Punti antipodali (matematica)
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In matematica, i punti antipodali su una sfera generalizzano il concetto geografico di punti antipodali sulla Terra anche a sfere di dimensioni arbitrarie.
Indice |
[modifica] Definizione
Una sfera di dimensione n è descritta dall'equazione
nello spazio euclideo (n + 1)-dimensionale 
.
Il punto antipodale ad un punto 
è il punto 
: tutte le coordinate cambiano cioè di segno.
[modifica] Spazio quoziente
Lo spazio quoziente rispetto alla relazione di equivalenza di antipodalità è lo spazio proiettivo reale, oggetto fondamentale della geometria proiettiva.
[modifica] Mappa antipodale
La funzione che associa ad ogni punto di una sfera il suo antipodale è detta mappa antipodale.
La mappa antipodale preserva l'orientazione della sfera se e solo se n è dispari. Infatti la funzione è la restrizione della funzione lineare
associata alla matrice − I opposta alla matrice identità I. Il determinante di questa matrice è ( − 1)n + 1, ed il suo segno è quindi effettivamente positivo solo per n dispari.
Per questo motivo, lo spazio proiettivo è orientabile solo per n dispari.
[modifica] Teorema di Borsuk-Ulam
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Per approfondire, vedi la voce Teorema di Borsuk-Ulam. |
Il teorema di Borsuk-Ulam è un risultato di topologia riguardante i punti antipodali in dimensione arbitraria: asserisce che ogni funzione continua da una sfera in uno spazio euclideo della stessa dimensione manda due punti antipodali sullo stesso punto (in particolare, non può essere iniettiva).
[modifica] Voci correlate
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