Geometrìa

Test an lenga piemontèisa

La geometrìa a l'é un-a dle branche fondamentaj dla matemàtica. As trata 'd na dissiplin-a che, almanch an soa anspirassion, a formalisa dle proprietà spassiaj.

[modìfica] J'orìgin

Sò nòm a ven da la paròla greca γεωμετρείν ch'a veul dì mzuré la tèra. Costa dissiplin-a a l'é donca dësvlupasse, a l'ancamin, ansima a 'd fondament fòrt empìrich (mzura dij teren, capassità dij vas, proget për fé dij canaj e via fòrt) e a l'ha goernà për bomben ëd temp sò caràter ëd conossensa pràtica. Për cost but a son ëstàite dësvlupà vàire técniche e a son ëstàit fàit vàire cont da babilonèis, egissian, indian. Për esempi, un dij but dla geometrìa egissia a l'era dë mzuré l'estension dij camp dij paisan (ch'a cangiavo con j'inondassion dël Nil), për podèj calcolé le taje. Ant ël papir ëd Rhind a l'é contnù ël lìber dij cont, anté ch'a son ësmonù le régole pr'ëmzuré ij camp quadrangolar e triangolar, nossion ëd cont con le frassion e truch pràtich për la mzura ëd chèich sòlid.
Tutun, le testimonianse rivane da le siviltà egissia e assir-babilonèisa an sugerisso che costi pòpoj a l'avìo ëd conossense geométriche, bin ëspantià e detajà, pà mach ëd caràter empìrich. Parèj, an sij papir egissian e le taulëtte ëd crèja babilonèise, da banda dl'arzolussion ëd problema pràtich, as treuvo le prime aprossimassion dël rapòrt π antra na sirconferensa e sò diàmeter e le prime formolassion dël teorema ëd Pitàgora.

[modìfica] La geometrìa clàssica

A l'é bel fé che la geometrìa egissia e babilonèisa a sia stàita për vàire temp ël patrimòni pì grand dle conossense dl'umanità. Ëdcò la sistemassion teòrica dla geometrìa (caraterisà da n'astrassion viaman pì granda) euvra dla coltura greca, e anandià da Talete (anviron 600 aGC), a l'é debitris dle colture dlë vzin orient: ij matemàtich grech a l'han soens ancaminà soa atività sientìfica con dij viage dë studi an orient.
Fin-a Pitàgora a l'era vnù a conossensa da l'Egit dl'esistensa ëd triàngoj retàngoj con ij lat ant la proporsion 3:4:5.
Pròpe con Pitàgora e soa scòla a ancamin-a ël process ëd separassion progressiva dla geometrìa daj sò contnù concret e empìrich, pr'ëdventé na siensa astrata ch'a studia le relassion antra forme geométriche e nùmer. Ës process a riva a sò compiment con lë spantiesse dla filosofìa platònica ant la coltura greca: la matemàtica, e an particolar la geometrìa, a dventa teritòri d'arserca ëd teorìe astrate elegante e rigorose, ch'a l'han pr'oget le proprietà dle figure eterne e sensa còrp.

L'elegansa e l'armonìa dij rapòrt antra le forme a dvento d'element fondamentaj dla geometrìa, an fasend intré ant la matemàtica dij criteri estétich ch'a son bin present al di d'ancheuj.

[modìfica] La geometrìa uclidéa

Anviron dël 500 aGC a l'é ancaminà ën progress fassinant: dij pensator grech a l'han tirà fòra da la conossensa geométrica corenta n'ansem ëd definission, postulà e assiòma e a l'han mostrà che da sòn as podìa derivesse tut ël còrp dla geometrìa.

Antra coj che a l'han dàit na contribussion pì gròssa a la geometrìa clàssica a-i son Eudòss e Uclid.
Ël prim, astrònom an dzorpì che geòmetra, a l'ha dësvlupà ëd técniche originaj ëd retificassion dj'arch e ëd quadradura dle surfasse (métod d'esaustion) ch'a trovran con Archimede soa realisassion pien-a. A l'ha ëdcò costruì na teorìa general dle proporsion antra grandësse.
Ël process d'astrassion a l'ha mnà a la redassion dij tërdes lìber dj'Element d'Uclid (scrivù antra 'l 330 e ël 320 aGC), dont ij prim ses a trato dla geometrìa pian-a, ij darié tre dla geometrìa sòlida. Ambelessì, Uclid a l'ha archujì e smonù le conossense geométriche dël temp conforma a 'n métod ch'a l'é restà për vàire sécoj ël model pì vajant d'organisassion dle teorìe matemàtiche. Sòn a l'é lòn ch'as ciama geometrìa uclidéa.
An efet, la geometrìa d'Uclid a l'é costruìa a parte da na quantità limità (vintetré) ëd definission, sinch postulà e sinch nossion comun-e. Le prime a rësguardo j'ent geométrich primitiv; ij second a son d'enonsià a propòsit ëd costi ent. Le nossion comun-e a son considerà da Uclid tanme enonsià 'd caràter general, evident për tuti.
Tuti j'àutri teorema dla geometrìa a son dimostrà da Uclid për mojen ëd na caden-a ëd dedussion sucessive, costruìa a parte daj postulà e daj teorema già dimostrà.

La geometrìa, organisà parèj, a l'é restà për vàire sécoj ël model ëd tuta teorìa ipotétich-dedutiva e minca anàlisi crìtica dla geométria uclidéa a l'é arduvusse, già d'antlora, a n'anàlisi dij sò postulà, dzortut ël quint (ël postulà dle paralele).
Tutun na crìtica pì moderna a l'ha evidensià ëdcò d'àutri postulà dovrà ant ël travaj d'Uclid, bele che chiel-sì a l'abia nen fortije ëd fasson esplìcita. Antra ij postulà da gionté a-i é col dla continuità, formolà da R. Dedekind e G. Cantor (1872).

Chèich desen-e d'agn apress Uclid, ël tratà sle còniche d'Apolòni a completava ël quàder dla geometrìa greca clàssica. S'euvra-sì a l'é caraterisà da n'àut gré ëd rigor ant le dimostrassion e l'esposission.

[modìfica] L'euvra d'Archimede

Na concession neuva dla matemàtica e an particolar dla geometrìa a ven da Archimede ëd Siracusa, che già daj sò contemporani a l'era considerà tanme ël pì grand geòmetra dij temp antich. Soa atension costanta pr'ij problema técnich e pràtich a l'era për chiel ëspron e motivassion a l'elaborassion teòrica.
Për Archimede la geometrìa a resta nen mach la siensa dël righel e dël compass, ma a l'é s-ciairà ant la prospetiva pì granda d'arzolussion astrata ëd problema concret ch'a ven-o da la fìsica, la mecànica o l'astronomìa. Soe euvre a son nen dij gròss volum ëd sìntesi, parèj dij matemàtich lissandrin, ma a son pitòst d'arserche monogràfiche, memòrie sientìfiche ant ël sens modern. Si da na part soa fasson ëd dëscheurve le còse a l'era orientà da la fìsica, la geometrìa a forniva j'utiss për le dimostrassion. Parèj, an aplicand ël métod d'esaustion d'Eudòss, Archimede a l'é rivà a enonsié un bon nùmer ëd teorema an sj'àree e ij volum dle figure geométriche e a smon-e n'aprossimassion motobin bon-a ëd π.

L'euvra d'Archimede a sara na stagion motobin drùa dël pensé matemàtich.
Apress, Nicomede a l'ha ancor anventà la concòid e Diòcle la cissòid, ma tòst a l'é duvertasse un perìod ëd progressiva decadensa: an efet, la siensa dij roman a l'ha dàit gnun-e contribussion amportante al patrimòni dle conossense dla geometrìa greca, ch'a l'é rivane tramandà da j'euvre djë studios àrabo.

Lë studi dla geometrìa clàssica a l'é arpijà torna ant ël cors dij sécoj XV e XVI, soens compagnà da arflession ëd natura filosòfica o artìstica (d'esempi a son Nicolò Cusan e Pero dla Fransesca).
Giutà da l'anteresse arnassimental për la dëscuverta e la neuva publicassion dij test clàssich (vàire j'edission dj'euvre d'Uclid, Apolòni e dzortut Archimede) e da j'arserche ant l'àlgebra, a l'é mach vers la fin dël sécol ch'a fa XVI e l'ancamin ëd col ch'a fa XVII che la geometrìa a conòss un perìod d'anteresse arnovà.

[modìfica] La geometrìa ëd Descartes

Na gròssa evolussion ant la geometrìa a-i riva con René Descartes e Pierre de Fermat: l'aplicassion sistemàtica dl'àlgebra a la geometrìa, ch'a marca l'achit dla moderna geometrìa analìtica, ch'as diferensia da cola sintética për ij métod pì che për ij contnù, dagià che ant la geometrìa analìtica ij problema geométrich a son traduvù an problema algébrich. An efet, conforma a Descartes ël lengage algébrich a l'era superior a col geométrich.
Ës métod-sì a l'é stàit ësmonù për la prima vira da Descartes dël 1637 (ant La géométrie), ma a l'é stàit ëdcò anventà ant l'istess perìod e 'd fasson indipendenta da Fermat. Descartes a sot-lignava j'amplicassion filosòfiche ëd sò métod, antant che Fermat a n'apressiava pitòst soa strasordinaria potensa pràtica, an aplicand-lo a l'arserca dij màssim e mìnim ëd na curva.

L'antrodussion d'ass d'arferiment ant ël pian e ëd n'unità dë mzura an sj'ass a përmet d'assossié a minca cobia ordinà (x,y) ëd nùmer un pont an sël pian, ëd fasson bijetiva. Ël nùmer x a l'é ciamà assissa e y ordinà dël pont, paròle che an sò sens técnich a son dovrà për la prima vira da Leibniz an ël 1692 ant j'Acta eruditorum.
Descartes e Fermat a peulo donca smon-e ël concet d'equassion ëd na curva, ch'a resta l'ansem dij pont dont le coordinà a sodisfo n'equassion dla forma f(x,y)=0. A l'é donca possìbil dovré l'àlgebra 'me utiss ant l'arzolussion ëd problema ëd costrussion geométriche: lë studi dle proprietà dle curve a l'é arportà a lë studi dle proprietà algébriche dj'equassion corëspondente e 'd soe trasformassion algébriche.
Për esempi, j'equassion linear ax+by+c=0 a arpresento le rete, antant che cole ëd second gré a arpresento le còniche; le curve arpresentà da n'equassion ëd ters gré as ciamo cùbiche; cole assossià a n'equassion ëd quart gré as diso quàrtiche, e via fòrt. Për esempi, ël problema geométrich ëd sërché l'antërsession tra na reta e na cònica a corëspond a col algébrich d'arzòlve ël sistema ëd second gré formà da soe equassion.

Armarche sìmij a valo ëdcò për la geometrìa dlë spassi tridimensional. Minca pont ant lë spassi a l'é arpresentà da 'd coordinà (x,y,z); n'equassion an coste variàbij a arpresenta na surfassa. S'as trata 'd n'equassion algébrica, la surfassa a peul esse classificà conforma al gré ëd costa equassion; për esempi, le surfasse arpresentà da equassion ëd prim gré a son ij pian.

[modìfica] Spassi a pì che tre dimension

La formolassion analìtica dla geometrìa a l'ha mnà scasi ëd fasson obligà a na gròssa estension dël domini dla geometrìa. Dagià che ij pont ëd na reta a corëspondo a nùmer, che ij pont an s'un pian a peulo esse arpresentà da cobie ëd coordinà (x,y) e ij pont ëd në spassi a tre dimension da terne ëd coordinà (x,y,z), a l'é sautaje fòra la chestion dl'antërpretassion dle sequense ëd quatr coordinà e pì.
Costi concet a son arvelasse motobin dru ant ël camp ëd la matemàtica aplicà: soens ël concet dë spassi a pì che tre dimension a giuta përchè a përmet d'apliché ël lengage geométrich a problema ëd natura analìtica.

[modìfica] Problema ëd costrussion

Ël métod dla geometrìa analìtica a l'é stàit n'utiss dovrà ëdcò për classifiché ij problema ëd costrussion ardità da j'antich. Un problema ëd costrussion, cand formolà 'd fasson analìtica, a resta equivalent a l'arzolussion d'un sistema d'equassion. Na costrussion con righel e compass a l'é possìbil mach cand j'equassion corëspondente a peulo esse arzolvùe për mojen dj'operassion rassionaj (adission, sotrassion, multiplicassion, division) e dl'estrassion ëd rèis quadre.
J'equassion ch'a stan sota al problema dla duplicassion dël cubo o dla trissession ëd n'àngol a l'han da manca d'operassion irassionaj d'órdin pì grand che la rèis quadra (an efet, an tuti doi ij cas, a-i basta la rèis cùbica). Donca costi problema a son pà arzolvìbij con righel e compass.
Ël problema dla costrussion d'un polìgon regolar con n lat a l'é arzolvìbil mach cand anté che minca p_j a l'é 'n nùmer prim dla forma 2^2t + 1. Për esempi, ël problema a l'é impossìbil për n=7.

[modìfica] Element imaginari

L'antrodussion dij métod analìtich an geometrìa a l'ha ëdcò mnà a consideré ij pont dont le coordinà a son dij nùmer compless.

Antratant, a-i nassìa ël càlcol diferensial e antëgral: ël métod dle coordinà cartesian-e, dësvlupà da I. Barrow an soe Lectiones geometricae, a l'é arvelasse utiss da nen podèj fene sensa ant ij cont e fondament teòrich.
Le técniche infinitesimaj aplicà a lë studi ëd curve e surfasse a l'han ëmnà L. Euler e j'àutri matemàtich dël Set-sent ai prim arzultà ëd geometrìa diferensial, ch'as anteressa dle proprietà locaj ëd curve e surfasse. Coste idèje a l'ha fàit anventé na caterva ëd concet neuv, për esempi la curvadura ëd na curva ant un sò pont, ch'a mzura vàire che ambelelì la curva a vira, o la curvadura total ëd na surfassa.
Gauss a l'ha dësvlupà na teorìa detajà dle surfasse ant në spassi tridimensional e l'arzultà pì amportant a l'é ël theorema egregium.

Ma a l'é stàit mach mersì a l'euvra ëd G. Monge che l'aplicassion dl'anàlisi a la geometrìa a l'ha otnù na configurassion teòrica definitiva. An efet, Monge a l'ha studià la geometrìa dlë spassi për mojen dël sistema ëd coordinà: an sò cors, obligatòri për jë student ëd l'École Polytechnique, Monge a tratava le proprietà dla reta ant lë spassi, a smonìa j'equassion për ël cangiament ëd coordinà, le fórmole dla distansa d'un pont da na reta e ëd doe rete sbiese; a mostrava ëdcò a trové ij pian prinsipaj ëd na quàdrica. An soe lession dë stereotomìa (lòn che al di d'ancheuj a corëspond a la geometrìa descritiva) a smonìa sò métod ëd la dobia projession ortogonal për arpresenté n'oget ëspassial: as trata dël métod (al di d'ancheuj ordinari ant ël dissègn técnich) ëd projeté l'oget da arpresenté ansima a doi pian ortogonaj an tra 'd lor, an otnend-ne la pianta e l'aussà, an fasend peuj giré ël pian vertical dantorn a la linia d'antërsession con ël pian orisontal fin-a ch'a ven-o a basesse.
L'euvra ëd Monge, ansema a cola ëd L.N.M. Carnot a l'ancamin dël sécol ch'a fa XIX, a l'ha marcà torna l'achit d'un perìod ëd dësvlup fiamengh dj'arserche geométriche.

[modìfica] La geometrìa projetiva

Le prime formolassion bin fàite dla geometrìa projetiva a ven-o dal travaj ëd doi anlev ëd Monge e Carnot: C.J. Brianchion e J.-V. Poncelet.
Ël prim, a parte dal teorema ëd Pascal, a fortiss un teorema ch'a pòrta sò nòm: an dzorpì ëd soe conseguense, ij teorema ëd Pascal e ëd Brianchion a son n'esempi ëd teorema doaj ant la geometrìa pian-a, visadì ch'a resto vàlid si le paròle pont e reta a son anvertì antra 'd lor.
Ël prinsipi ëd doalità a l'é n'element teòrich sentral ant ël travaj ëd Poncelet, ch'a smon la prima tratassion sistemàtica ëd costa neuva forma ëd geometrìa projetiva.

Caraterìstiche ëd la neuva geometrìa a son, për esempi, la proprietà che doe rete dël pian as ancontro sempe, ant un pont al finì o a l'infinì (pont foravìa); l'antrodussion ëd pont imaginari për podèj avèj sempe n'antërsession nen veuida antra na reta e na sirconferensa; l'esistensa, për minca cobia ëd sirconferense distinte dël pian, ëd doi pont d'antërsession.

A parte daj travaj ëd Poncelet, la geometrìa projetiva a l'ha avù, ant ël cors dl'Eut-sent, un dësvlup fiamengh, an ëdventand l'ambient pì natural për feje dla geometrìa algébrica. D'àutra part, Poncelet a considerava sò travaj tanme un dësvlup particolar ëd la geometrìa sintética, visadì lë studi dle proprietà dle figure indipendent da l'aplicassion dl'àlgebra, lòn che al contrari a l'era tìpich dla geometrìa analìtica.
As tratava ëd doe metodologìe diferente, gropà ëdcò a doe vision diferente dël pensé geométrich, e dantorn a lor a l'é dësvlupasse un debà s-ciass.

[modìfica] Le geometrìe nen uclidée

Ël quint postulà d'Uclid, col dle paralele, a l'ha tirà l'atension ëd vàire matemàtich, ch'a l'han studià s'as podèissa derivé da j'àotri quatr o s'as podìa fene sensa. Costa crìtica a l'é s-ciodùa dzortut antra la fin dël Set-sent e l'ancamin dl'Eut-sent. Coma arzultà a son nassùe ëd neuve geometrìe (elìtica e iperbòlica) ch'a arfudo cost postulà. Coste a son conossùe coma geometrìe nen uclidée e a mostro la possibilità ëd sistema assiomàtich diferent da col uclidéo. Tra ij matemàtich ch'a l'han contribuì al dësvlup dle geometrìe nen uclidée a-i son N.I. Lobatchevski, J. Bolyai, C.F. Gauss, E. Beltrami.
L'impossibilità d'arcore a na verìfica empìrica dle proposission geométriche a l'é a l'adoss dl'arzistensa ëd vàire matemàtich ant ij confront dle geometrìe nen uclidée. Costa arzistensa e contrarietà a l'é smortasse con l'anvension d'un model antërpretativ uclidéo dj'enonsià dla geometrìa iperbòlica, lòn ch'a smonìa na dimostrassion ëd coerensa relativa, arportand la coerensa dla neuva geometrìa a cola dla geometrìa uclidéa.
Le geometrìe nen uclidée a l'han ëdco trovà sò pòst ant j'aplicassion: conforma a Albert Einstein, l'univers a sarìa finì e soa geometrìa elìtica.

[modìfica] La geometrìa moderna

Dnans al dësvlup ëstrasordinari dle teorìe e a soe multiplicassion, a l'é spantiasse l'anvìa d'artrové na sistemassion unitaria ch'a podèissa giustifiché le vàire teorìe e ij sò fondament.
D'àutra part, la tendensa a l'astrassion a l'ha cissà ël dësvlup ëd la geometrìa algébrica, la geometrìa riemannian-a, la topologìa.

Dòp Gauss a-i son ëstaje doe diression ëd dësvlup dla geometrìa.
La prima a l'é colegà al travaj ëd B. Riemann ch'a l'ha concepì na manera ëd generalisé la teorìa dle surfasse ëd Gauss an dimension pì grande che 2. Ij neuv ogèt a son ciamà varietà riemannian-e: soe proprietà geométriche a peulo esse esprimùe sensa avèj da manca d'arcore a la geometrìa 'd në spassi ambient. Da sòn a s-ciòd la geometrìa diferensial.
N'àotra diression a l'é stàita dësvlupà da F. Klein an dovrand ël concèt dë strop ëd trasformassion. Conforma a Klein (1872), l'ogèt dë studi dla geometrìa a son le proprietà dle figure geométriche ch'a son invariante sota l'assion d'un chèich ëstrop ëd trasformassion. Donca, an considerand diferent ëstrop ëd trasformassion as treuvo geometrìe diferente, tanme la geometrìa uclidéa, la geometrìa afin, la geometrìa projetiva. Për esempi, la geometrìa uclidéa pian-a a l'é lë studi dle proprietà dël pian ch'a resto invarià sota l'assion dlë strop dij moviment rèid dël pian (strop uclidéo); la geometrìa projetiva a l'é lë studi dle proprietà invariante rëspet a lë strop dj'operassion ëd projession e a conten tanme cas particolar la geometrìa uclidéa, cole iperbòlica e cola elìtica; la geometrìa dl'anversion a l'ha tanme trasformassion fondamentaj j'ansidite anversion rëspet a 'n sercc (geometrìa dl'anversion pian-a), o na sfera (geometrìa dl'anversion ant lë spassi), o n'iper-ësfera (an në spassi ëd pì che tre dimension); l'anàlisi dij leu a corëspond a lë strop dle trasformassion continue.
An cost proget Sophus Lie a l'ha butà le fondamenta ëd soa teorìa djë strop continuo.

[modìfica] Ij fondament dla geometrìa

Ij prim a mné në studi minussios d'ansem d'assiòma indipendent, coerent e complet për podèj fé le vàire geometrìe a son ëstàit Giuseppe Peano (1880), Moritz Pasch (1882), Mario Pieri (1899). Costi studi a son andàit anans con David Hilbert, Henri Poincaré, Oswald Veblen.

[modìfica] Utiss geométrich

Utiss geométrich a l'ero comun già daj temp antich.
Squadrëtte, righej e càliber a l'ero dovrà daj grech ant ël VI sécol aGC, 'me testimonià da artrovament navaj.
La groma, n'utiss ch'a gionzìa le fonsion dla livela, dla squadra e dël fil a piomb a l'é d'orìgin etrusca.

Al di d'ancheuj, për la costrussion ëd figure geométriche, as deuvro ëdcò d'utiss anformàtich. A-i na son dë stàtich ('me Poincaré e NonEuclid) e ëd dinàmich ('me Cabri-géomètre, miraco ël programa pì conossù, e The geometer sketchpad).