Lagrange-féle középértéktétel
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.
A Lagrange-féle középértéktétel a matematika, ezen belül az analízis egyik fontos tétele.
[szerkesztés] A tétel állítása
Ha f folytonos függvény a zárt [a,b] intervallumban és differenciálható a nyílt (a,b) intervallumban, akkor van olyan a < c < b szám, amire
teljesül.
[szerkesztés] Bizonyítás
A tételt visszavezetjük speciális esetére, Rolle tételére. Legyen -re
A g függvény nyilván folytonos az [a,b] intervallumban és a belső pontokban
Továbbá
Alkalmazhatjuk tehát Rolle tételét és kapjuk, hogy van olyan c pont amire g'(c) = 0, azaz
[szerkesztés] Általánosítás
A Lagrange-féle középértéktétel általánosítása a Cauchy-féle középértéktétel.