中值定理
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[编辑] 微分中值定理
微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，又（统）称为微分学基本定理、有限改变量定理或有限增量定理，是微分学的基本定理之一，内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。
[编辑] 拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。
[编辑] 内容
如果函数f(x)满足
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式
成立。
[编辑] 证明
令 
。那么
- g 在 [a,b] 上连续，
- g 在 (a,b) 上可导，
- g(a) = g(b) = 0。
由罗尔定理，存在一点 
，使得 g'(ξ) = 0。即 
。
[编辑] 积分中值定理
积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等（严格表述在下面）。
[编辑] 积分第一中值定理
设 ![f:[a,b]\rightarrow \mathbf R](../../../../math/6/3/f/63faa29e7424e4f0bb11573e77db61f1.png)
为一连续函数，![g:[a,b]\rightarrow \mathbf R](../../../../math/1/7/f/17fcc207ca60db3468a647c7a3436214.png)
为一正的可积函数，那么存在一点 ![\xi\in [a,b]](../../../../math/f/8/3/f83ba3f626ed0ec9d1df2f3139d398d0.png)
使得
。
[编辑] 证明
因为 f 是闭区间上的连续函数，f 取得最大值 M 和最小值 m。于是
。
对不等式求积分，我们有
。
若 
，则 
。ξ 可取 [a,b] 上任一点。
设 
，那么
。
因为 
是连续函数，则必存在一点 ，使得
。
[编辑] 积分第二中值定理
积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立，却又是更精细的积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel 反常 Rieman 积分判别法。
[编辑] 内容
若f,g在[a,b]上Rieman 可积且f(x)在[a,b]上单调，则存在[a,b]上的点ξ使
[编辑] 退化态的几何意义
令g(x)=x，则原公式可化为：
进而导出：
}-
此时易得其几何意义为：
