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アインシュタインの縮約記法 - Wikipedia

アインシュタインの縮約記法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

アインシュタインの縮約記法または、Summation Ruleは、アインシュタインが考案したとされる添字(suffix)の和の記法。同じ項で添字が重なる場合は、その添字について和を取る、というルールである。

例えば、4次元空間におけるベクトル\mathbf{} a^\mu と\mathbf{} b_\mu （\mathbf{}\mu=1,2,3,4 ）の内積を記すときには、\mathbf{} a^\mu b_\mu となる。これは、具体的に書けば

\mathbf{} a^\mu b_\mu = a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3+ a^4 b_4

を意味することになる。

計量(metric)が\mathbf{} g_{\mu \nu}（\mathbf{}\mu=0, 1,2,3 ）として表される曲がった時空においては、ベクトルの内積は

\mathbf{} a^\mu b_\mu =g_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = \sum_{\mu,\nu=0}^3 g_{\mu \nu} a^\mu b^\nu

と記述される。 最後の式は4次元の場合の縮約を、和の形で書いたものである。


特に特殊相対性理論や場の量子論で標準的に用いられるミンコフスキー空間での内積は、 計量を\mathbf{} \eta_{\mu \nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)とするとき

\mathbf{} a^\mu b_\mu = a^0 b^0 - a^1 b^1 - a^2 b^2 - a^3 b^3

となる。（宇宙論などでは、符号を逆に取る流儀もある。）


このルールは一般相対性理論、量子力学、連続体力学、有限要素法、などで重宝する。


執筆の途中です この項目「アインシュタインの縮約記法」は、自然科学に関連した書きかけの項目です。加筆・訂正などをして下さる協力者を求めています。


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