Método de Runge-Kutta

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Em análise numérica, os métodos de Runge–Kutta formam uma família importante de metódos iterativos implícitos e explícitos para a resolução numérica (aproximação) de soluções de equações diferenciais ordinárias. Estas técnicas foram desenvolvidas por volta de 1900 pelos matemáticos C. Runge e M.W. Kutta

Veja o artigo sobre equações diferenciais ordinárias numéricas para maior entendimento e para outros métodos. Veja ainda a lista de métodos Runge-Kutta.

Trata-se de um método por etapas que tem a seguinte expressão genérica:

$u^{n+1} = u^n + \Delta t \sum_{i=1}^e b_ik_i$ ,

onde

$k_i=F(u^n + \Delta t \sum_{j=i}^e a_{ij}k_j ; t_n + c_i\Delta t)$ $i = 1,..., e$

com $a i j, b i, c i$ constantes próprias do esquema numérico. Os esquemas Runge-Kutta podem ser explícitos ou implícitos dependendo das constantes $a i j$ do esquema. Se esta matriz é triangular inferior com todos os elementos da diagonal principal iguais a zero; quer dizer, $a i j = 0$ para $j = i,..., e$ , os esquemas são explícitos.

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O método de runge-kutta é muitas vezes confundido com o metodo "predictor-corrector"sendo este o resultado da junção do método dos trapézios e do método de Euler.

Índice

1 O método Runge–Kutta clássico de quarta ordem
2 Métodos Runge–Kutta explícitos
- 2.1 Exemplos
3 Uso
4 Ligações externas
5 Referências

[editar] O método Runge–Kutta clássico de quarta ordem

Um membro da família de métodos Runge–Kutta é usado com tanta frequência que costuma receber o nome de "RK4" ou simplesmente "o método Runge–Kutta".

Seja um problema de valor inicial (PVI) especificado como segue:

$y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0.$

Então o método RK4 para este problema é dado pelas seguintes equações:

$\begin{align} y_{n+1} &= y_n + {h \over 6} \left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right) \\ t_{n+1} &= t_n + h \\ \end{align}$

onde $y n + 1$ é a aproximação por RK4 de $y (t n + 1)$ , e

$\begin{align} k_1 &= f \left( t_n, y_n \right) \\ k_2 &= f \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {h \over 2} k_1\right) \\ k_3 &= f \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {h \over 2} k_2\right) \\ k_4 &= f \left( t_n + h, y_n + h k_3 \right) \\ \end{align}$

Então, o próximo valor (y_n+1) é determinado pelo valor atual (y_n) somado com o produto do tamanho do intervalo (h) e uma inclinação estimada. A inclinação é uma média ponderada de inclinações:

k₁ é a inclinação no início do intervalo;
k₂ é a inclinação no ponto médio do intervalo, usando a inclinação k₁ para determinar o valor de y no ponto t_n + h/2 através do método de Euler;
k₃ é novamente a inclinação no ponto médio do intervalo, mas agora usando a inclinação k₂ para determinar o valor de y;
k₄ é a inclinação no final do intervalo, com seu valor y determinado usando k₃.

Ao fazer a média das quatro inclinações, um peso maior é dado para as inclinações no ponto médio:

$\mbox{inclinacao} = \frac{k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4}{6}.$

O método RK4 é um método de quarta ordem, significando que o erro por passo é da ordem de h⁵, enquanto o erro total acumulado tem ordem h⁴.

Note que as fórmulas acima são válidas tanto para funções escalares quanto para funções vetoriais (ou seja, quando y pode ser um vetor e $f$ um operador). Por exemplo, pode-se integrar a equação de Schrödinger usando o operador Hamiltoniano como função $f$ .

[editar] Métodos Runge–Kutta explícitos

A família de métodos Runge–Kutta explícitos é uma generalização do método RK4 mencionado acima.

Ela é dada por

$y_{n+1} = y_n + h\sum_{i=1}^s b_i k_i,$

onde

$k_1 = f(t_n, y_n), \,$

$k_2 = f(t_n+c_2h, y_n+a_{21}hk_1), \,$

$k_3 = f(t_n+c_3h, y_n+a_{31}hk_1+a_{32}hk_2), \,$

$\vdots$

$k_s = f(t_n+c_sh, y_n+a_{s1}hk_1+a_{s2}hk_2+\cdots+a_{s,s-1}hk_{s-1}).$

(Nota: as equações acima têm definições diferentes em diferentes textos, apesar de equivalentes).

Para especificar um método em particular, é necessário fornecer o inteiro s (número de estágios), e os coeficiêntes a_ij (para 1 ≤ j < i ≤ s), b_i (para i = 1, 2, ..., s) e c_i (para i = 2, 3, ..., s). Esses dados são geralmente dispostos de forma mnemônica, conhecida como matriz de Butcher (de John C. Butcher):

0
$c 2$	$a 21$
$c 3$	$a 31$	$a 32$
$\vdots$	$\vdots$		$\ddots$
$c s$	$a s 1$	$a s 2$	$\cdots$	$a s, s - 1$
	$b 1$	$b 2$	$\cdots$	$b s - 1$	$b s$

O método Runge–Kutta é consistente se

$\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = c_i\ \mathrm{for}\ i=2, \ldots, s.$

Existem ainda exigências extras se for imposto que o método tenha certa ordem p, significando que o erro de truncamento é O(h^p+1). Tais condições podem ser deduzida da própria definição de erro de truncamento. Por exemplo, um método de 2 estágios tem ordem 2 se b₁ + b₂ = 1, b₂c₂ = 1/2, e b₂a₂₁ = 1/2.

[editar] Exemplos

O método RK4 se enquadra nesta categoria. Seu tableau é:

0
1/2	1/2
1/2	0	1/2
1	0	0	1
	1/6	1/3	1/3	1/6

No entanto, o método Runge–Kutta mais simples é o (forward) Euler, dado pela fórmula $y n + 1 = y n + h f (t n, y n)$ . Este é o único método Runge–Kutta explícito de um estágio que é consistente. A tableau correspondente é:

	0
		1

Um exemplo de um método de segunda ordem com dois estágios é o método do ponto médio (midpoint method, em inglês)

$y_{n+1} = y_n + hf\left(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}f(t_n, y_n)\right).$

A tableau correspondente é:

0
1/2	1/2
	0	1

Note que este método do 'ponto médio' não é o método RK2 ótimo. Uma alternativa é fornecida pelo método de Heun, onde os 1/2's da tableau acima são simplesmente substituídos por 1's. Caso se queira minimizar o erro de truncamento, o método abaixo deve ser utilizado (Atkinson p. 423). Outros métodos importantes são Fehlberg, Cash-Karp e Dormand-Prince. Leia ainda, o artigo sobre tamanho de passo Adaptativo.

[editar] Uso

O que segue é um exemplo de uso de um método Runge–Kutta explícito de dois estágios:

0
2/3	2/3
	1/4	3/4

para resolver o problema de valor inicial

$y' = (\tan{y})+1,\quad y(1)=1,\ t\in [1, 1.1]$

com tamanho de passo h=0.025.

A tableau acima gera as seguintes equações equivalentes que definem o método:

$k_1 = y_n \,$

$k_2 = y_n + 2/3hf(t_n, k_1) \,$

$y_{n+1} = y_n + h(1/4f(t_n,k_1)+3/4f(t_n+2/3h,k_2))\,$

$t 0 = 1$
	$y 0 = 1$
$t 1 = 1.025$
	$k 1 = y 0 = 1$	$f (t 0, k 1) = 2.557407725$	$k 2 = y 0 + 2 / 3 h f (t 0, k 1) = 1.042623462$
	$y 1 = y 0 + h (1 / 4 * f (t 0, k 1) + 3 / 4 * f (t 0 + 2 / 3 h, k 2)) = 1.066869388$
$t 2 = 1.05$
	$k 1 = y 1 = 1.066869388$	$f (t 1, k 1) = 2.813524695$	$k 2 = y 1 + 2 / 3 h f (t 1, k 1) = 1.113761467$
	$y 2 = y 1 + h (1 / 4 * f (t 1, k 1) + 3 / 4 * f (t 1 + 2 / 3 h, k 2)) = 1.141332181$
$t 3 = 1.075$
	$k 1 = y 2 = 1.141332181$	$f (t 2, k 1) = 3.183536647$	$k 2 = y 2 + 2 / 3 h f (t 2, k 1) = 1.194391125$
	$y 3 = y 2 + h (1 / 4 * f (t 2, k 1) + 3 / 4 * f (t 2 + 2 / 3 h, k 2)) = 1.227417567$
$t 4 = 1.1$
	$k 1 = y 3 = 1.227417567$	$f (t 3, k 1) = 3.796866512$	$k 2 = y 3 + 2 / 3 h f (t 3, k 1) = 1.290698676$
	$y 4 = y 3 + h (1 / 4 * f (t 3, k 1) + 3 / 4 * f (t 3 + 2 / 3 h, k 2)) = 1.335079087$

As soluções numéricas correspondem aos valores sublinhados. Note que $f (t i, k 1)$ foi calculado evitando refazer os cálculos em $y i$ s.

[editar] Ligações externas

[editar] Referências

J. C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations, ISBN 0471967580
George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 6.)
Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.)
Runge-Kutta 4th-order method textbook notes, PPT, Matlab Mathematica Maple Mathcad at Holistic Numerical Methods Institute
Kendall E. Atkinson. An Introduction to Numerical Analysis. John Wiley & Sons - 1989
F. Cellier, E. Kofman. Continuous System Simulation. Springer Verlag, 2006. ISBN 0-387-26102-8.

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