معادلة تفاضلية خطية
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
في الرياضيات، المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة n هي معادلة من الشكل العام
حيث و هي توابع (أو دالات ) معلومة وحيث ، و هو تابع مجهول وايجاد هذا التابع هو بمثابة حل لهذه المعادلة حيث هنا يكمن محور بحث نطرية المعادلات التفاضلية بشكل عام.
عندما تسمى المعادلة بالمتجانسة Homogeneous حيث ايجاد حل المعادلة المتجانسة هو خطوة أولى نحو الحل العام للمعادلة اللامتجانسة.
عندما تكون المعاملات مجرد أعداد نقول أن المعادلة هي ذات معاملات ثابته.
[تحرير] تمثيلات أخرى
أحياناً قد يمثل الشكل العام للمعادلة (1) بطريقة أخرى حيث نستبدل المعامل التفاضلي من الدرجة i بالرمز Di أي
وتصبح المعادلة (1) كالتالي
أو
[تحرير] حل المعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة
هذه المعادلة هي من الشكل
وتحل باستخدام الوسيط
فنحصل على معادلة جبرية من الشكل لها عدد n من الحلول
يقابلها نفس العدد من الحلول للمعادلة التفاضلية
من الممكن برهنة أن هذه الحلول مستقلة خطياً. فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة من الشكل
حيث قد تكون أعدادا أو دالات.