Proper forsing

Z Wikipedii

Proper forsing (własność proper pojęć forsingu) – jedna z podstawowych własności pojęć forsingu wprowadzona przez izraelskiego matematyka Saharona Shelaha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. Nazwa jest spolszczeniem angielskiego wyrażenia proper forcing.

W 1978 w czasie wykładów w Berkeley, Shelah przedstawił po raz pierwszy tę własność i jej zastosowania, w druku te idee ukazały się w 1980^[1]. W 1982, Shelah opublikował monografię^[2] przedstawiającą pierwsze systematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych.

Monografia Shelaha^[3] jest ciągle najbardziej kompletnym źródłem wiadomości o forsingach proper. Niestety, ze względu na dość specyficzny styl autora jest ona bardzo trudna dla niespecjalistów. Godnymi polecenia są natomiast artykuły Martina Goldsterna^[4] oraz Uriego Abrahama^[5].

Spis treści

1 Definicje
2 Przykłady
3 Przykładowe własności
4 Twierdzenia zachowawcze
5 Aksjomat A
- 5.1 Aksjomat Baumgartnera
- 5.2 Konsekwencje i przykłady
6 Bibliografia
7 Zobacz też

[edytuj] Definicje

W literaturze tematu funkcjonują trzy równoważne definicje pojęcia forsingów proper. Definicja teoriogrowa była opublikowana po raz pierwszy w rozprawie doktorskiej Charlsa Greya, pozostałe dwie są oryginalnymi definicjami Shelaha.

Niech ${\mathbb P}=({\mathbb P},\leq)$ będzie pojęciem forsingu.

[edytuj] Definicja kombinatoryczna

Uogólniając pojęcie zbiorów stacjonarnych wprowadzamy następujące definicje. Poniżej, dla liczby kardynalnej λ, rodzina wszystkich nieskończonych przeliczalnych podzbiorów λ jest oznaczana przez $[\lambda]^\omega\$ .

(i) Powiemy, że zbiór $X\subseteq [\lambda]^\omega$ jest nieograniczony jeśli dla każdego $y\in [\lambda]^\omega$ możemy znaleźć $x\in X$ taki że $y\subseteq x$ .

(ii) Powiemy, że zbiór $X\subseteq [\lambda]^\omega$ jest domknięty jeśli dla każdego ciągu $x_0\subseteq x_1\subseteq x_2\subseteq\ldots\subseteq x_n\subseteq\ldots$ (dla $n<\omega\$ ) elementów zbioru X mamy że $\bigcup\limits_{n<\omega}x_n\in X$ .

(iii) Zbiór $S\subseteq [\lambda]^\omega$ jest stacjonarny jeśli ma on niepusty przekrój z każdym domkniętym i nieograniczonym zbiorem $X\subseteq [\lambda]^\omega$ (tzn $S\cap X\neq\emptyset$ ).

Pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ jest proper jeśli zachowuje ono stacjonarność podzbiorów $[\lambda]^\omega\$ dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej λ. Innymi słowy, ${\mathbb P}$ jest proper jeśli dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej λ i każdego stacjonarnego zbioru $S\subseteq [\lambda]^\omega$ mamy, że $\Vdash_{\mathbb P}$ " $S$ jest stacjonarny".

[edytuj] Definicja teoriogrowa

Dla $p\in {\mathbb P}$ rozważmy następującą grę nieskończoną $\Game^{\rm proper}(p,{\mathbb P})$ długości ω. W czasie partii tej gry, dwóch graczy (Pierwszy i Druga) konstruuje ciąg $\langle \dot{\alpha}_n,\beta_n:n<\omega\rangle$ w sposób następujący. Na kroku n,

najpierw Pierwszy wybiera ${\mathbb P}$ -nazwę (term boole'owski) $\dot{\alpha}_n$ taką że $\Vdash_{\mathbb P}$ " $\dot{\alpha}_n$ jest liczbą porządkową".

Potem Druga odpowiada wybierając liczbę porządkową $\beta_n\$ .

Po skończonej partii orzekamy że Druga wygrała wtedy i tylko wtedy gdy istnieje warunek $q\leq p$ taki, że $q\Vdash_{\mathbb P}(\forall n<\omega)(\exists k<\omega)(\dot{\alpha}_n=\beta_k)$ .

Pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ jest proper jeśli dla każdego warunku $p\in {\mathbb P}$ , Druga ma strategię zwycięską w grze $\Game^{\rm proper}(p,{\mathbb P})$ .

[edytuj] Definicja oparta na warunkach generycznych

Powiemy, że zbiór $G\subseteq {\mathbb P}$ jest filtrem w ${\mathbb P}$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) $G\neq \emptyset$ ,

(ii) jeśli $p,q\in {\mathbb P}$ , $q\leq p$ oraz $q\in G$ , to również $p\in G$ ,

(iii) jeśli $p,q\in G$ , to można znaleźć $r\in G$ taki że $r\leq p$ oraz $r\leq q$ .

Zbiór $I\subseteq {\mathbb P}$ jest gęstym podzbiorem ${\mathbb P}$ jeśli $(\forall p\in {\mathbb P})(\exists q\in I)(q\leq p)$ .
Niech $χ$ będzie regularną liczbą kardynalną a ${\mathcal H}(\chi)$ będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż $χ$ . Przypuśćmy, że $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal H}(\chi),\in)$ takim, że ${\mathbb P}\in N$ . Powiemy, że warunek $q\in {\mathbb P}$ jest warunkiem $(N,{\mathbb P})$ -generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha $A\subseteq {\mathbb P}$ który należy do modelu $N$ mamy

dla każdego $r\in A$ , jeśli

r, q

są niesprzeczne, to $r\in N.$

(Przypomnijmy, że warunki

r, q

są niesprzeczne jeśli istnieje warunek $s\in {\mathbb P}$ silniejszy niż oba te warunki.)

Pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej $χ$ istnieje $x\in {\mathcal H}(\chi)$ taki, że:

jeśli

N

jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal H}(\chi),\in)$ , ${\mathbb P},x\in N$ oraz $p\in {\mathbb P}\cap N$ ,

to istnieje warunek $q\leq p$ który jest $(N,{\mathbb P})$ -generyczny.

[edytuj] Przykłady

Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu) są proper.

[edytuj] Przykładowe własności

Przypuśćmy, że pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ jest proper. Wówczas

(a) Jeśli $p\in {\mathbb P}$ oraz $\dot{\tau}$ jest ${\mathbb P}$ -nazwą taką, że $p\Vdash_{\mathbb P}\dot{\tau}:\omega\longrightarrow {\bold V}$ , to istnieją warunek $q\leq p$ oraz ciąg $\langle A_n:n<\omega\rangle$ zbiorów przeliczalnych takie, że $q\Vdash_{\mathbb P}(\forall n<\omega)(\dot{\tau}(n)\in A_n)$ .

(b) $\Vdash_{\mathbb P}$ " $\omega_1^{\bold V}$ jest liczbą kardynalną ".

Przypuśćmy, że $\bar{{\mathbb Q}}=\langle{\mathbb P}_\alpha,\dot{\mathbb Q}_\alpha:\alpha<\gamma\rangle$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi (CS iteration) taką, że dla każdego $\alpha<\gamma\$ mamy

$\Vdash_{{\mathbb P}_\alpha}$ " $\dot{\mathbb Q}_\alpha$ jest proper ".

Wówczas ${\mathbb P}_\gamma=\lim(\bar{\mathbb Q})$ jest proper.

Załóżmy CH. Przypuśćmy, że $\bar{{\mathbb Q}}=\langle{\mathbb P}_\alpha,\dot{\mathbb Q}_\alpha:\alpha<\omega_2\rangle$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego $\alpha<\omega_2\$ mamy

$\Vdash_{{\mathbb P}_\alpha}$ " $\dot{\mathbb Q}_\alpha$ jest proper mocy co najwyżej $\aleph_1$ ".

Wówczas ${\mathbb P}_{\omega_2}$ spełnia $\aleph_2$ -cc (tzn każdy antyłańcuch w ${\mathbb P}_{\omega_2}$ jest mocy co najwyżej $\aleph_1$ ) oraz $\Vdash_{{\mathbb P}_\alpha}$ " $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ " dla każdego $\alpha<\omega_2\$ .

[edytuj] Twierdzenia zachowawcze

Pozycja własności proper w teorii forsingów iterowanych jest wynikiem szeregu twierdzeń zachowaczych związanych z tą własnością.

[edytuj] Postać ogólna

Ogólny schemat twierdzeń iteracyjnych ma następującą postać. Mamy dwie własności pojęć forsingu, powiedzmy $W 1$ i $W 2$ i własność $W 1$ implikuje własność $W 2$ . Twierdzenia iteracyjne związane z tymi własnościami mogą być jednej z następujących postaci:

(a) Jeśli $\bar{{\mathbb Q}}=\langle{\mathbb P}_\alpha,\dot{\mathbb Q}_\alpha:\alpha<\gamma\rangle$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego $\alpha<\gamma\$ mamy

$\Vdash_{{\mathbb P}_\alpha}$ " $\dot{\mathbb Q}_\alpha$ jest proper i ma własność

W 1

to ${\mathbb P}_\gamma=\lim(\bar{\mathbb Q})$ jest proper i ma własność

W 2

(b) Jeśli γ jest liczbą graniczną oraz $\bar{{\mathbb Q}}=\langle{\mathbb P}_\alpha,\dot{\mathbb Q}_\alpha:\alpha<\gamma\rangle$ jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego $\alpha<\gamma\$ mamy

$\Vdash_{{\mathbb P}_\alpha}$ " $\dot{\mathbb Q}_\alpha$ jest proper" oraz ${\mathbb P}_\alpha$ ma własność

W 1

to ${\mathbb P}_\gamma=\lim(\bar{\mathbb Q})$ (jest proper i) ma własność

W 2

Jeśli własności $W 1, W 2$ są identyczne, to mówimy wówczas że mamy doczynienia z twierdzeniem zachowawczym.

[edytuj] Przykłady

Powiemy, że pojęcie forsingu ${\mathbb Q}=({\mathbb Q},\leq)$ jest $ω ω$ -ograniczające, jeśli

$\Vdash_{\mathbb Q}\big(\forall \eta\in {}^\omega\omega\big)\big(\exists \nu\in {}^\omega\omega\cap {\bold V}\big)\big(\forall n\in\omega\big)\big(\eta(n)<\nu(n)\big)$ .

Twierdzenie: Jeśli $\bar{{\mathbb Q}}=\langle{\mathbb P}_\alpha,\dot{\mathbb Q}_\alpha:\alpha<\gamma\rangle$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego $\alpha<\gamma\$ mamy

$\Vdash_{{\mathbb P}_\alpha}$ " $\dot{\mathbb Q}_\alpha$ jest proper i

ω ω

-ograniczające ",

to ${\mathbb P}_\gamma=\lim(\bar{\mathbb Q})$ jest proper i jest

ω ω

-ograniczające.

Powiemy, że pojęcie forsingu ${\mathbb Q}=({\mathbb Q},\leq)$ jest słabo $ω ω$ -ograniczające, jeśli

$\Vdash_{\mathbb Q}\big(\forall \eta\in {}^\omega\omega\big)\big(\exists \nu\in {}^\omega\omega\cap {\bold V}\big)\big(\{n\in\omega:\eta(n)<\nu(n)\}$ jest nieskończony $\big)$ .

Twierdzenie: Jeśli γ jest liczbą graniczną oraz $\bar{{\mathbb Q}}=\langle{\mathbb P}_\alpha,\dot{\mathbb Q}_\alpha:\alpha<\gamma\rangle$ jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego $\alpha<\gamma\$ mamy

$\Vdash_{{\mathbb P}_\alpha}$ " $\dot{\mathbb Q}_\alpha$ jest proper " oraz ${\mathbb P}_\alpha$ jest słabo

ω ω

-ograniczające,

to ${\mathbb P}_\gamma=\lim(\bar{\mathbb Q})$ jest proper i jest słabo

ω ω

-ograniczające.

[edytuj] Dalsza lektura

Rozdziały 6 i 18 w monografii Shelaha^[3] są najbardziej wyczerpującym przeglądem twierdzeń zachowawczych, ale bardzo jasno przedstawione szczególne przypadki tych twierdzeń można znaleźć w artykule Goldsterna^[4] i książce Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha^[6]. Warto przy tej okazji zauważyć, że w artykule Goldsterna zakłada się (ze względów technicznych), że rozważane pojęcia forsingu dodają nowe liczby rzeczywiste, a prezentacja w książce Bartoszyńskiego i Judaha zawiera pewną lukę w tym aspekcie. Wyjaśnienie problemu i przedstawienie jego rozwiązania można znaleźć w artykule Jakoba Kellnera i Martina Goldsterna^[7].

[edytuj] Aksjomat A

James E. Baumgartner^[8] wprowadził własność pojęć forsingu, która implikuje, że rozważany forsing jest proper, a której sprawdzenie w wielu przypadkach jest prostsze (czy też bardziej intuicyjne). Własność ta znana jest pod nazwą aksjomatu A lub aksjomatu Baumgartnera.

[edytuj] Aksjomat Baumgartnera

Powiemy, że pojęcie forsingu ${\mathbb P}=(\mathbb P,\leq)$ spełnia aksjomat A, jeśli istnieje ciąg porządków częściowych $(\leq_n)_{n<\omega}$ na ${\mathbb P}$ taki, że

(i) jeśli $q\leq_0 p$ , to $q\leq p$ ,

(ii) jeśli $q\leq_{n+1} p$ , to $q\leq_n p$ ,

(iii) jeśli nieskończony ciąg warunków $\langle p_n\colon n<\omega\rangle$ ma tę własność, że $p_{n+1}\leq_n p_n$ (dla wszystkich

n < ω

), to można znaleźć warunek $q \in \mathbb P$ taki, że $(\forall n<\omega) (q\leq_n p_n)$ ,

(iv) dla każdego warunku $p\in {\mathbb P}$ , liczby

n < ω

oraz maksymalnego antyłańcucha $A\subseteq {\mathbb P}$ można wybrać warunek $q\in {\mathbb P}$ taki, że $q\leq_n p$ i zbiór $\{r\in A\colon r,q$ są niesprzeczne $\,\}$ jest przeliczalny.

[edytuj] Konsekwencje i przykłady

Jeśli pojęcie forsingu $\mathbb P$ spełnia aksjomat A, to jest ono proper.
Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu spełniają aksjomat A. (W pierwszym przypadku kładziemy $\leq_n=\leq$ , a w drugim $\leq_n$ jest równością.)
Forsing Silvera spełnia aksjomat A. Przypomnijmy, że pojęcie forsingu Silvera ${\mathbb S}$ jest zdefiniowane następująco. Elementami porządku (tzn. warunkami) są funkcje $f\colon \operatorname{dom}(f) \to \omega$ takie, że $\operatorname{dom}(f)\subseteq \omega$ oraz $\omega\setminus \operatorname{dom}(f)$ jest nieskończone; porządek jest odwrotną relacją wydłużania funkcji, tzn $g\leq f$ wtedy i tylko wtedy, gdy ( $f, g\in \mathbb S$ oraz) $f\subseteq g$ .

Dla liczby naturalnej $n\in\omega$ określmy relację dwuczłonową $\leq_n$ na $\mathbb S$ w sposób następujący. Kładziemy $\leq_0=\leq$ oraz dla

n > 0

$g\leq_n f$ wtedy i tylko wtedy, gdy ( $f,g\in \mathbb S$ oraz) $g\leq f$ i jeśli $k\in \omega\setminus \operatorname{dom}(f)$ i $\left|k\setminus \operatorname{dom}(f)\right|<n$ to $k\notin \operatorname{dom}(g)$ .

Łatwo można sprawdzić, że $\leq_n$ są porządkami częściowymi na ${\mathbb S}$ zaświadczającymi, że ${\mathbb S}$ spełnia aksjomat A.

Ogólniej, pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach spełniają aksjomat A przy naturalnych warunkach^[9].

[edytuj] Bibliografia

↑ Shelah, Saharon: Independence results. "J. Symbolic Logic" 45 (1980), s. 563-573.
↑ Shelah, Saharon: Proper forcing. "Lecture Notes in Mathematics", 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ISBN 3-540-11593-5.
↑ ^3,0 ^3,1 Shelah, Saharon: Proper and improper forcing. "Perspectives in Mathematical Logic". Springer-Verlag, Berlin, 1998. ISBN 3-540-51700-6.
↑ ^4,0 ^4,1 Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). "Israel Math. Conf. Proc.", 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305-360.
↑ Abraham, Uri: Proper forcing. w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie dvi na stronie autora.
↑ Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim. Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. ISBN 1-56881-044-X
↑ Goldstern, Martin; Kellner, Jakob: New reals: can live with them, can live without them. "Math. Log. Q." 52 (2006), s. 115-124.
↑ Baumgartner, James E.: Iterated forcing, w: Surveys in set theory, pod red. A. R. D. Mathiasa. London Math. Soc. Lecture Notes Ser., 87, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1983, s. 1-59.
↑ Rosłanowski, Andrzej; Shelah, Saharon: Norms on possibilities. I. Forcing with trees and creatures. "Mem. Amer. Math. Soc." 141 (1999), no. 671, ISBN 0-8218-1180-0.

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Forsing

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Proper forsing

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicje

[edytuj] Definicja kombinatoryczna

[edytuj] Definicja teoriogrowa

[edytuj] Definicja oparta na warunkach generycznych

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Przykładowe własności

[edytuj] Twierdzenia zachowawcze

[edytuj] Postać ogólna

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Dalsza lektura

[edytuj] Aksjomat A

[edytuj] Aksjomat Baumgartnera

[edytuj] Konsekwencje i przykłady

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj