Equação diferencial linear

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Uma equação diferencial linear é uma equação diferencial da forma

$a_n(x) \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x)\,\!$ .

(0.1)

Dizem-se lineares porque todos os coeficientes são funções de $x$ e a função $y$ e as suas derivadas têm todas expoente 1 (ou 0). Uma equação diferencial não linear é, por exemplo,

$\left ( \frac{d^2y}{dx^2} \right )^3 - 2xy = 1$ .

Alguns casos particulares:

Quando g(x) = 0, a equação é chamada de equação diferencial linear homogênea.
Quando a_i(x) forem funções constantes, a equação é chamada de equação diferencial linear com coeficientes constantes.

Índice

1 Equação diferencial linear de ordem 1
- 1.1 Desenvolvimento
- 1.2 Exemplo
2 Equação diferencial linear de ordem n
- 2.1 Problema de condições iniciais
  - 2.1.1 Teorema
  - 2.1.2 Exemplo
- 2.2 Problema de condições de fronteira
  - 2.2.1 Exemplo
3 Ver também

[editar] Equação diferencial linear de ordem 1

A equação diferencial linear (0.1) diz-se de ordem n, supondo $a_n(x) \ne 0$ , visto ser $n$ a ordem mais elevada das derivadas de y que figuram na equação.

Para $n = 1$ , a equação (0.1) fica

$a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x)$ .

(0.2)

Temos neste caso uma equação diferencial de primeira ordem.

[editar] Desenvolvimento

Dividindo ambos os membros por $a 1 (x)$ , obtém-se uma equação da forma

$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ .

(0.3)

Na equação (0.3) supõe-se que $P (x)$ e $Q (x)$ são contínuas num certo intervalo $I$ , onde pretendemos encontrar a solução geral da equação.

Multiplicando ambos os membros da equação por $e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}$ obtém-se a seguinte equação equivalente:

$e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}\frac {dy}{dx} + e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}P(x)y = e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x)$ .

(0.4)

À expressão $e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}$ chama-se factor integrante. Deve-se notar que, como $\int_{}^{} P(x)\ dx\,$ gera uma expressão da forma $P_1(x) + C\,$ , pode-se escolher qualquer constante C para o factor integrante (escolhe-se o que gera a solução mais simples).

Vamos mostrar que a solução geral de (0.3) é dada por

$e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}y = \int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x)\,dx + C$ .

(0.5)

Com efeito, (0.4) é equivalente a

$\frac{d}{dx} \left [ ye^{\int_{}^{} P(x)\,dx} \right ] = e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x)$ .

(0.6)

(Verifique, derivando o primeiro membro de (0.6).) Integrando, obtém-se (0.5). Conclui-se assim que toda a solução $y$ de (0.3) satisfaz (0.6). Por outro lado é fácil ver que toda a função $y$ nas condições de (0.5), i.e., tal que

$y = e^{-\int_{}^{} P(x)\,dx} \int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx} Q(x)\,dx + Ce^{-\int_{}^{} P(x)\,dx}$ ,

(0.7)

é solução da equação diferencial (0.3). (Derive $y$ , ou seja, o segundo membro de (0.7), e substitua $y$ e $y'$ em (0.3)).

[editar] Exemplo

Considere a equação diferencial

$y' + 2y = e^{2x}\,\!$ .

(0.8)

Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Comparando com (0.3),

$P(x) = 2\,\!$ e $Q(x)=e^{2x}\,\!$ .

$\int_{}^{} P(x)dx = \int_{}^{} 2dx = 2x + C$ .

A solução geral da equação é dada por

$e^{2x}y = \int_{}^{} e^{2x}e^{2x}\,dx + C$ ,

donde se obtém

$e^{2x}y = \int_{}^{} e^{4x}\,dx + C$ ,

i.e.,

$e^{2x}y = \frac {e^{4x}}{4} + C$ .

A solução geral (explícita) da equação (0.8) é então

$y = \frac {e^{2x}}{4} + Ce^{-2x}$ .

[editar] Equação diferencial linear de ordem n

Uma equação diferencial linear de ordem n é uma equação diferencial da forma

$a_n(x) \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x)$ .

(0.1)

[editar] Problema de condições iniciais

Um problema do tipo

Resolva:	$a_n(x) \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x)$
Sujeita a:	$y(x_0) = y_o\,\!$ , $y'(x_o) = y_0'\,\!$ , ..., $y^{(n-1)}(x_o) = y_0^{(n-1)}\,\!$ ,	(0.2)

onde $y_0, y'_0, ..., y_0^{(n-1)}$ são constantes arbitrárias, diz-se um problema de condições iniciais. O teorema seguinte dá condições suficientes para a existência de uma solução única para (0.2).

[editar] Teorema

Sejam $a n (x), a n - 1 (x),..., a 1 (x), a 0 (x)$ e $g (x)$ contínuas num intervalo $I$ e seja $a_n(x) \ne 0$ para todo o $x \in I$ . Se $x = x 0$ é um ponto de $I$ então a solução $y (x)$ do problema de valores iniciais (0.2) existe em $I$ e é única.

[editar] Exemplo

Considere o problema de determinar a solução de

y'' = x

, sujeita às condições iniciais

y (0) = 0

y'(0) = 2

(0.3)

A equação diferencial $y'' = x$ resolve-se facilmente integrando duas vezes:

$y' = \frac {x^2}{2} + C_1$ ,

e, portanto,

$y = \frac {x^3}{6} + C_1x + C_2$ ,

é a solução geral da equação diferencial. Como pretendemos $y (0) = 0$ e $y'(0) = 2$ , fica

$0 = \frac {0^3}{6} + C_1 \cdot 0 + C_2$ e $2 = \frac {0^2}{2} + C_1$ ,

ou seja,

$C 1 = 2$ e $C 2 = 0$ .

Logo a solução do problema é

$y = \frac {x^3}{6} + 2x$ .

[editar] Problema de condições de fronteira

Um problema da forma

Resolva:	$a_n(x) \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x)$
Sujeita a:	$y(a_0) = b_o\,\!$ , $y(a_1) = b_1'\,\!$ , ..., $y(a_k) = b_k\,\!$ ,	(0.4)