Gaussen legea

Wikipedia(e)tik

Fisika eta analisi matematikoan Gauss-en legeak, gainazal itxi batetik irteten den fluxu elektriko edo grabitatorioaren eta karga elektriko edo masaren arteko erlazioa ematen du, kasuan kasu. Gauss-en legea kantitate edo indar fisikoaren intentsitatea distantziaren karratuarekiko jaisten den kasu guztietan aplika daiteke elektrostatika eta grabitazioa bi adibide besterik ez direlarik. Elektromagnetismoaren bizkarrezur diren lau ekuazioetariko bat ere bada.

[aldatu] Era integrala

Bere era integralean, legeak honako hau adierazten du:

$\Phi = \oint_A \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{A} = {1 \over \varepsilon_o} \int_V \rho\ \mathrm{d}V = \frac{Q_A}{\varepsilon_o}$

non $Φ$ fluxu elektrikoa, $\vec{E}$ eremu elektrikoa, $\mathrm{d}\vec{A}$ A gainazal itxiaren azalera diferentziala (definizioz kanporanzko norantza duelarik), $Q A$ gainazalak inguraturiko karga elektrikoa, $ρ$ $V$ bolumenean dagoen karga dentsitatea, $\varepsilon_o$ hutsaren permitibitate elektrikoa eta $\oint_S$ V bolumena mugatzen duen A gainazalarekiko integrala den.

[aldatu] Era diferentziala

Era diferentzialean ekuazioa honetan bilakatzen da:

$\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho_{\mathrm{aske}}$

non $\vec{\nabla}$ dibergentzia adierazten duen nabla eragilea, $D$ desplazamenduko eremu elektrikoa (C/m²-eko unitateetan), eta $ρ aske$ karga dentsitate askea den, materialaren berezkoak diren dipoloak kontuan hartu gabe. Era diferentzial hau Gauss-en dibergentziaren teorematik ondoriozta daiteke hein handi batean.

Eta material linealetan era honetan adieraz daiteke ekuazioa:

$\vec{\nabla} \cdot \varepsilon \vec{E} = \rho_{\mathrm{aske}}$

non $\varepsilon$ permitibitate elektrikoa den.

[aldatu] Coulomben legea

Karga erdian duen gainazal esferikoaren kasu partikularrean, eremu elektrikoa gainazalarekiko perpendikularra da, gainazalaren puntu guztietan intentsitate bera ere izango duelarik. Era honetan, adierazpen sinpleago hau ondorioztatzen da:

$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}$

non E eremu elektrikoaren intentsitatea den r erradioan, Q gainazal barruko karga, eta ε₀ hutsaren permitibitate elektrikoa den. Beraz, eremuaren intentsitatearen distantziarekiko karratuaren alderantzizkoaren menpekotasunaren adierazpen ezaguna (Coulomben legea), Gauss-en legetik ondoriozta daiteke.

Gauss-en legea erabili daiteke baita kargarik gabeko Faraday-ren kaiola baten barruan eremu elektrikoa nulua dela frogatzeko. Gauss-en lege hau magnetismoko Ampère-ren legearen baliokidea da elektrostatikan. Biak daude Maxwell-en ekuazioetan sartuta.

[aldatu] Gauss-en legea grabitazioan

Grabitatea eta elektromagnetismoak distantziaren karratuaren alderantzizko proportzionaltasunarekin hedatzen den indarra duten heinean, Gauss-en legea erabiliz biak erlaziona ditzakegu bakoitzaren $\vec{g}$ eta $\vec{E}$ eremu bektoreak kontuan izanda, non:

$\vec{g} = -G\frac{m}{\vec{r}^2}\hat{r},$

$\vec{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{\vec{r}^2}\hat{r},$

non $G$ is the grabitazioaren konstante unibertsala, $m$ puntu sortzailearen masa, $r$ puntu sortzailea eta beste puntu baten arteko erradioa (distantzia), $\varepsilon_{0}$ hutsaren permitibitate elektrikoa, eta $q$ puntu sortzailearen karga den.

Elektromagnetismoan $\frac{q}{\varepsilon_{0}}$ emaitza lortzeko gainazal integrala kalkulatzen dugun moduan, gainazal gaussiar egoki bat aukera dezakegu fluxu grabitatorioa kalkulatzeko. Erreferentzia-sistema baten jatorrian kokaturiko masadun puntu baterako, gainazal gaussiar batentzako aukerarik logikoena jatorrian zentraturiko $r$ erradiodun esfera bat litzateke.

Gauss-en legearen forma integralarekin hasiko gara:

$\Phi_{g} = \oint_S \vec{g} \cdot \mathrm{d}\vec{A}.$

Azalera infinitesimaldun elementua angelu solido infinitesimala besterik ez da, era honetan definitua dena:

$\mathrm{d}\vec{A} = r^{2} \mathrm{d}\Omega \hat{r}.$

Gure gainazal gaussiarra oso egokia da, gainazalarekiko bektore normala jatorriarekiko erradiala delako:

$\Phi_{g} = \oint_S g(r) \hat{r} \cdot \hat{r} r^{2} \mathrm{d}\Omega,$

delarik

Bistakoa da bi bektore erradialen arteko biderkadura eskalarra eta puntua eta gainazalaren arteko distantziaren karratua konstante mantentzen direla gainazalarekiko puntu guztietan. Era honetan, integrala kalkula genezake:

$\Phi_{g} = g(r) r^{2} \oint_S \mathrm{d}\Omega.$

Geratzen den gainazal integrala gure esferaren azalera besterik ez da ( $4π r 2$ ). Hau gure goiko eremu grabitatorioaren ekuazioarekin konbinatzen badugu, masadun puntu baten fluxu grabitatorioaren adierazpena izango dugu.

$\Phi_{g} = -\frac{Gm}{r^2} 4 \pi r^{2} = -4\pi Gm$

Interesgarria da konturatzea fluxu grabitatorioa -bere baliokide elektromagnetikoaren moduan-, ez dela esferaren erradioaren araberakoa.

[aldatu] Ikus baita

Kategoria: Elektromagnetismoa

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Gaussen legea

Wikipedia(e)tik

Eduki-taula

[aldatu] Era integrala

[aldatu] Era diferentziala

[aldatu] Coulomben legea

[aldatu] Gauss-en legea grabitazioan

[aldatu] Ikus baita

Views

Nabigazioa

Bilatu

Beste hizkuntzak