Convenio de sumación de Einstein

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El convenio de sumación de Einstein o notación de Einstein es una convención utilizada para abreviar la escritura de sumatorias, en la que se suprime el símbolo de sumatoria (representado con la letra griega sigma - $Σ$ ). El convenio fue introducido por Albert Einstein en 1916^[1] . Se aplica en matemáticas en especial a los cálculos realizados en álgebra lineal destinados a la física. El convenio se aplica sólo a sumatorias sobre índices repetidos. El convenio se usa especialmente con tensores donde es muy frecuente la operación de suma sobre índices repetidos y sería muy fatigoso escribir explícitamente los signos de sumatorios.

[editar] Introducción

La convención es la siguiente: dada una expresión tensorial (escrita sin la convención de Einstein) la expresión abreviada se obtiene eliminando los signos de sumatorio y entendiendo que los índices repetidos en la expresión resultante indican suma sobre todos los posibles valores del índice. Análogamente dada una expresión abreviada (con convención de Einstein) la expresión convencional se logra añadiendo un signo de sumatoria para cada índice repetido que aparezca en la expresión abreviada, explicitando el valor inicial y final que puede tomar el índice. Hay variantes del convenio de Einstein en las cuales sólo se suman superíndices con subíndices.

La idea básica subyacente al convenio de Einstein es muy simple: el convenio permite reemplazar cualquier expresión suma a base de términos idénticos como esta:

$\mathbf{u}=c_1x_1+c_2x_2+c_3x_3 +\cdots +c_nx_n$

que típicamente en la notación convencional se escribe en forma de sumatorio:

$\mathbf{u}=\sum_{i=1}^n c_ix_i$

El convenio permite escribirla de manera aún más simple como:

$\mathbf{u}=c_ix_i$

Con el convenio de Einstein, por tanto un índice que aparece dos o más veces en una ecuación implica que existe una suma (de términos idénticos numerados por ese índice), por tanto, el convenio de Einstein es muy similar a la notación abreviada con sumatorios con la ventaja de que no es necesario escribir explícitamente el sumatorio.

En la sección de ejemplos se reproduce un conjunto amplio de casos que aclararan por qué el convenio de Einstein resulta tan útil a la hora de abreviar expresiones términos idénticos e incluso hacer cálculos con ellos.

[editar] Ejemplos

En esta sección consideraremos un espacio de cuatro dimensiones como de la teoría de la relatividad donde todos los índices toman valores entre 0 y 3:

$\mathbf{} a^\mu b_\mu = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3$

$\mathbf{} a^{\mu\nu} b_\mu = a^{0\nu} b_0 + a^{1\nu} b_1 + a^{2\nu} b_2 + a^{3\nu} b_3.$

El ejemplo anterior es un ejemplo de contracción de índices, una operación común en el cálculo de ciertas magnitudes tensoriales, donde a partir del tensor $\mathbf{} a^{\mu\nu}b_{\alpha}$ hemos construido (calculado) un nuevo tensor sumando sobre el primer superíndice y el primer subíndice. Típicamente el nuevo tensor es renombrado con los índices afectados por la contracción ya eliminados:

$\mathbf{} {s}^{\nu} = a^{\mu\nu}b_{\mu}.$

[editar] Representaciones Vectoriales

Se emplea el convenio de Einstein en Álgebra lineal para distinguir fácilmente entre vectores columna y vectores fila. Se puede, por ejemplo, poner índices sobre-escritos para representar elementos en una columna y índices subcritos para representar elementos en una fila. Siguiendo esta convención, entonces,

$\mathbf{u} = u^i \ \ \mathrm{para} \ \ i = 1, 2, 3, ... , M$

representa M × 1 vector columna y

$\mathbf{v} = v_j \ \ \mathrm{para} \ \ j = 1, 2, 3, ... , N$

representa 1 × N vector fila.

En matemática y en física teórica y en particular en la relatividad general, los vectores fila representan vectores contravariantes mientras que los vectores columna representan vectores covariantes.

[editar] Representación Matricial

Empleando la notación estándar, se puede generar una matriz M × N denominada A mediante multiplicación de vectores columna u por vectores fila v:

$\mathbf{A} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$

En la notación de Einstein, se tiene que:

${A^i}_j = u^i \cdot v_j = uv^i_j$

Como i y j representan dos índices diferentes y en este caso con dos rangos diferentes M y N respectivamente, los índices no son eliminados en la multiplicación. Ambos índices sobreviven a la multiplicación para llegar a crear una nueva matriz A.