Problemi di Hilbert

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I Problemi di Hilbert costituiscono una lista di 23 problemi matematici stilata da David Hilbert e presentati l'8 agosto 1900 nella sua conferenza del Congresso internazionale dei matematici svoltasi a Parigi in quell'anno. Tutti i problemi allora presentati erano ancora irrisolti e molti di essi hanno avuto una notevole portata nella matematica del ventesimo secolo. A questa conferenza in realtà egli presentò 10 di questi problemi (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, e 22) e la lista completa venne pubblicata successivamente.

Ad imitazione dei problemi di Hilbert, per la fine del XX secolo e del secondo millennio, l'Istituto matematico Clay ha istituito altri 7 problemi per il millennio.

Indice 1 Descrizione 2 Elenco dei 23 problemi 3 Problema 1 4 Problema 2 5 Problema 3 6 Problema 4 7 Problema 5 8 Problema 6 9 Problema 7 10 Problema 8 11 Problema 9 12 Problema 10 13 Problema 11 14 Problema 12 15 Problema 13 16 Problema 14 17 Problema 15 18 Problema 16 19 Problema 17 20 Problema 18 21 Problema 19 22 Problema 20 23 Problema 21 24 Problema 22 25 Problema 23 26 Il problema 24 27 Bibliografia 28 Collegamenti esterni

[modifica] Descrizione

Nella formulazione classica dei problemi data da David Hilbert, i problemi 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 e 20 hanno una dimostrazione accettata con universale consenso.

I problemi 1, 2, 5, 9, 15, 18, 21, 22, hanno una soluzione non accettata da tutti i matematici (come il problema 18 considerato da alcuni risolto e da altri indimostrato fino alla prova della congettura di Keplero) o hanno una soluzione che non tutti ritengono che risolva il problema (per esempio il problema 1).

I problemi 8 (Ipotesi di Riemann) e 12 sono irrisolti.

I problemi 4, 6, 16, 23 sono troppo vaghi per avere una soluzione. Anche il "ventiquattresimo problema" poi non presentato da Hilbert cadrebbe in quest'ultima categoria.

[modifica] Elenco dei 23 problemi

I 23 problemi di Hilbert sono:

Problema 1	Risoluzione parzialmente accettata	L'ipotesi del continuo
Problema 2	Risoluzione parzialmente accettata	Si può dimostrare che l'insieme degli assiomi dell'aritmetica è consistente?
Problema 3	Risolto	Dati due poliedri dello stesso volume, è possibile tagliare entrambi nello stesso insieme di poliedri più piccoli?
Problema 4	Troppo vago	Costruire tutte le metriche in cui le rette sono geodetiche
Problema 5	Risoluzione parzialmente accettata	Tutti i gruppi continui sono automaticamente gruppi differenziali?
Problema 6	Troppo vago	Assiomatizzare tutta la Fisica
Problema 7	Risolto Parzialmente	Dati a ≠ 0,1 algebrico e b irrazionale, il numero a b è sempre trascendente?
Problema 8	Aperto	Dimostrare l'ipotesi di Riemann
Problema 9	Risoluzione parzialmente accettata	Generalizzare la legge di reciprocità in un qualunque campo numerico algebrico
Problema 10	Irrisolubile	Determinazione delle soluzioni generali di un'equazione diofantea
Problema 11	Risolto	Estensione dei risultati delle forme quadratiche nel caso di coefficiente algebrico
Problema 12	Aperto	Estendere il Teorema di Kronecker sui campi abeliani a campi algebrici arbitrari
Problema 13	Risolto	Soluzione dell'equazione generale di settimo grado utilizzando funzioni con due soli argomenti
Problema 14	Risolto	Dimostrazione della finitezza di alcuni sistemi completi di funzioni
Problema 15	Risoluzione parzialmente accettata	Fondazione rigorosa del calcolo enumerativo di Schubert
Problema 16	Troppo vago	Topologia delle curve e superfici algebriche
Problema 17	Risolto	Espressione di funzioni razionali definite come quoziente di somma di quadrati
Problema 18	Risoluzione parzialmente accettata	Esiste un poliedro non-regolare e space-filling? Qual è il più denso impacchettamento di sfere?
Problema 19	Risolto	Le soluzioni delle lagrangiane sono sempre analitiche?
Problema 20	Risolto	Tutti i problemi variazionali con determinate condizioni al contorno hanno soluzione?
Problema 21	Risoluzione parzialmente accettata	Dimostrazione dell'esistenza di equazioni differenziali lineari aventi un prescritto gruppo monodromico
Problema 22	Risoluzione parzialmente accettata	Uniformazione delle relazioni analitiche per mezzo di funzioni automorfiche
Problema 23	Troppo vago	Sviluppo ulteriore del calcolo delle variazioni

[modifica] Problema 1

L'ipotesi del continuo afferma che non esiste nessun insieme infinito la cui cardinalità sia compresa strettamente tra quella dell'insieme dei numeri interi e quella dell'insieme dei numeri reali. Gödel e Cohen hanno dimostrato che l'ipotesi non può essere né dimostrata, né confutata, dagli assiomi ZFC. Non esiste un consenso tra matematici se ciò risolva o meno il problema.

L'insieme dei numeri reali può essere considerato un insieme ben ordinato? Questa domanda è parzialmente irrisolta, in quanto è correlata all'assioma di scelta di Zermelo-Fraenkel; nel 1963 si dimostrò che questo assioma è indipendente da tutti gli altri assiomi nella teoria degli insiemi, cosicché non è possibile basarci su quest'ultimo per risolvere l'ordinamento dell'insieme dei numeri reali.

[modifica] Problema 2

Per approfondire, vedi la voce Entscheidungsproblem.

La risposta al problema 2 è no, e non solo per l'aritmetica. Il Teorema di incompletezza di Gödel stabilisce infatti che ogni sistema formale abbastanza potente (in senso formale) da ricercare una consistenza interna, può provare la propria consistenza se e solo se il sistema stesso è inconsistente.

[modifica] Problema 3

Dati due poliedri dello stesso volume, è possibile tagliare entrambi nello stesso insieme di poliedri più piccoli? Max Dehn ha dimostrato nel 1902, mediante lo sviluppo della teoria degli invarianti di Dehn, che questo non è possibile in generale; analogo risultato è stato raggiunto indipendentemente da W.F.Kagon nel 1903.

[modifica] Problema 4

Una formulazione equivalente è la seguente: trovare tutte le geometrie (più precisamente le metriche di queste) in cui la distanza più breve tra due punti sia costituita da una linea retta. Le geometrie devono mantenere gli assiomi di incidenza e di ordine della geometria euclidea, mantenere (anche se in forma debole) quello di congruenza e omettere l'equivalente del postulato delle parallele. Questo problema è stato risolto da G. Hamel.

[modifica] Problema 5

Una formulazione equivalente è: possiamo evitare il requisito di differenziabilità per le funzioni che definiscono un gruppo continuo di trasformazioni? La risposta positiva è stata trovata da John von Neumann nel 1930 per i gruppi bicompatti (con ampliamento nel 1952 ai gruppi localmente compatti da parte di Andrew Glean); risolto in seguito anche per quelli abeliani, e con ampliamenti di Montgomery, Zipin e Yamabe nel 1952 e 1953.

[modifica] Problema 6

Data la portata così generale, questo problema è rimasto tuttora irrisolto. Una parziale assiomatizzazione riguarda i postulati della meccanica quantistica, che sarebbero "completati" da una teoria della gravitazione quantistica.

[modifica] Problema 7

La risposta è positiva nel caso speciale in cui b sia algebrico, come dimostrato nel 1934 da Aleksander Gelfond con il Teorema di Gelfond. Comunque, nel caso generico, il problema rimane irrisolto.

[modifica] Problema 8

L'ipotesi di Riemann non è stata finora né confutata né provata, anche se è al vaglio una proposta di soluzione del controverso matematico Louis de Branges.

[modifica] Problema 9

Il problema venne risolto da Artin nel 1927, con il Teorema di reciprocità di Artin.

[modifica] Problema 10

La risposta negativa (ovvero l'impossibilità di trovare una soluzione generale) si deve al Teorema di Matiyasevich, 1970.

[modifica] Problema 11

[modifica] Problema 12

Questa estensione è stata realizzata mediante l'utilizzo delle funzioni olomorfe in più variabili, che hanno proprietà simili alla funzione esponenziale e alle funzioni modulari ellittiche.

[modifica] Problema 13

[modifica] Problema 14

[modifica] Problema 15

[modifica] Problema 16

[modifica] Problema 17

[modifica] Problema 18

Fino a pochi anni fa veniva considarato risolto ma, ad oggi si ritiene irrisolto fin quando non verrà dimostrata la Congettura di Keplero. A quel punto il problema sarà considerato dimostrato.

[modifica] Problema 19

Risolto dall'italiano Ennio De Giorgi nel 1957.

[modifica] Problema 20

[modifica] Problema 21

[modifica] Problema 22

[modifica] Problema 23

[modifica] Il problema 24

Mentre Hilbert preparava la lista dei problemi, ne stilò anche un altro che poi non venne incluso, riguardante criteri di semplicità e metodo generale. La scoperta del problema 24 si deve a Rüdiger Thiele.

[modifica] Bibliografia

• Rowe, David; Gray, Jeremy J. (2000). The Hilbert Challenge. Oxford University Press. ISBN 0198506511
• Umberto Bottazzini: I problemi di Hilbert, un programma di ricerche per le "generazioni future", Lettera Matematica PRISTEM n.50-51

[modifica] Collegamenti esterni

• (EN) Lista dei 23 problemi, con la descrizione di quelli risolti
• (EN) Traduzione in inglese della conferenza di Hilbert
• (EN) Dettagli sulla soluzione del problema 18
• (EN) "On Hilbert's 24th Problem: Report on a New Source and Some Remarks."