Matrice identità

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In matematica, la matrice identità o matrice identica è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono costituiti dal numero 1, mentre i restanti elementi sono costituiti dal numero 0. Viene indicata con $I$ oppure con $I n$ , dove $n$ è il numero di righe della matrice.

$I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ \cdots ,\ I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$

[modifica] Proprietà

La proprietà fondamentale di I_n è la seguente:

$A I n = A$ e $I n B = B$

per ogni matrice $A$ e $B$ per cui sono definite queste moltiplicazioni di matrici.
In particolare, la matrice identità è invertibile, essendo l'inversa di sé stessa.
La i-esima colonna di una matrice identità è l'i-esimo vettore e_i della base canonica dello spazio euclideo Rⁿ.
La matrice identità è diagonale, ed ha il solo autovalore 1.

[modifica] Notazioni

Usando la notazione usata talvolta per descrivere in modo conciso le matrici diagonali, si può scrivere:

I n = diag(1,1,...,1)

Si può anche scrivere con la notazione delta di Kronecker:

(I n) i j = δ i j

[modifica] Anello delle matrici

Dalla proprietà fondamentale segue che la matrice identità è l'elemento neutro della moltiplicazione nell'anello di tutte le matrici n × n a valori in un campo fissato K.

Analogamente, è l'elemento neutro nel gruppo generale lineare GL(n, K) formato da tutte le matrici invertibili n × n a valori in K.