Teorema di Gauss

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Il teorema di Gauss non si applica solo al campo elettrico; secondo me le due pagine sono da unire in Teorema di Gauss (campo elettrico) o simile. --M&M87 16:38, 19 apr 2008 (CEST)
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Il teorema di Gauss afferma che il flusso del campo elettrico, prodotto da una distribuzione arbitraria di cariche elettriche in quiete, rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, nel vuoto, uscente da una qualsiasi superficie chiusa è direttamente proporzionale alla quantità di carica contenuta al suo interno. In formule si ha:

$\oint_{S} \vec E \cdot \vec n\ ds = \frac{Q}{\varepsilon_0}$

dove:

$\varepsilon_0 \,\!$ è la costante dielettrica del vuoto
$\vec E$ il campo elettrico
$\vec n$ il versore normale alla superficie $S$
$Q$ la carica presente all'interno della superficie.

Anche nel seguito si utilizzerà il simbolo Q per indicare la carica interna.

Nel caso in cui la carica non sia completamente localizzata in un unico punto la carica interna totale è data dall'integrale esteso a tutto il volume $V$ delimitato dalla superficie $S$ pari a

$Q = \int_{V} \rho \ dv$

Si noti che il teorema di Gauss è una conseguenza matematica di due importanti proprietà del campo elettrico di una distribuzione di cariche:

la direzione del campo è radiale
l'intensità del campo varia come $\frac{1}{r^{2}}$

Un risultato particolare di questo teorema è che l'integrale del flusso del campo elettrico attraverso qualsiasi superficie chiusa che non contenga cariche è nullo.

Inoltre l'integrale del flusso del campo elettrico attraverso qualsiasi superficie è lo stesso che si avrebbe se tutte le cariche interne alla superficie fossero concentrate in un qualsiasi unico punto con un valore pari a $Q$ alla somma della cariche interne.

Un teorema che, in un certo senso, generalizza questo risultato, è il teorema di Noether.

[modifica] Superficie chiusa qualsiasi

Si possono ricondurre i calcoli del flusso del campo elettrico uscente da una qualsiasi superficie chiusa al caso del flusso uscente da una superficie sferica e al caso in cui la carica sia tutta concentrata in un unico punto posto al centro della sfera. In questa situazione il vettore n è sempre parallelo a E, quindi il calcolo dell'integrale del flusso si riconduce al semplice prodotto tra il modulo di E e la superficie del guscio (r è il raggio della sfera): $\Phi_S = E\ 4\pi r^{2}$ . Esplicitando il modulo di E si ha $\frac{K_0 Q}{r^{2}}\ 4\pi r^{2}$ ; essendo $K_0 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ e operando le opportune semplificazioni si ottiene proprio $\Phi_S = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ .

Restando in questo caso specifico e guardando come viene calcolato l'integrale, si nota che in questo caso specifico molte parti sono costanti e possono essere portate fuori dall'integrale:

$\Phi_S = \frac{K_0 Q}{\varepsilon_0} \oint_{S} \frac{ds}{r^{2}}$

Si ha che il valore di quest'ultimo integrale (e quindi anche il valore dell'integrale di partenza) ha lo stesso valore indipendentemente dal raggio del guscio sferico.

[modifica] Versione differenziale

La versione differenziale del teorema tiene conto solo delle proprietà di un unico punto dello spazio. Questa si può ricavare (nel caso particolare in cui le cariche siano stazionarie e ci si trovi nel vuoto, ovvero in assenza di dielettrici) facendo uso del teorema di Green ed ovviamente delle equazioni di Maxwell.

Se $V$ è il volume racchiuso dalla superficie chiusa orientata $S$ , allora

$\oint_S\vec E\cdot\vec n\ da = \int_V \mbox{div}\ \vec E\ dv = \varepsilon_0^{-1} \int_V \rho\ dv$

questo implica che

$\mbox{div}\ \vec E = \varepsilon_0^{-1} \rho$

quasi ovunque.

Più in generale abbiamo una delle quattro equazioni di Maxwell sull'elettromagnetismo

$\nabla \cdot \vec D \ = \ \rho$

dove $\vec D$ è il campo di spostamento elettrico, e ρ è la densità di carica libera, non quella indotta.

La legge $\nabla \cdot \vec D \ = \ \rho$ che, in assenza di materiali polarizzabili, ovvero nel vuoto dove $\vec D \ = \ \varepsilon_0 \vec E$ diventa:

$\nabla \cdot \vec E \ = \ \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ .

In presenza di dielettrici lineari ed isotropi si avrà:

$\vec D = \varepsilon \ \vec E = \varepsilon_0 \varepsilon_r \ \vec E = \varepsilon_0 \ \vec E \ + \ \vec P$ .

Infatti $\varepsilon_0 \ \vec E$ è il campo elettrico creato dalla carica libera, invece $\vec P$ tiene conto dei fenomi di polarizzazione del materiale.