Метод Рунге — Кутты
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Методы Рунге — Кутты[1] — важное семейство численных алгоритмов решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Данные итеративные методы явного и неявного приближенного вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.
[править] Классический метод Рунге — Кутты 4 порядка
Метод Рунге — Кутты 4 порядка столь широко распространен, что его часто называют просто метод Рунге — Кутты.
Рассмотрим задачу Коши . Тогда значение в следующей точке вычисляется по формуле:
где
- — величина шага сетки по .
Этот метод имеет 4 порядок, т.е. ошибка на каждом шаге составляет O(h5), а суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования O(h4).
[править] Прямые методы Рунге — Кутты
Семейство прямых методов Рунге — Кутты является обобщением метода Рунге — Кутты 4 порядка. Оно задается формулами
где
Конкретный метод определяется числом s и коэффициентами bi,aij и ci. Эти коэффициенты часто упорядочивают в таблицу
0 | ||||||
c2 | a21 | |||||
c3 | a31 | a32 | ||||
cs | as1 | as2 | as,s − 1 | |||
b1 | b2 | bs − 1 | bs |
Для коэффициентов метода Рунге — Кутты должны быть выполнены условия для . Если мы хотим, чтобы метод имел порядок p, то следует так же обеспечить условие , где — приближение полученное по методу Рунге — Кутты. После многократного дифференцирования это условие преобразуется в систему полиномиальных уравнений на коэффициенты метода.
[править] Примечания
- ↑ Правильно на русском языке название методов будет звучать именно «Методы Рунге — Кутты», т.к. фамилия последнего автора заканчивается на гласную «а» в им. падеже и соотвественно склоняется гласной «ы» в родительном.