Diament Jensena
Z Wikipedii
Diament Jensena – zdanie w teorii mnogości, oznaczane przez , postulujące istnienie ciągu zbiorów przeliczalnych, który często zgaduje każdy podzbiór pierwszej nieprzeliczalnej liczby porządkowej ω1. Zdanie to jest niezależne od standardowych aksjomatów ZFC, tzn. zdania tego nie można udowodnić na gruncie tych aksjomatów, ani nie można go obalić. Ponieważ ma ono wiele ciekawych konsekwencji, jest ono traktowane przez matematyków jako dodatkowy aksjomat, który może być zakładany, jeśli wymaga tego dowód.
Zasada kombinatoryczna została wprowadzona przez amerykańskiego matematyka Ronalda Jensena. Jedną z motywacji do rozważania tego zdania jest jego prawdziwość w uniwersum konstruowalnym oraz fakt, iż wiele studiowanych wcześniej własności okazało się być konsekwencjami .
Jensen udowodnił też, że jeśli jest niesprzeczne, to niesprzeczna jest również teoria [1].
Spis treści |
[edytuj] Diament i wzmocnienie
Diament Jensena to następujące zdanie:
- Istnieje ciąg taki, że
- dla każdej liczby porządkowej α < ω1 oraz
- dla każdego zbioru , zbiór jest stacjonarny.
to zdanie:
- Istnieje ciąg taki, że
- dla każdej liczby porządkowej α < ω1, jest przeliczalną rodziną podzbiorów α oraz
- dla każdego zbioru istnieje club taki, że
- .
[edytuj] Konsekwencje i własności
Następujące twierdzenia są dowodliwe w :
- .
- Jeśli jest prawdziwy, to istnieje ω1-drzewo Suslina. Zatem, przy założeniu ,
- (a) istnieje porządek liniowy bez końców, w którym każda rodzina rozłącznych przedziałów otwartych jest przeliczalna, ale który nie zawiera żadnego przeliczalnego podzbioru gęstego;
- (b) istnieje przestrzeń topologiczna X która spełnia ccc (tzn. każda rodzina parami rozłącznych otwartych podzbiorów X jest co najwyżej przeliczalna), ale której produkt nie spełnia ccc.
- .
- .
- Jeśli jest prawdziwy, to istnieje ω1-drzewo Kurepy (z gałęziami długości ω1).
[edytuj] Bibliografia
- ↑ Devlin, Keith J.; Johnsbråten, Håvard. The Souslin problem. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 405. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1974. viii+132 pp.