Algebra Boole'a

Z Wikipedii

Algebry Boole'a – struktury algebraiczne rozważane w matematyce, teoretycznej informatyce oraz elektronice cyfrowej. Teoria algebr Boole'a jest poddziałem matematyki na styku teorii porządków częściowych, algebry, logiki matematycznej i topologii.

Nazwa algebry Boole'a jest używana dla uhonorowania angielskiego matematyka, filozofa i logika George'a Boole'a i jego wkładu w formalizację i algebraizację logiki.

[edytuj] Definicje i ich konsekwencje

[edytuj] Definicja

Algebra Boole'a to struktura algebraiczna ${\mathbb B}:=(B,\cup,\cap,\sim,0,1)$ , w której " $\cup$ " i " $\cap$ " są działaniami dwuargumentowymi, " $\sim$ " jest operacją jednoargumentową, a "0" i "1" są wyróżnionymi różnymi elementami zbioru $B$ , oraz taka, że następujące warunki są spełnione dla wszystkich $a,b,c\in B$ :

$a \cup(b \cup c) = (a \cup b) \cup c\$	$a \cap (b \cap c) = (a \cap b) \cap c\$	łączność
$a \cup b = b \cup a\$	$a \cap b = b \cap a$	przemienność
$a \cup (a \cap b) = a\$	$a \cap (a \cup b) = a\$	absorpcja
$a \cup (b \cap c) = (a \cup b) \cap (a \cup c)$	$a \cap (b \cup c) = (a \cap b) \cup (a \cap c)$	rozdzielność
$a\; \cup \sim a = 1\$	$a\; \cap \sim a = 0\$	pochłanianie

[edytuj] Różne systemy oznaczeń

Należy zwrócić uwagę, że istnieją co najmniej trzy różne szeroko rozpowszechnione tradycje oznaczeń w teorii algebr Boole'a. W definicji sformułowanej powyżej użyliśmy symboli $\cup,\cap,\sim$ , ale w częstym użyciu są również $+,\cdot,-$ oraz $\lor,\land,\lnot$ . Symbole oznaczające operacje dwuczłonowe algebry Boole'a są prawie zawsze wprowadzane przez wybór jednej z par $(+,\cdot)$ , $(\lor,\land)$ albo $(\cup,\cap)$ . W oznaczeniach operacji jednoargumentowej algebry istnieje mniejsza konsekwencja i można się spotkać z $+,\cdot,\sim$ jako symbolami oznaczającymi operacje w algebrze Boole'a, albo z $\lor,\land,{}^\prime$ w tej samej roli.

System oznaczeń przedstawiony powyżej (i dalej przyjmowany w tym artykule) jest używany np w podręczniku Heleny Rasiowej^[1].
W badaniach teorio-mnogościowych aspektów algebr Boole'a przeważa tradycja używania oznaczeń $(+,\cdot,-)$ ^[2]^[3]^[4]^[5]. Ten sam system został też wybrany za wiodący przez redaktorów monografii Handbook of Boolean Algebras^[6]^[7]^[8].
Z kolei symbole $\wedge,\vee$ zgodne z oznaczeniami w teorii krat są częściej używane w kontekstach algebraicznych (i teorio-kratowych)^[9] ^[10].

Spotykane są też inne kombinacje tychże symboli lub wręcz inne symbole (na przykład & w miejsce $\cap$ , lub a' zamiast $\;\sim a$ ). W elektronice i informatyce często stosuje się OR, AND oraz NOT w miejsce $\cup$ , $\cap$ oraz $\sim$ .

[edytuj] Bezpośrednie konsekwencje definicji

Niech ${\mathbb B}=(B,+,\cdot,\sim,0,1)$ będzie algebrą Boole'a. Dla wszystkich $a,b\in B$ mamy:

$a \cup a = a\$	$a \cap a = a\$
$a \cup 0 = a\$	$a \cap 1 = a\$
$a \cup 1 = 1\$	$a \cap 0 = 0\$
$\sim 0 = 1\$	$\sim 1 = 0\$
$\sim (a \cup b) = (\sim a) \cap (\sim b)\$
$\sim (a \cap b) = (\sim a) \cup (\sim b)\$	prawa De Morgana
$\sim (\sim a) = a\$ podwójne przeczenie

[edytuj] Uporządkowanie w algebrach Boole'a

Jeśli ${\mathbb B}=(B,\cup,\cap,\sim,0,1)$ jest algebrą Boole'a, to w zbiorze $B\;$ wprowadza się porządek boole'owski $\leq$ następująco:

$a\leq b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a\cap b=a$

Tak zdefiniowana relacja $\leq$ jest częściowym porządkiem na zbiorze $B$ . Zbiór B (algebry Boole'a) z relacją ≤ jest kratą rozdzielczą.

[edytuj] Autodualność

Niech ${\mathbb B}:=(B,\cup,\cap,\sim,0,1)$ będzie dowolną algebrą Boole'a. Niech ${\mathbb C}=(B,\cap,\cup,\sim,1,0)$ (zamieniamy rolami operację $\cup$ z operacją $\cap$ , oraz stałą 0 ze stałą 1). Wtedy także $\mathbb C$ jest algebrą Boole'a izomorficzną z wyjściową algebrą $\mathbb B$ . Kanoniczny izomorfizm d tych dwóch algebr jest swoją własną odwrotnością (jest inwolucją zbioru B), i jest dany wzorem:

$d(x) :=\; \sim x$

dla dowolnego $x \in B$ .

[edytuj] Pierścienie Boole'a

Z pojęciem algebry Boole'a związane jest pojęcie pierścienia Boole'a. Pierścień Boole'a to pierścień przemienny z jedynką $(P,\oplus,\odot,0,1)$ , w którym mnożenie spełnia warunek

$a\odot a=a$ dla każdego elementu

a

W pierścieniu Boole'a każdy element jest rzędu 2, to znaczy: spełnia równość: $a \oplus a = 0$ . Zauważmy bowiem, że

$a \oplus a \oplus a \oplus a =(a\odot a)\oplus (a\odot a)\oplus (a\odot a)\oplus (a\odot a)=(a \oplus a) \odot (a \oplus a) = a \oplus a$

więc $a \oplus a = 0$ . Wynika stąd, że:

$a \odot (1 \oplus a) = 0$ oraz $a \oplus (1 \oplus a) = 1$ .

Jeśli ${\mathbb B}=(B,\cup,\cap,\sim,0,1)$ jest algebrą Boole'a i w zbiorze $B$ określimy operację różnicy symetrycznej $\oplus$ przez $a \oplus b = (a\cap (\sim b))\cup(b\cap (\sim a))$ , to wtedy $(B,\oplus,\cap,0,1)$ jest pierścieniem Boole'a; za mnożenie $\odot$ przyjmuje się $\cap$ .
Jeśli $(B,\oplus,\odot,0,1)$ jest pierścieniem Boole'a i zdefiniujemy operacje $\cup,\cap$ i $\sim$ na $B$ przez

$a\cap b=(a\oplus b)\oplus (a\cap b)$ , $a\cap b=a\odot b$ i $\sim a=1\oplus a$ ,

to wtedy ${\mathbb B}:=(B,\cup,\cap,\sim,0,1)$ jest algebrą Boole'a spełniającą $a \oplus b = (a\cap (\sim b)) \cup (b\cap (\sim a))$ .

[edytuj] Minimalna aksjomatyzacja

Powyższa (tradycyjna) definicja algebry Boole'a nie jest ekonomiczna, np. 0 i 1 można zastąpić odpowiednio przez $(x \cup (\sim x))$ i $\sim (x \cup (\sim x))$ , zaś dzięki prawom de Morgana można wyeliminować $\cap$ . (W istocie wszystkie działania można tak naprawdę zastąpić jednym – kreską Scheffera).

Istnieją równoważne, ale oszczędniejsze definicje algebry Boole'a. Przykładowy minimalny zestaw aksjomatów to:

+ jest przemienne,
+ jest łączne,
aksjomat Huntingtona: $\sim(\sim x \cup y)\; \cup \sim (\sim x\; \cup \sim y) = x$ .

Inny taki zestaw to:

+ jest przemienne
+ jest łączne
aksjomat Robbinsa: $\sim(\sim(x \cup y)\; \cup \sim(x\; \cup \sim y)) = x$

Istnieją też systemy z jednym aksjomatem.

[edytuj] Przykłady algebr Boole'a

Najprostsza algebra Boole'a ma tylko dwa elementy, "0" i "1", a operacje tej algebry są zdefiniowane przez następujące tabele działań:

$\cdot$	0	1
0	0	0
1	0	1

$+$	0	1
0	0	1
1	1	1

a	0	1
$\sim$ a	1	0

Jeśli ${\mathcal F}$ jest ciałem podzbiorów zbioru $X$ , to $({\mathcal F},\cup,\cap,{}^\prime,\emptyset,X)$ jest algebrą Boole'a (gdzie ${}^\prime$ oznacza operację dopełnienia).
Niech ${\mathcal Z}$ będzie zbiorem zdań w rachunku zdań. Wprowadźmy relację dwuargumentową $\equiv$ na zbiorze ${\mathcal Z}$ przez określenie

$\varphi\equiv\psi$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\varphi\Leftrightarrow\psi$ jest tautologią rachunku zdań.

Można sprawdzić, że $\equiv$ jest relacją równoważności na zbiorze ${\mathcal Z}$ . Na zbiorze

X

wszystkich klas abstrakcji $[\varphi]$ relacji $\equiv$ wprowadźmy operacje $\cup,\cap,\sim$ przez następujące formuły:

$[\varphi] \cup [\psi] := [\varphi\vee\psi]$ ,

$[\varphi] \cap [\psi] := [\varphi\wedge\psi]$ ,

$\sim[\varphi] := [\neg\varphi]$ .

Pokazuje się, że w ten sposób otrzymujemy poprawnie zdefiniowane operacje na zbiorze

X

(tzn wynik nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji) oraz że $(X,\cup,\cap,\sim,[p\wedge\neg p],[p\vee\neg p]$ jest algebrą Boole'a. Algebra ta jest nazywana algebrą Lindenbauma-Tarskiego.

Algebry Lindenbauma-Tarskiego rozważa się również dla języków pierwszego rzędu. Niech ${\bold Z}$ będzie zbiorem zdań w ustalonym alfabecie $τ$ i niech $T\subseteq {\bold Z}$ będzie niesprzeczną teorią w tym samym języku. Wprowadźmy relację dwuargumentową $\equiv$ na zbiorze ${\bold Z}$ przez określenie

$\varphi\equiv\psi$ wtedy i tylko wtedy, gdy $T\vdash\varphi\Leftrightarrow\psi$ .

Wówczas $\equiv$ jest relacją równoważności na zbiorze ${\bold Z}$ . Podobnie jak wcześniej definujemy

$[\varphi] \cup [\psi] := [\varphi\vee\psi]$ ,

$[\varphi] \cap [\psi] := [\varphi\wedge\psi]$ ,

$\sim[\varphi] := [\neg\varphi]$ .

Można pokazać, że $({\bold Z}/\equiv,\cup,\cap,\sim,[\psi\wedge\neg \psi]_\equiv,[\psi\vee\neg \psi]_\equiv)$ jest algebrą Boole'a.

[edytuj] Dalsze własności algebr Boole'a

Niech ${\mathbb B}=(B,\cup,\cap,\sim,0,1)$ będzie algebrą Boole'a.

[edytuj] Ideały, algebry ilorazowe i homomorfizmy

Niepusty zbiór $I\subseteq B$ jest ideałem w algebrze ${\mathbb B}$ , jeśli są spełnione następujące dwa warunki:

(i) $\big(\forall a,b\in I\big)\big(a \cup b\in I\big)$ , oraz

(ii) $\big(\forall a \in B, b\in I\big)\big((a\leq b)\ \Rightarrow\ (a\in I)\big)$ .

Każdy ideał zawiera element 0. Ideał, który nie zawiera elementu 1, nazywamy ideałem właściwym. (Jedynym niewłaściwym ideałem jest całe B).

Pojęciem dualnym jest pojęcie filtru: niepusty zbiór $F\subseteq B$ jest filtrem w algebrze ${\mathbb B}$ , jeśli:

(i') $\big(\forall a,b\in F\big)\big(a\cap b\in F\big)$ , oraz

(ii') $\big(\forall a\in F,b\in B\big)\big((a\leq b)\ \Rightarrow\ (b\in F)\big)$ .

Każdy filtr zawiera element 1. Filtr, który nie zawiera elementu 0, nazywamy filtrem właściwym. (Jedynym niewłaściwym filtrem jest całe B).

Przypuśćmy, że $I\subseteq B$ jest właściwym ideałem w algebrze ${\mathbb B}$ . Wprowadźmy relację dwuczłonową $\approx_I$ na $B$ przez

$a\approx_I b$ wtedy i tylko wtedy gdy $(a\cap (\sim b)) \cup (b\cap (\sim a)) \in I$ .

Wówczas $\approx_I$ jest relacją równoważności na

B

. W zbiorze $B/\approx_I$ klas abstrakcji tej relacji definiujemy działania $\vee,\wedge,\neg$ :

$[a] \vee [b] := [a\cup b]$ ,

$[a] \wedge [b] := [a\cap b]$ ,

$\neg [a] := [\sim a]$ .

Pokazuje się, że powyższe definicje są poprawne (tzn. wynik operacji nie zależy od wyboru reprezentantów z klas abstrakcji) oraz że $(B/_{\approx_I},\vee,\wedge,\neg,[0],[1])$ jest algebrą Boole'a. Algebra ta jest nazywana algebrą ilorazową i jest oznaczana przez ${\mathbb B}/I$ .

Niech $\mathbb{B}^* := (B^*,\cup^*0,\cap^*,\sim^*,0^*,1^*)$ będzie algebrą Boole'a i niech $h : B\longrightarrow B^*$ będzie funkcją odwzorowującą $B$ w $B *$ . Mówimy, że funkcja $h$ jest homomorfizmem algebr Boole'a, jeśli zachowuje ona działania w algebrze, tzn. dla wszystkich $a,b\in B$ zachodzą trzy równości:

$h(a\cup b)=h(a) \cup^*\; h(b)$ ,

$h(a\cap b)=h(a)\cap^* h(b)$ ,

$h(\sim a)\; = \sim^* h(a)$ .

Jeśli dodatkowo $h$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną z $B$ na $C$ , to powiemy że funkcja $h$ jest izomorfizmem algebr Boole'a.

Jeśli $I$ jest ideałem w algebrze ${\mathbb B}$ , to odwzorowanie $a\mapsto [a]_{\approx_I}:{\mathbb B}\longrightarrow {\mathbb B}/I$ jest homomorfizmem.
Jeśli $\mathbb{B}^* := (B^*,\cup^*,\cap^*,\sim^*,0^*,1^*)$ jest algebrą Boole'a oraz $h:B\longrightarrow B^*$ jest homomorfizmem na $B *$ , to $h - 1 (0 *)$ jest ideałem w algebrze ${\mathbb B}$ a algebra ilorazowa $\mathbb{B}/h^{-1}(0^*)$ jest izomorficzna z $\mathbb{B}^*$ .

[edytuj] Algebry wolne

Algebra Boole'a ${\mathbb B}$ jest wolną algebrą Boole'a, jeśli pewien zbiór $X\subseteq B$ ma następującą własność:

dla każdej algebry Boole'a $\mathbb{B}^* :=(B^*,\cup^*,\cap^*,\sim^*,0^*,1^*)$ i każdego odwzorowania $f : X\longrightarrow B'$ istnieje dokładnie jeden homomorfizm $h : B\longrightarrow B^*$ z algebry ${\mathbb B}$ w algebrę $\mathbb{B}'$ , przedłużający

f

(czyli taki, że $h\upharpoonright X=f$ ).

Zbiór $X\subseteq B$ o własności opisanej powyżej jest nazywany zbiorem wolnych generatorów algebry ${\mathbb B}$ . Jeśli moc zbioru $X$ jest $κ$ , to mówimy, że ${\mathbb B}$ jest wolną algebrą Boole'a z $κ$ generatorami.

Skończona algebra Boole'a jest wolna, wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona $2^{2^n}$ elementów (dla $n=1,2,\ldots$ ). Algebra mocy $2^{2^n}$ jest izomorficzna z ciałem wszystkich podzbiorów zbioru z $2 n$ elementami i jako taka ma $n$ wolnych generatorów.

Nieskończona przeliczalna algebra Boole'a jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona bezatomowa, tzn. każdy niezerowy element algebry zawiera przynajmniej dwa różne niezerowe elementy algebry. (Inaczej mówiąc, $(\forall b\in B\setminus\{0\})(\exists a\in B\setminus \{0\})(a\leq b\ \wedge\ a\neq b)$ .)

[edytuj] Zupełne algebry Boole'a

Działania nieskończone

Ponieważ w algebrze Boole'a mamy porządek częściowy, to dla zbioru $A\subseteq B$ możemy rozpatrywać jego kresy (które istnieją lub nie).

Jeśli dwuczłonowe operacje algebry Boole'a są oznaczane przez $\cap,\cup$ (tak jak w tym artykule), to kres górny zbioru $A$ (gdy istnieje) jest oznaczany przez $\bigcup A$ , a jego kres dolny (gdy istnieje) jest oznaczany przez $\bigcap A$ . Jeśli natomiast symbolami dla tych operacji są $+,\cdot$ , to kresy oznaczane są przez $\sum A$ , $\prod A$ .

Dla zbioru pustego mamy:

$\bigcup \emptyset = 0$ oraz $\bigcap \emptyset = 1$ .

Zakładając istnienie odpowiednich kresów, zachodzą wzory de Morgana:

$\sim\bigcup A = \bigcap\{\sim a:a\in A\}$ oraz $\sim\bigcap A = \bigcup\{\sim a:a\in A\}.$

Ponadto, jeśli $\emptyset\neq A\subseteq B$ , to

$b=\bigcup A$ wtedy i tylko wtedy, gdy

(*) $(\forall a\in A)(a\leq b)$ oraz

(**) $\big(\forall c\leq b\big)\big(c\neq 0\Rightarrow (\exists a\in A)(a\cap c\neq 0)\big)$ ,

$b=\bigcap A$ wtedy i tylko wtedy, gdy

(*) $(\forall a\in A)(b\leq a)$ oraz

(**) $\big(\forall c\neq 0\big)\big(c\cap b=0\Rightarrow (\exists a\in A)(c\cap (\sim a)\neq 0)\big)$ .

Zupełność

Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole'a ${\mathbb B}$ :

każdy podzbiór ${\mathbb B}$ ma kres górny;
każdy podzbiór ${\mathbb B}$ ma kres dolny.

Algebry, w których każdy zbiór ma kres górny (tzn. takie dla których porządek boole'owski $\leq$ jest zupełny), są nazywane zupełnymi algebrami Boole'a. Zupełne algebry Boole'a są szczególnie ważne w teorii forsingu; są one też przykładami krat zupełnych.

Niech $κ$ będzie liczbą kardynalną, a ${\mathbb B}$ będzie algebrą Bolole'a. Powiemy, że algebra ${\mathbb B}$ jest $κ$ -zupełna, jeśli każdy zbiór $A\subseteq B$ mocy mniejszej niż $κ$ ma kres górny (tzn. $\bigcup A$ istnieje ilekroć $0 < | A | < κ$ ). Równoważnie: algebra ${\mathbb B}$ jest $κ$ -zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór $A\subseteq B$ , o mocy mniejszej niż $κ$ , ma kres dolny (tzn $\bigcap A$ ). Algebry $\aleph_1$ -zupełne są też nazywane algebrami $σ$ -zupełnymi.

Jeśli ${\mathcal B}$ jest $σ$ -ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej (a więc jest to $σ$ -zupełna algebra Boole'a) oraz ${\mathcal K}$ , jest rodziną wszystkich zbiorów $A\in {\mathcal B}$ , które są pierwszej kategorii, to ${\mathcal K}$ jest ideałem w algebrze ${\mathcal B}$ i algebra ilorazowa ${\mathcal B}/{\mathcal K}$ jest zupełna. Podobnie dla rodziny ${\mathcal L}$ wszystkich borelowskich zbiorów miary zero.

[edytuj] Funkcje kardynalne

W badaniach i opisach algebr Boole'a często używa się funkcji kardynalnych. Przykładami takich funkcji kardynalnych są następujące funkcje.

Celularność $c({\mathbb B})$ algebry Boole'a ${\mathbb B}$ jest to supremum mocy antyłańcuchów w ${\mathbb B}$ .
Długość ${\rm length}({\mathbb B})$ algebry Boole'a ${\mathbb B}$ to

${\rm length}({\mathbb B})=\sup\big\{|A|:A\subseteq {\mathbb B}$ jest łańcuchem $\big\}$

Głębokość ${\rm depth}({\mathbb B})$ algebry Boole'a ${\mathbb B}$ to

${\rm depth}({\mathbb B})=\sup\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B}$ jest dobrze uporządkowanym łańcuchem $\big\}$ .

Nieporównywalność ${\rm Inc}({\mathbb B})$ algebry Boole'a ${\mathbb B}$ to

${\rm Inc}({\mathbb B})=\sup\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B}$ oraz $\big(\forall a,b\in A\big)\big(a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leq b\ \vee \ b\leq a)\big)\big\}$ .

Pseudo-cieżar $\pi({\mathbb B})$ algebry Boole'a ${\mathbb B}$ to

$\pi({\mathbb B})=\min\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B}\setminus \{0\}$ oraz $\big(\forall b\in B\setminus \{0\}\big)\big(\exists a\in A\big)\big(a\leq b\big)\big\}$ .

[edytuj] Reprezentacja algebr Boole'a

Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a mówi, że każda algebra Boole'a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole'a). Dokładniej mówiąc, algebra Boole'a ${\mathbb B}$ jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni ultrafiltrów na ${\mathbb B}$ (tzw przestrzeni Stone'a algebry ${\mathbb B}$ ). Twierdzenie Stone'a nie może być udowodnione przy użyciu tylko ZF - wymaga ono założenia pewnej formy aksjomatu wyboru (rozszerzalności ideałów w algebrach Boole'a do ideałów pierwszych).

Każda skończona algebra Boole'a jest izomorficzna z całym zbiorem potęgowym (P(X), ∪, ∩, ', ∅, X), dla pewnego X.

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

↑ Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 278, seria: Biblioteka Matematyczna t. 30.
↑ Thomas Jech: Set theory. Berlin: Springer-Verlag, 1997. ISBN 3-540-63048-1.
↑ Zofia Adamowicz, Paweł Zbierski: Logic of mathematics. A modern course of classical logic. Nowy Jork: A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., 1997, s. 13, seria: Pure and Applied Mathematics. ISBN 0-471-06026-7.
↑ Winfried Just, Martin Weese: Discovering modern set theory. T. 2: Set-theoretic tools for every mathematician. Providence, RI: American Mathematical Society, 1997, s. 14. ISBN 0-8218-0528-2.
↑ J. Donald Monk: Cardinal invariants on Boolean algebras. Basel: Birkhäuser Verlag, 1996. ISBN 3-7643-5402-X.
↑ Sabine Koppelberg: Handbook of Boolean algebras. Edited by J. Donald Monk and Robert Bonnet. T. 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1989. ISBN 0-444-70261-X.
↑ Handbook of Boolean algebras. Edited by J. Donald Monk and Robert Bonnet. T. 2. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1989. ISBN 0-444-87152-7.
↑ Handbook of Boolean algebras. Edited by J. Donald Monk and Robert Bonnet. T. 3. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1989. ISBN 0-444-87153-5.
↑ Garrett Birkhoff, Thomas C. Bartee: Współczesna algebra stosowana. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983, s. 125, seria: Matematyka dla Politechnik. ISBN 8301045604.
↑ Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości: wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości. Wyd. 3. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN), 1978, ss. 49n, seria: Monografie Matematyczne 27.