Equação de Riccati
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A Equação de Riccati, cujo nome é uma homenagem ao Conde Jacopo Francesco Riccati, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:
. | (0.1) |
em que , e são funções contínuas num intervalo e em .
[editar] História
Na noite de ano novo de 1720, o Conde Jacopo Riccati, nobre que vivia na República de Veneza, escreveu uma carta a seu amigo Giovanni Rizzetti,onde propunha duas novas equações diferenciais:
(0.2) |
(0.3) |
sendo e constantes e a variável independente. Foi provavelmente o primeiro documento contendo as formas iniciais da Equação de Riccati. Até então, o principal interesse de Riccati na área de equações diferenciais era nos métodos de solução por separação de variáveis. Possivelmente seu interesse por equações tenha se originado a partir da leitura do livro De constructione aequationum differentialium primi gradus, de Gabriele Manfredi, impresso em Bologna em 1707 (Manfredi ocupou a Cátedra de Matemática na Universidade de Bolonha por vários anos). Com relação a equação que leva o seu nome, inicialmente a atenção de Riccati estava voltada para o seguinte problema de natureza geométrica:
- Suponha que um ponto de coordenadas descreva uma trajetória no plano submetida às equações lineares simultâneas de primeira ordem
A questão que Riccati se propôs foi a de determinar o coeficiente angular da reta tangente a cada ponto da trajetória do ponto
Para solucionar o problema, Riccati teve de resolver preliminarmente a equação de coeficientes constantes , a qual é normalmente referida como Equação de Riccati de coeficientes constantes. Entretanto o próprio Riccati considerou equações com coeficientes tanto constantes quanto variáveis,com especial atenção devotada a (0.2) e (0.3), bem como a e apresentou diversos métodos para obtenção de soluções para elas.