Lagrange'i keskväärtusteoreem
Allikas: Vikipeedia
Lagrange'i keskväärtusteoreem on üks matemaatilise analüüsi põhilisi tulemusi. Kõlab ta järgnevalt: kui funktsioon f on pidev lõigus [a,b] ning tal leidub lõplik tuletis vahemikus (a,b), siis leidub nii, et .
Sisukord |
[redigeeri] Tõlgendusi
[redigeeri] Geomeetriline tõlgendus
Geomeetriliselt ütleb Lagrange'i keskväärtusteoreem, et kui funktsioon f on pidev mingis lõigus [a,b] ning diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub a ja b vahel niisugune arv c, et funktsiooni f graafiku puutuja kohal c on paralleelne punkte (a,f(a)) ning (b,f(b)) läbiva lõikajaga.
[redigeeri] Füüsikaline tõlgendus
Lagrange'i keskväärtusteoreemi eeldustel leidub niisugune , et funktsiooni f väärtuse muutumise kiiruseks punktis c on teatavas mõttes funktsiooni f väärtuse keskmine muutumise kiirus lõigus [a,b]. Olgu näiteks funktsiooniks f auto läbitud teepikkuse sõltuvus ajast. Eeldame, et autol on igal ajahetkel olemas lõplik hetkkiirus (s. t. funktsioon f on kõikjal diferentseeruv; diferentseeruvusest järeldub ka pidevus). Lagrange'i keskväärtusteoreem ütleb nüüd, et kui auto keskmine kiirus teekonna jooksul oli 60 km/h, siis mingil ajahetkel selle teekonna jooksul oli auto hetkkiiruseks 60 km/h.
[redigeeri] Tõestus
Olgu täidetud Lagrange'i keskväärtusteoreemi eeldused. Määratleme lõigus [a,b] uue funktsiooni . Paneme tähele, et siis g(a) = g(b) ning funktsioon g on lõigus [a,b] pidev ja omab vahemikus (a,b) lõplikku tuletist, kusjuures iga korral . Rolle'i teoreemi põhjal leidub seega nii, et g'(c) = 0 ehk , m. o. t. t.