Zbiór stacjonarny
Z Wikipedii
W teorii mnogości, zbiory stacjonarne i cluby to podzbiory liczb kardynalnych (traktowanych jako liczby porządkowe) które są w pewnym sensie duże.
Spis treści |
[edytuj] Definicje
Niech κ będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną (która będziemy traktować jako początkową liczbę porządkową).
- Powiemy, że zbiór jest domknięty jeśli jest on domknięty w topologii porządkowej na κ, który to warunek jest równoważny stwierdzeniu, że dla każdej granicznej liczby α < κ mamy
- Zbiór jest nieograniczony w κ jeśli .
- Powiemy, że zbiór jest clubem w κ jeśli jest on zarówno domknięty jak i nieograniczony.
- Zbiór jest stacjonarnym podzbiorem κ, jeśli dla każdego domkniętego nieograniczonego (tzn cluba) zbioru .
- Zbiór jest niestacjonarnym podzbiorem κ, jeśli S nie jest stacjonarny, czyli gdy dla pewnego cluba .
Nazwa club jest skrótem angielskiego terminu closed and unbounded. Niektórzy autorzy używają też nazwy c.u.b. (np taka nazwa używana jest w monografii Kunena[1])
[edytuj] Własności i przykłady
Niech κ będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną.
- Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych mniejszych niż κ jest clubem, podobnie jak i zbiór wszystkich granic liczb granicznych.
- Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych α < κ o przeliczalnej współkońcowości jest stacjonarnym podzbiorem κ.
- Dla każdej funkcji, zbiór jest clubem w κ.
- Jeśli jest rodziną clubów na κ, , to przekrój też jest clubem.
- Z powyższej obserwacji wynika, że rodzina
- jest κ-zupełnym filtrem podzbiorów κ.
- Rodzina wszystkich niestacjonarnych podzbiorów κ tworzy κ-zupełny ideał podzbiorów κ.
- Lemat Fodora mówi, że jeśli S jest stacjonarnym podzbiorem κ oraz jest funkcją taką że , to funkcja f jest stała na pewnym stacjonarnym podzbiorze zbioru S. (Odwrotnie, jeśli S jest niestacjonarnym podzbiorem κ, to istnieje funkcja taka że która nie jest stała na żadnym nieograniczonym podzbiorze zbioru S.)
[edytuj] Bibliografia
- ↑ Kunen, Kenneth. Set theory. An introduction to independence proofs. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. xvi+313 pp. ISBN 0-444-85401-0