Einheitsmatrix

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Die Einheitsmatrix oder Identitätsmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonale nur aus Einsen besteht. Alle anderen Elemente sind 0. Die Einheitsmatrix ist die Darstellung der Identitätsabbildung.

Beispiel:

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & & 0 \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$

Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element unter der Matrizenmultiplikation, d. h. die Multiplikation einer Matrix $A$ mit einer Einheitsmatrix ergibt wieder die Matrix $A$ . Da Matrizen nur miteinander multipliziert werden können, wenn ihre Größen zueinander kompatibel sind, gibt es für jede Größe eine Einheitsmatrix. So ist die Einheitsmatrix der Größe $n$ definiert als Diagonalmatrix mit 1 für alle Elemente der Hauptdiagonale.

Es ist definiert:

$E_1 = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} ,\ E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\ E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ,\ \cdots ,\ E_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$

Als Schreibweisen sind $E n$ (von Einheit) und $I n$ (von engl. identity) gebräuchlich. Falls aus dem Kontext die Dimension eindeutig hervorgeht, wird auch häufig auf den Index $n$ verzichtet.

Die Komponenten der Einheitsmatrix lassen sich mit dem so genannten Kronecker-Delta

$\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{falls } i=j\\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{matrix}\right.\quad\mbox{mit }i,j\in\{1,\ldots,n\}$

schreiben. Es ist

$E_n = (\delta_{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}}$ ,

oft einfach verkürzt zu

E = (δ i j) i, j

Die Spalten der Einheitsmatrix sind Einheitsvektoren.

[Bearbeiten] Neutrales Element der Allgemeinen Linearen Gruppe

Die invertierbaren Matrizen vom Rang $n$ zusammen mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung bilden jeweils eine Gruppe, die sogenannte allgemeine lineare Gruppe. Das neutrale Element dieser Gruppe ist die Einheitsmatrix $E n$ . Für alle Matrizen $A$ dieser Gruppe und ihre Inversen $A - 1$ gelten die folgenden beiden Rechenregeln.

$\begin{align} E_n \cdot A &= A \cdot E_n &= A\\ A^{-1} \cdot A &= A \cdot A^{-1} &= E_n \end{align}$

Kategorie: Lineare Algebra

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