Funkcja kardynalna
Z Wikipedii
Funkcja kardynalna – funkcja której wartościami są liczby kardynalne. Zwykle tej nazwy używa się gdy, dodatkowo, wartości funkcji są nieskończonymi liczbami kardynalnymi. Często funkcje te są klasami.
Funkcje kardynalne są jednym z najbardziej widocznych połączeń teorii mnogości z innymi dziedzinami matematyki. Dostarczają one wygodnego języka do opisu różnych własności obiektów matematycznych i są również interesującym obiektem badań samym w sobie.
Spis treści |
[edytuj] Funkcje kardynalne w teorii mnogości
- Najczęściej spotykaną funkcją kardynalną jest funkcja moc zbioru, która dla zbioru A przyporządkowuje jego moc | A | .
- Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech I będzie takim ideałem podzbiorów zbioru S, który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Określamy:
- Dla praporządku określa się liczbę nieograniczoną oraz liczbę dominującą tego praporządku przez
-
- ,
- .
[edytuj] Funkcje kardynalne w topologii
Funkcje kardynalne są szeroko używane w topologii gdzie są bardzo wygodnym narzędziem w opisie własności przestrzeni topologicznych[1][2]. Na przykład, rozważa się następujące funkcje kardynalne:
- Cieżar przestrzeni X to jest bazą topologii na X .
- Gęstość przestrzeni X to .
- Celularność przestrzeni X to
- Ciasność przestrzeni X w punkcie to
i ciasność przestrzeni X to .
- Rozciągłość przestrzeni X to
[edytuj] Funkcje kardynalne w teorii algebr Boole'a
Funkcje kardynalne są często używanym narzędziem do opisu i badania algebr Boole'a[3][4]. Rozważa się, na przykład, następujące funkcje:
- Celularność algebry Boole'a jest to supremum mocy antyłańcuchów w .
- Długość algebry Boole'a to
- jest łańcuchem
- Głębokość algebry Boole'a to
- jest dobrze uporządkowanym łańcuchem .
- Nieporównywalność algebry Boole'a to
- oraz .
- Pseudo-ciężar algebry Boole'a to
- oraz .
[edytuj] Funkcje kardynalne w algebrze
Funkcje kardynalne w algebrze są mniej wyeksponowane, niemniej jednak są one tam obecne. Przykładami takich funkcji są:
- Wymiar przestrzeni liniowej V nad ciałem K.
- Dla modułu wolnego M nad pierścieniem przemiennym R wprowadza się rangę rank(M) jako moc dowolnej bazy wolnej tego modułu.
- Dla podprzestrzeni W przestrzeni liniowej V rozważa się kowymiar tej przestrzeni (względem V).
- Dla (przemiennej) grupy nieskończenie podzielnej G rozważa się rangi ν0(G) i νp(G) (dla wszystkich liczb pierwszych p) dane przez rozkład
- (Powyżej, jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych, jest grupą addytywną liczb wymiernych a jest grupą p-quasi cykliczną.)
- Dla każdej struktury algebraicznej można rozważać minimalną moc zbiorów generatorów tej struktury.
[edytuj] Funkcje kardynalne w analizie funkcjonalnej
- Dla przestrzeni Banacha X rozważa się zbiory Enflo-Rosenthala (tzw ER-zbiory) będące uogólnieniami bazy Schaudera. (Zbiór jest zbiorem Enflo-Rosenthala jeśli każdy jego przeliczalny podzbiór może być uporządkowany tak, że stanowi ciąg bazowy oraz każdy element X jest granicą ciągu skończonych kombinacji elementów A.) Minimalne moce ER-zbiorów są (oczywiście) funkcjami kardynalnymi na przestrzeniach Banacha dopuszczających istnienie takich zbiorów[5].
[edytuj] Bibliografia
- ↑ Juhász, István: Cardinal functions in topology. "Mathematical Centre Tracts", nr 34. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1971.
- ↑ Juhász, István: Cardinal functions in topology - ten years later. "Mathematical Centre Tracts", 123. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1980. ISBN 90-6196-196-3
- ↑ Monk, J. Donald: Cardinal functions on Boolean algebras. "Lectures in Mathematics ETH Zürich". Birkhäuser Verlag, Basel, 1990. ISBN 3-7643-2495-3.
- ↑ Monk, J. Donald: Cardinal invariants on Boolean algebras. "Progress in Mathematics", 142. Birkhäuser Verlag, Basel, ISBN 3-7643-5402-X.
- ↑ Singer, Ivan: Bases in Banach spaces. II. Editura Academiei Republicii Socialiste România, Bucharest; Springer-Verlag, Berlin-New York, 1981, s 571-603. ISBN 3-540-10394-5