Antyłańcuch

Z Wikipedii

Antyłańcuch to termin w kilku dziedzinach matematyki na określenie obiektów o własnościach związanych z pewnymi praporządkami.

Spis treści 1 Antyłańcuchy w teorii porządków częściowych 1.1 Definicja 1.2 Przykłady i własności 2 Antyłańcuchy w teorii forsingu 2.1 Definicja 2.2 κ-cc 2.3 Przykłady i własności 3 Antyłańcuchy w algebrach Boole'a 3.1 Definicja 3.2 Celularność 4 Zobacz też

[edytuj] Antyłańcuchy w teorii porządków częściowych

[edytuj] Definicja

Przy określonym porządku zbiór nazywamy antyłańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy

.

Intuicyjnie, zbiór jest antyłańcuchem, gdy nie da się porównać żadnych dwóch różnych jego elementów.

[edytuj] Przykłady i własności

• Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest antyłańcuchem (i jednocześnie jest też łańcuchem).
• Porządek częściowy jest porządkiem liniowym wtedy i tylko wtedy gdy każdy antyłańcuch w tym porządku jest jednoelementowy.
• Twierdzenie Dilwortha mówi że częściowy porządek nie zawiera n + 1 elementowych antyłańcuchów () wtedy i tylko wtedy gdy P jest sumą n łańcuchów.
• Twierdzenie Spernera mówi że jeśli P jest rodziną wszystkich podzbiorów pewnego n elementowego zbioru X, a porządek jest zawieraniem, to każdy antyłańcuch zawarty w P ma co najwyżej elementów.

[edytuj] Antyłańcuchy w teorii forsingu

[edytuj] Definicja

Niech będzie pojęciem forsingu. Zbiór jest antyłańcuchem w wtedy i tylko wtedy gdy każde dwa różne warunki są sprzeczne, tzn

Należy zwrócić uwagę że pojęcie antyłańcucha w sensie forsingu jest różne od tegoż w sensie teorii posetów: nieporównywalność elementów jest tutaj zastąpiona sprzecznością warunków.

[edytuj] κ-cc

Niech κ będzie liczbą kardynalną. Powiemy że pojęcie forsingu spełnia κ-cc jeśli każdy antyłańcuch w jest mocy mniejszej niż κ. Jeśli spełnia -cc to mówimy wtedy też że spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo spełnia ccc.

Nazwa κ-cc jest skrótem angielskiego wyrażenia κ-chain condition (warunek κ-łańcucha). Użycie słowa łańcuch (chain) było pierwotnie spowodowane pewnym zamieszaniem w stosowanym nazewnictwie w początkowych latach rozwoju teorii.

Twierdzenie Erdősa-Tarskiego mówi że najmniejsza liczba kardynalna κ dla której pojęcie forsingu spełnia warunek κ-cc musi być regularna.

[edytuj] Przykłady i własności

• Pojęcie forsingu Cohena (zbiór skończonych ciągów liczb naturalnych uporządkowany przez odwrotną relację wydłużania ciągów) spełnia ccc.
• Pojęcie forsingu Solovaya (zbiór domkniętych podzbiorów miary dodatniej uporządkowany przez inkluzję) spełnia ccc.
• Pojęcie forsingu Sacksa (zbiór doskonałych podzbiorów uporządkowany przez inkluzję) nie spełnia ccc. Poniżej każdego warunku w tym forsingu można skonstruować antyłańcuch mocy continuum.
• Rozszerzenia generyczne modeli ZFC przy użyciu pojęć forsingu spełniających ccc zachowują liczby kardynalne. Rozszerzenia przy użyciu pojęć forsingu spełniających κ-cc zachowują liczby kardynalne większe lub równe κ.

[edytuj] Antyłańcuchy w algebrach Boole'a

[edytuj] Definicja

Ponieważ algebry Boole'a są też pojęciami forsingu, forsingowa definicja antyłańcuchów jest naturalnie przenoszona na algebry Boole'a. Niech będzie algebrą Boole'a. Zbiór jest antyłańcuchem w wtedy i tylko wtedy gdy każde dwa różne elementy A są rozłączne, tzn

[edytuj] Celularność

Celularność jest funkcją kardynalną określona na algebrach Boole'a. Celularność algebry Boole'a jest to supremum mocy antyłańcuchów w .

Mówimy że algebra Boole'a spełnia ccc jeśli .

Twierdzenie Erdősa-Tarskiego mówi że jeśli celularność algebry Boole'a jest liczbą singularną, to istnieje antyłańcuch mocy .

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• łańcuch.