Hipoteza Kurepy

Z Wikipedii

W teorii mnogości, hipoteza Kurepy to zdanie postulujące istnienie pewnych obiektów (tak zwanych drzew Kurepy). Zdanie to jest niezależne od standardowych aksjomatów ZFC, tzn zdania tego nie można udowodnić na gruncie tych aksjomatów ani nie można go obalić. Jest ono oznaczane przez KH (od angielskiego zwrotu the Kurepa Hypothesis). Czasami KH a czasami ¬KH jest użyteczną pomocą w dowodzie i w pewnych przypadkach zdania te są traktowane przez matematyków jako możliwe dodatkowe aksjomaty. (Oczywiście, zakłada się tylko jeden z nich.)

[edytuj] Definicje

Drzewo to porządek częściowy $(T,\sqsubseteq)$ taki że dla każdego $t\in T$ zbiór $\{s\in T:s\sqsubset t\}$ jest dobrze uporządkowany (przez relację $\sqsubseteq$ ).
Niech $(T,\sqsubseteq)$ będzie drzewem.

(a) Dla każdego elementu $t\in T$ określamy wysokość $ht(t)$ elementu $t$ w drzewie $T$ jako typ porządkowy zbioru $\{s\in T:s\sqsubset t\}$ .

(b) Dla każdej liczby porządkowej

α

określamy $α$ -ty poziom drzewa $T$ jako ${\rm Lev}_\alpha(T)=\{t\in T:{\rm ht}(t)=\alpha\}$ .

$ω 1$ -drzewo to drzewo $(T,\sqsubseteq)$ takie, że

(i) ${\rm Lev}_\alpha(T)\neq\emptyset$ dla każdej przeliczalnej liczby

α < ω 1

, ale ${\rm Lev}_{\omega_1}(T)=\emptyset$ , oraz

(ii) $(\forall\alpha<\omega_1)(|{\rm Lev}_\alpha(T)|<\omega_1)$ .

Niech $(T,\sqsubseteq)$ będzie $ω 1$ -drzewem. Powiemy, że łańcuch $C\subseteq T$ jest gałęzią w drzewie $T$ jeśli $(\forall\alpha<\omega_1)(C\cap {\rm Lev}_\alpha(T)\neq \emptyset)$ .
Drzewo Kurepy to takie $ω 1$ -drzewo $(T,\sqsubseteq)$ w którym istnieją przynajmniej $ω 2$ gałęzie.
Hipoteza Kurepy (KH) to zdanie stwierdzające, że

istnieje drzewo Kurepy.

[edytuj] Własności

Wzmocnienie $\diamondsuit^+$ diamentu Jensena implikuje KH. Zatem hipoteza Kurepy jest spełniona w universum konstruowalnym L.
Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to pewne pojęcie forsingu forsuje ¬KH. Zatem, jeśli niesprzeczna jest teoria ZFC+"istnieje liczba nieosiągalna", to niesprzeczne jest również ZFC+¬KH.
Powyżej liczba nieosiągalna jest niezbędna, jako że