ebooksgratis.com

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Zeta dağılımı - Vikipedi

Zeta dağılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi

zeta
Olasılık kütle fonksiyonu
Zeta olasılık kütle fonksiyonu grafigi
log-log ölcekli olarak Zeta OKF. (Bu fonksiyon sadece k'nin tamsayıları icin tanımlanmaktadır; noktaları bağlayan çizgiler görüs kolaylıgı sağlamak icin verilmistir; süreklilik ifade etmezler.)
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Zeta KDF
Parametreler s\in(1,\infty)
Destek k \in \{1,2,\ldots\}
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF) \frac{1/k^s}{\zeta(s)}
Yığmalı dağılım fonksiyonu (YDF) \frac{H_{k,s}}{\zeta(s)}
Ortalama \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}~\textrm{for}~s>2
Medyan
Mod 1\,
Varyans \frac{\zeta(s)\zeta(s-2) - \zeta(s-1)^2}{\zeta(s)^2}~\textrm{for}~s>3
Çarpıklık
Fazladan basıklık
Entropi \sum_{k=1}^\infty\frac{1/k^s}{\zeta(s)}\log (k^s \zeta(s)).\,\!
Moment üreten fonksiyon (mf) \frac{\operatorname{Li}_s(e^t)}{\zeta(s)}
Karakteristik fonksiyon \frac{\operatorname{Li}_s(e^{it})}{\zeta(s)}



Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, zeta dağılımı bir aralıklı olasılık dağılımıdır. Eğer X s parametresi ile zeta dağılımı gösteren bir bir rassal değişken ise, Xin k tamsayısı değerini almasının olasılığı şu olasılık kütle fonksiyonu ile belirtilir:

f_s(k)=k^{-s}/\zeta(s)\,

Burada ζ(s) Riemann zeta fonksiyonu olur (ama bu fonksiyon s = 1 tanımlanamaz.).

Sonsuz değerde N için zeta dağılımı Zipf dağılımına eşit değerdedir. O zaman Zipf dağılımı ve zeta dağılım aynı anlamı verdikleri için birbiriyle kavram farkı vermeden değiştirilebilip kullanılırlar.

Konu başlıkları

[gizle]

[deÄŸiÅŸtir] Momentler

Genel olarak, ninci ham moment Xnin beklenen değeri olarak şöyle tanımlanır:

m_n = E(X^n) = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{s-n}}

Bu ifadenin sağ tarafında bulunan seri bir Rieman zeta funksiyonu temsil eden seridir. Ancak bu serinin yakınsaması sadece s-n değeri birden büyük ise mümkün olmaktadır. Böylece zeta dağılımı için moment

m_n =\left\{
\begin{matrix}
\zeta(s-n)/\zeta(s) & \textrm{for}~n < s-1 \\
\infty & \textrm{for}~n \ge s-1
\end{matrix}
\right.

olur. Hatırlamak gerekir ki iki zeta fonksiyonunun oranı, n â‰¥ s âˆ’ 1 ifadesi için bile, çok kesin olarak tanımlanmıştır. Ama bu yine de, momentlerin seri için tanımlandığı ve bu nedenle büyük bir n deÄŸeri için tanımlanamadığı gerçeÄŸini deÄŸiÅŸtirmez'

[değiştir] Moment üreten fonksiyon

Genel olarak, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

M(t;s) = E(e^{tX}) = \frac{1}{\zeta(s)} \sum_{k=1}^\infty \frac{e^{tk}}{k^s}.

Bu seri gerçekte yalnızca bir polilogaritma'nin tanımlanmasıdır ve et < 1 için geçerlidir ve bu halde

M(t;s) = \frac{\operatorname{Li}_s(e^t)}{\zeta(s)}\text{ for }t<0.

Bu fonksiyonun bir Taylor serisi yöntemi kullanılarak genişletilmesi mutlaka bir dağılım için momentleri vermez. Genellikle, moment üreten fonksiyonlara dayanarak elde edilen momentleri kullanan Taylor serileri şu ifedeyi ortaya çıkartır:

\sum_{n=0}^\infty \frac{m_n t^n}{n!},

Bu ifade, büyük n değerleri icin momentlerin sonsuz olduğu gerçeği göz önüne getirilirse, besbellidir ki herhangi bir snin sonsuz olmayan değeri icin kesin olarak tanımlanamaz. Momentler yerine analitik olarak sürekli terimleri kullanırsak, polilogaritmayi temsil eden seriden

\scriptstyle |t|\,<\,2\pi

için şu ifadeyi elde ederiz:

\frac{1}{\zeta(s)}\sum_{n=0,n\ne s-1}^\infty \frac{\zeta(s-n)}{n!}\,t^n=\frac{\operatorname{Li}_s(e^t)-\Phi(s,t)}{\zeta(s)}

\scriptstyle\Phi(s,t) değeri şöyle verilir

\Phi(s,t)=\Gamma(1-s)(-t)^{s-1}\text{ for }s\ne 1,2,3\ldots
\Phi(s,t)=\frac{t^{s-1}}{(s-1)!}\left[H_s-\ln(-t)\right]\text{ for }s=2,3,4\ldots
\Phi(s,t)=-\ln(-t)\text{ for }s=1,\,

burada Hs bir harmonik sayı olur.

[deÄŸiÅŸtir] s=1 hali

Harmonik seri olduğu için ζ(1) sonsuz değerdedir ve bu nedenle s=1 olma hali anlamlı değildir. Ama eğer A yoğunluğu bulunan herhangi bir pozitif tamsayılar seti ise yani

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{N(A,n)}{n}

var olmakta ise ve burada N(An) A seti içinde bulunan ve n değerine eşit veya bu değerden daha küçük set elemanlarının sayısı ise, şu ifade

\lim_{s\rightarrow 1+}P(X\in A)\,

bu yoÄŸunluÄŸa eÅŸittir.

Bazı hallerde A için yoÄŸunluk yok olması nedeniyle verilen ikinci sınır geçerli olur. Örnegin, eÄŸer A birinci tamsayısı ;d olan bütün pozitif tamsayıların bir seti ise, A için bir yoÄŸunluk bulunmaz. Ancak bu halde bile yukarıda verilen ikinci sınırlama gecerli olur ve bu sınırlama ÅŸu ifadeye oranlıdır:

\log(d+1) - \log(d),\,

Buna benzer yöntem aynen Benford'un savının geliştirilmesi için de kullanılır.

[değiştir] İçsel kaynaklar

Diğer güç-savı dağılımları şunlardır:

[deÄŸiÅŸtir] Kaynak

[değiştir] Dışsal bağlantılar

Some remarks on the Riemann zeta distribution by Allan Gut. Gut'un “Reieman zeta dağılımı” olarak andıgı X bir rassal deÄŸisken olarak −log X, ifadesinin dağılımıdır. Bu kavram genellikle ve bu maddede zeta dağılımı olarak anılmaktadır.


aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -