konum-ölçeği ailesi · Marjinal · Maksimum entropi · Sonrasal · Öncel · Olasılık-benzeri · Örneklem · Singüler · Tekmodlu

Şablon:İstatistik

Sayfa kategorileri: Olasılık ve istatistik | Aralıklı olasılık dağılımları | Faktoriyel ve binom konuları

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.