Einsteinova konvence

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

V matematice, a zvláště v aplikacích lineární algebry ve fyzice, je užitečná Einsteinova notace nebo Einsteinova sumační konvence, zvláště tam, kde ve vzorcích vystupují souřadnice.

Podle této konvence, jestliže se indexová proměnná v jednom členu objevuje v horní i dolní pozici, znamená to součet přes všechny možné hodnoty indexu. V typických aplikacích se jedná o hodnoty 1, 2, 3 (pro výpočty v Euklidovském prostoru), nebo 0, 1, 2, 3 nebo 1, 2, 3, 4 (pro výpočty v Minkowského prostoru), ale může se jednat o jakýkoliv rozsah, dokonce v některých aplikacích se může jednat o nekonečnou množinu.

V obecné relativitě se řecká abeceda a latinka používají k rozlišení, zda se sčítá přes 1, 2, 3 nebo 0, 1, 2, 3 (obvykle se latinka i, j, … používá pro 1, 2, 3 a řecká abeceda μ, ν, … pro 0, 1, 2, 3). V praxi tomu ale může být i obráceně.

Někdy (jako v obecné relativitě) se požaduje, aby se index jednou vyskytoval jako horní index a jednou jako dolní, v jiných aplikacích se používají jen dolní indexy, např v tenzorovém počtu nebo v duálním vektorovém prostoru.

[editovat] Úvod

V mechanice a inženýrství se často vektor v 3D prostoru popisuje pomocí ortogonálních jednotkových vektorů i, j a k.

$\mathbf{u} = u_x \mathbf{i} + u_y \mathbf{j} + u_z \mathbf{k}$

Jestliže bázové vektory i, j, a k vyjádříme (přejmenujeme) jako e₁, e₂, a e₃, lze vektor vyjádřit pomocí sumace:

$\mathbf{u} = u_1 \mathbf{e}_1 + u_2 \mathbf{e}_2 + u_3 \mathbf{e}_3 = \sum_{i = 1}^3 u_i \mathbf{e}_i$

V Einsteinově notaci, pokud se nějaký index v rovnici opakuje dvakrát, implikuje to sumaci, a sumační symbol je možné vynechat.

Tato notace umožňuje zestručnit algebraickou reprezentaci vektorových a tenzorových rovnic. Například

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i = 1}^3 u_i \mathbf{e}_i \cdot \sum_{j = 1}^3 v_j \mathbf{e}_j = u_i \mathbf{e}_i \cdot v_j \mathbf{e}_j$

nebo ekvivalentně:

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 u_i v_j ( \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j ) = u_i v_j ( \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j )$

kde

$\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \delta_{ij}$

a $\ \delta_{ij}$ je Kroneckerovo delta, které je rovno 1 když i = j, a 0 jindy. Logicky vyplývá, že jedno j v rovnici může být převedeno na i, nebo jedno i může být převedeno na j. Pak

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_i v_j\delta_{ij}= u_i v_i = u_j v_j$

Pro vektorový součin,

$\mathbf{u} \times \mathbf{v}= \sum_{j = 1}^3 u_j \mathbf{e}_j \times \sum_{k = 1}^3 v_k \mathbf{e}_k = u_j \mathbf{e}_j \times v_k \mathbf{e}_k = u_j v_k (\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k ) = \varepsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k$

kde $\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k = \varepsilon_{ijk} \mathbf{e}_i$ a $\ \varepsilon_{ijk}$ Levi-Civitův symbol definovaný takto:

$\varepsilon_{ijk} = \left\{ \begin{matrix} +1 & \mbox{pokud } (i,j,k) \mbox{ je } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ nebo } (3,1,2)\\ -1 & \mbox{pokud } (i,j,k) \mbox{ je } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ nebo } (2,1,3)\\ 0 & \mbox{jinak: }i=j \mbox{ nebo } j=k \mbox{ nebo } k=i \end{matrix} \right.$

což nahrazuje

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2) \mathbf{e}_1 + (u_3 v_1 - u_1 v_3) \mathbf{e}_2 + (u_1 v_2 - u_2 v_1) \mathbf{e}_3$

$\mathbf{u} \times \mathbf{v}= \varepsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k = \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \varepsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k$ .

Pokud označíme $\mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}$ , pak můžeme psát $\mathbf{w} = \varepsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k$ a též pro jednotlivé složky $\ w_i = \varepsilon_{ijk} u_j v_k$ . V posledním zápisu se index i objevuje pouze jednou na obou stranách rovnice, a proto se v tomto případě nejedná o součet, ale spíše o systém rovnic:

$\begin{matrix} w_1 = \varepsilon_{1jk} u_j v_k\\ w_2 = \varepsilon_{2jk} u_j v_k\\ w_3 = \varepsilon_{3jk} u_j v_k \end{matrix}$

Alternativně lze vektorový součin vyjádřit jako

$\mathbf{u} \times \mathbf{v}= \mathbf{u} \cdot \varepsilon \cdot \mathbf{v}$

kde $\varepsilon$ je tenzorový zápis Levi-Civitova symbolu. Tota notace ale nepochází od Einsteina.

[editovat] Abstraktní definice

Uvažujme vektorový prostor V s konečnou dimenzí n a určitou bázi V. Bázové vektory můžeme psát jako e₁, e₂, …, e_n. Pak jestliže v je vektor v prostoru V, má vzhledem k bázi souřadnice v₁, …, v_n.

Základní pravidlo:

v = v_i e_i.

V tomto příkladu se předpokládalo, že výraz na pravé straně byl sečten přes i s hodnotami 1 až n, protože index i se neobjevuje na obou stranách výrazu. (Nebo, použijeme-li Einsteinovu konvenci, protože se index i objevil dvakrát.)

Index i se také označuje jako nepravý index protože výsledek na něm nezávisí; tudíž můžeme také například psát :

v = v_j e_j.

Index, přes který se nesčítá, je volný index a může se vyskytnout v každém členu rovnice nebo výrazu.

Tam, kde se index musí objevit jednou jako dolní index a jednou jako horní index, si základní vektor e_i ponechá dolní index, ale souřadnice budou vⁱ s horním indexem. Pak základní pravidlo je:

v = vⁱ e_i.

Hodnota Einsteinovy konvence je také v tom, že se aplikuje k dalším vektorovým prostorům vystavěných z V použitím tenzorového součinu a duality. Například $V\otimes V$ , tenzorový součin V se sebou samým, má bázi skládající se z tenzorů tvaru $\mathbf{e}_{ij} = \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j$ . Libovolný tenzor T v $V\otimes V$ lze psát jako:

$\mathbf{T} = T^{ij}\mathbf{e}_{ij}$ .

V*, duální prostor k V, má bázi e¹, e², …, eⁿ která splňuje pravidlo

$\mathbf{e}^i (\mathbf{e}_j) = \delta_{i}^j$ .

Zde δ je Kroneckerovo delta, tak $\delta_{i}^j$ je 1 jestliže i =j a 0 v ostatních případech.

[editovat] Příklady

Einsteinova sumace se stane jasnější s pomocí několika jednoduchých příkladů. Uvažujme čtyřrozměrný časoprostor, s indexy od 0 do 3 :

a μ b μ = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

a μν b μ = a 0ν b 0 + a 1ν b 1 + a 2ν b 2 + a 3ν b 3 .

Výše uvedený příklad je jedno ze zúžení, obecné tenzorové operace. Tenzor $a μν b α$ přejde do nového tenzoru sumací přes první horní a dolní index. Typicky je výsledný tenzor přejmenován pomocí odstranění zužovacích indexů :

$s ν = a μν b μ .$

Podobný příklad - uvažujme skalární součin dvou vektorů a a b. Skalární součin je definován jednoduše jako suma přes indexy a a b:

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_{\alpha}b^{\alpha} = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3,$