Izrek o povprečni vrednosti

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Za vsako funkcijo, ki je zvezna na [a, b] in odvedljiva na (a, b), obstaja neka točka c na odprtem intervalu (a, b), da je sekanta, ki povezuje obe končni točki intervala [a, b], vzporedna tangenti v c.

Izrèk o povpréčni vrédnosti (tudi Lagrangeev izrèk ali izrèk o kônčnem prirástku fúnkcije) je v matematični analizi izrek, ki pravi, da v danem odseku gladke krivulje obstaja točka, v kateri je odvod (nagib) krivulje enak »povprečnemu« odvodu intervala. Izrek se uporablja pri dokazovanju izrekov, ki obravnavajo funkcije na intervalu.

Izrek lahko razumemo tudi s pomočjo gibanja. Če avtomobil prepotuje v eni uri 100 km in je njegova povprečna hitrost enaka 100 km/h, potem je morala biti v nekem trenutku njegova trenutna hitrost enaka natačno 100 km/h.

Izrek je prvi razvil Joseph-Louis de Lagrange in se imenuje tudi po njem.

[uredi] Formalna izjava

Naj je funkcija y = f(x) v zaprtem intervalu [a,b] zvezna in v odprtem intervalu (a,b) odvedljiva. Tedaj obstaja vsaj eno takšno število ξ med a in b, da je:

Če pišemo drugače, b = a + h in označimo s število med 0 in 1:

Posplošitev Lagrangeevega izreka je Taylorjev izrek.

[uredi] Dokaz

Ta matematični članek je škrbina. Pomagaj Wikipediji in ga razširi.