Einsteinov zapis

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Einsteinov zapis ali Einsteinov dogovor o seštevanju (tudi Einsteinov sumacijski dogovor) je v matematiki in še posebej v linearni algebri in fiziki poseben dogovor krajšega zapisa indeksov vektorskih ali tenzorskih spremenljivk, ki je najbolj uporaben pri zapisovanju koordinatnih enačb. Zapis je prvi uporabil Albert Einstein leta 1916 v svojem članku Osnova splošne teorije relativnosti (nemško Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie), objavljenem v Annalen der Physik.

Kadar se indeks spremenljivke v posameznem členu pojavi dvakrat, enkrat zgoraj in enkrat spodaj, se po dogovoru sešteva po vseh njegovih mogočih vrednostih. Običajno so to 1,2,3 (za računanje v evklidskem prostoru) ali 0,1,2,3, oziroma 1,2,3,4 (za računanje v prostoru Minkowskega). Drugače pa so lahko vrednosti poljubne. V nekaterih uporabah so elementi neskončne množice. Abstraktni indeksni zapis celo uporablja Einsteinov zapis brez vsakršnih omejitev. Nekaj zgledov Einsteinovega zapisa:

$\sum_{i=1}^{3} a_{i}x^{i}\equiv a_{i}x^{i} = a_{1}x^{1} + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3}$

$\begin{matrix} \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} a_{ij}x^{i}x^{j} \equiv a_{ij}x^{i}x^{j} &=& a_{11}x^{1}x^{1} + a_{12}x^{1}x^{2} + a_{13}x^{1}x^{3} + \\ && a_{21}x^{2}x^{1} + a_{22}x^{2}x^{2} + a_{23}x^{2}x^{3} + \\ && a_{31}x^{3}x^{1} + a_{32}x^{3}x^{2} + a_{33}x^{3}x^{3} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} \delta_{ij} \delta_{ij} \equiv \delta_{ij} \delta_{ij} &=& \delta_{11} \delta_{11} + \delta_{12} \delta_{12} + \delta_{13} \delta_{13} + \\ && \delta_{21} \delta_{21} + \delta_{22} \delta_{22} + \delta_{23} \delta_{23} + \\ && \delta_{31} \delta_{31} + \delta_{32} \delta_{32} + \delta_{33} \delta_{33} \end{matrix}$

$\sum_{i=1}^{3} \delta_{ij} \equiv \delta_{ii} = \delta_{11} \delta_{11} + \delta_{22} \delta_{22} + \delta_{33} \delta_{33}$

$\begin{matrix} \sum_{\alpha , \beta =0}^3 T^{\alpha \beta} S_{\alpha \beta} = \sum_{\alpha =0}^3 \sum_{\beta =0}^3 T^{\alpha \beta} S_{\alpha \beta} \equiv T^{\alpha \beta} S_{\alpha \beta} &=& T^{00} S_{00} + T^{01} S_{01} + T^{02} S_{02} + T^{03} S_{03} + \\ && T^{10} S_{10} + T^{11} S_{11} + T^{12} S_{12} + T^{13} S_{13} + \\ && T^{20} S_{20} + T^{21} S_{21} + T^{22} S_{22} + T^{23} S_{23} + \\ && T^{30} S_{30} + T^{31} S_{31} + T^{32} S_{32} + T^{33} S_{33} \end{matrix}$

$\sum_{\rho=0}^3 R^{\rho} _{\ \mu \rho \nu} \equiv R_{\mu \nu} = R^{\rho}_{\ \mu \rho \nu} = R^{0}_{\ \mu 0 \nu} + R^{1}_{\ \mu 1 \nu} + R^{2}_{\ \mu 2 \nu} + R^{3}_{\ \mu 3 \nu}$

V splošni teoriji relativnosti se za ločevanje seštevanja po 1,2,3 od seštevanja po 0,1,2,3 uporabljajo rimske in grške črke. Rimske (npr. i, j, ...) kadar se sešteva po vrednostih 1,2,3, in grške (npr. μ, ν, ...) za 0,1,2,3. Kakor pri dogovorih o predznakih to različno uporabljajo in so lahko črke celo zamenjane.

Včasih, kakor tudi v splošni teoriji relativnosti, mora biti indeks enkrat zgornji in enkrat spodnji. Drugod so vsi indeksi spodnji. Glej dualni vektorski prostor in tenzorski produkt.

Pomembno je upoštevati, da iz Eisteinovega zapisa ne izhajajo novi fizikalni zakoni ali zamisli. Zapis le pomaga pri ugotavljanju povezav in simetrij, ki so velikokrat 'skrite' pri običajnejših zapisih.

[uredi] Uvod

V mehaniki in tehniki vektorje v trirazsežnem prostoru običajno opišemo z ortogonalnimi enotskimi vektorji i, j in k.

$\mathbf{u} = u_x \mathbf{i} + u_y \mathbf{j} + u_z \mathbf{k}$

Če so bazni vektorji i, j in k izraženi kot e₁, e₂ in e₃, lahko vektor izrazimo z vsoto:

$\mathbf{u} = u_1 \mathbf{e}_1 + u_2 \mathbf{e}_2 + u_3 \mathbf{e}_3 = \sum_{i = 1}^3 u_i \mathbf{e}_i$

V Einsteinovem zapisu, indeks, ki je zapisan dvakrat, pogojuje vsoto, zato se simbol za vsoto ne zapisuje. Takšen zapis dovoljuje zgoščen zapis vektorskih in tenzorskih enačb. Na primer:

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i = 1}^3 u_i \mathbf{e}_i \cdot \sum_{j = 1}^3 v_j \mathbf{e}_j = u_i \mathbf{e}_i \cdot v_j \mathbf{e}_j$

ali enakovredno:

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 u_i v_j ( \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j ) = u_i v_j ( \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j ) \;\!,$

kjer je:

$\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \delta_{ij}$

in $\ \delta_{ij}$ Kroneckerjev delta, ki je enak 1 kadar je i = j, drugaće pa je enak 0. Iz tega sledi, da lahko en j v enačbi spremenimo v i, ali en i v j. Tako je:

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_i v_j\delta_{ij}= u_i v_i = u_j v_j$

Za vektorski produkt:

$\mathbf{u} \times \mathbf{v}= \sum_{j = 1}^3 u_j \mathbf{e}_j \times \sum_{k = 1}^3 v_k \mathbf{e}_k = u_j \mathbf{e}_j \times v_k \mathbf{e}_k = u_j v_k (\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k ) = \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k \;\! ,$

kjer je $\mathbf{e}_j \times \mathbf{e}_k = \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i$ in $\ \epsilon_{ijk}$ Levi-Civitajev simbol, določen kot:

$\epsilon_{ijk} = \left\{ \begin{matrix} +1; & \mbox{ pri } (i,j,k) \mbox{ je } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ ali } (3,1,2)\\ -1; & \mbox{ pri } (i,j,k) \mbox{ je } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ ali } (2,1,3)\\ 0; & \mbox{ sicer: }i=j \mbox{ ali } j=k \mbox{ ali } k=i \end{matrix} \right.$

kar da

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2) \mathbf{e}_1 + (u_3 v_1 - u_1 v_3) \mathbf{e}_2 + (u_1 v_2 - u_2 v_1) \mathbf{e}_3$

pri

$\mathbf{u} \times \mathbf{v}= \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k = \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k$ .

Če je $\mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}$ , velja $\mathbf{w} = \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_i u_j v_k$ in $\ w_i = \epsilon_{ijk} u_j v_k$ . Pri tem je razvidno, da kadar se indeks pojavi enkrat na obeh straneh enačbe, gre za sistem enačb in ne za vsoto: